Kilenc pontból álló kör

A kilenc pontból  álló kör az a kör , amely átmegy a háromszög mindhárom oldalának felezőpontján .

Euler - körnek , Feuerbach -körnek , hatpontos körnek , Terkem -körnek , n-pontos körnek , félig körülírt körnek is nevezik .

Definíciós tétel

A kilenc pontból álló kör a következő tételnek köszönhetően kapta a nevét:

• Egy tetszőleges háromszög három magasságának alapja, három oldalának felezőpontja és a csúcsait az ortocentrummal összekötő három szakasz felezőpontja ugyanazon a körön található.

Más szavakkal, a kilencpontos kör a következő három háromszög körülírt köre:

• merőleges háromszög ,
• középső háromszög ,
• Az Euler-háromszög (vagy Feuerbach -háromszög , Euler-Feuerbach- háromszög) egy olyan háromszög, amelynek csúcsai az ortocentrumot és a csúcsokat összekötő három szakasz felezőpontjai.

A tétel bizonyítása

• A háromágú lemma című cikkben az Euler-kör létezését e lemma segítségével bizonyítja.

Tulajdonságok

• A kilencpontos kör középpontja az Euler-vonalon fekszik, pontosan az ortocentruma és a körülírt kör közepe közötti szakasz közepén .
• Az Euler-kör kilenc pontjából három a csúcsokat az ortocentrummal összekötő szakaszok felezőpontja ( az Euler-Feuerbach-háromszög csúcsai ). Ez a három pont a háromszög oldalai felezőpontjainak visszaverődése a kilencpontos kör középpontjáról .
• Így a kilenc pont közepe a szimmetria középpontjaként szolgál, és a középső háromszöget Euler-Feuerbach háromszöggé fordítja (és fordítva) [1]
• A kilenc pontból álló kör átmérője megegyezik a körülírt kör sugarával .
• A körülírt kör a kilencpontos kör képe a homotézishez képest, amelynek középpontja az ortocentrumban van és együttható 2.

• A homoteticitás (hasonlóság) utolsó tulajdonsága azt jelenti, hogy egy kilenc pontból álló kör kettévág minden olyan szakaszt, amely az ortocentrumot egy tetszőleges ponttal köti össze, amely a körülírt körön fekszik .
• Feuerbach-tétel . Egy tetszőleges háromszög kilenc pontból álló köre érinti ennek a háromszögnek a beírt és mindhárom körvonalát . [2]
• Mavlo tétele . [3] : egy háromszög a kilenc pontból álló kerületén kívülről három ívet vág le három oldalával úgy, hogy ezek közül a legnagyobb hossza megegyezik a fennmaradó két ív hosszának összegével. Például a fenti ábrán Mavlo tétele megadja az egyenlőséget: IF ív = HE ív + GD ív.
• Szimmetrikus formában a Mavlo-tétel a következőképpen írható fel:

Ez egyenértékű azzal, hogy a három ív közül a legnagyobb egyenlő a másik kettő összegével.

• Az utolsó tulajdonság analóg a távolságokra és egy további háromszög csúcsaira vonatkozó tulajdonságokkal (egy olyan háromszög , amelynek csúcsai ennek a háromszögnek a felezőpontjaiban vannak). a Feuerbach pontig , nem ívekre. Hasonló összefüggés található Pompeius tételében is .
• Hamilton tétele . A hegyesszögű háromszög ortocentrumát a csúcsaival összekötő három szakasz három olyan háromszögre osztja, amelyeknek ugyanaz az Euler -köre (kilencpontos kör), mint az eredeti hegyesszögű háromszög. A Feuerbach-pontnak azt a pontot tekintjük, amelyet az A csúcshoz legközelebb eső körben vastag betűvel jelöltünk .

• Pontosan három olyan pont van a háromszög körülírt körében , amelyek Simson-vonala érinti a háromszög Euler-körét , és ezek a pontok szabályos háromszöget alkotnak . Ennek a háromszögnek az oldalai párhuzamosak Morley háromszög oldalaival .
• Ha a háromszög közelében leírt hiperbola átmegy a magasságok metszéspontján, akkor egyenlő szárú (azaz aszimptotái merőlegesek) [4] . Egy egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak metszéspontja a kilenc pontból álló körön található [4] . Ezt a hiperbolát Kiepert-hiperbolának nevezik , és a középpontját a háromszögközéppontok enciklopédiája X(115)-ként jelöli.
• Ha az ortopólus ℓ egyenese átmegy a háromszög körülírt körének középpontján , akkor maga az ortopólus a háromszög Euler-körén fekszik . [5]
• Ha a P ortopólus ℓ egyenese átmegy a háromszög Q ortocentrumán , akkor az ortopólust az ortocentrummal összekötő PQ szakasz folytatásán, a másik oldalon PQ - val egyenlő távolságban található pont az Euler -en fekszik . kör (9 pontból álló körön) ennek a háromszögnek. [6]

• Ha ABCD valamilyen körbe írt négyszög . EFG az ABCD négyszög átlós háromszöge . Ekkor az ABCD négyszög bimediánjainak T metszéspontja az EFG háromszög kilenc pontjából álló körre esik .

A [7] -ben kimutatták, hogy valamely körbe írt négyszög bimediánjainak metszéspontja annak a háromszögnek az Euler-köréhez tartozik, amelynek egyik csúcsa a négyszög átlóinak metszéspontjában van, és két másik csúcsa van a metszéspontban. ellentétes oldalpárjai kiterjesztésének pontjai.

• Egy kilencpontos körre, amelyet többek között Terkem körének is neveznek, Terkem bebizonyította Terkem tételét . [8] Megállapítja, hogy ha egy kilenc pontból álló kör metszi egy háromszög oldalait vagy azok kiterjesztését 3 olyan pontpárban (3 magassági és medián alapon), amelyek 3 pár cevians alapjai, akkor ha 3 cevians mert ezek közül a bázisok közül 3 1 pontban metszi egymást (például 3 medián 1 pontban), akkor 3 másik bázishoz 3 cevian is 1 pontban metszi egymást (azaz 3 magasságnak is 1 pontban kell metszenie).

A kilencpontos kör és a körülírt kör kölcsönös elrendezésének esetei

Egy háromszögben a körülírt körhöz képest a kilenc pontból álló kör (vagy Euler-kör ) a következőképpen helyezhető el:

• Csak akkor érinti a körülírt kört , ha a háromszög derékszögű . Ebben az esetben két kör érintése a háromszög derékszögének csúcsán megy.
• Teljesen a körülírt körön belül fekszik, ha a háromszög hegyesszögű .
• Két különböző pontban metszi a körülírt kört , ha a háromszög tompaszögű .

Történelem

Euler 1765 -ben bebizonyította, hogy a magasságok alapja és az oldalak felezőpontja ugyanazon a körön található (innen ered a "hatpontos kör" elnevezés). Az általános eredmény első teljes bizonyítékát valószínűleg Karl Feuerbach publikálta 1822 -ben (a nevét viselő tétellel együtt ), de a jelek szerint korábban is ismerték [2] .

Változatok és általánosítások

• Négy háromszögből álló kilenc pontból álló kör egy négyszögön belül . Van egy jól ismert tétel: Egy tetszőleges konvex négyszögben a háromszög kilenc pontjából álló körei, amelyekre két átló osztja, egy pontban metszi egymást - a Poncelet-pontban . [9]
• Van egy jól ismert tétel: Ha egy konvex négyszögben az átlók merőlegesek, akkor egy körön nyolc pont található (a négyszög nyolc pontjából álló kör ): az oldalak felezőpontjai és az oldalak felezőpontjainak vetületei. ellentétes oldalakra [10] .

• A kilencpontos kör a kilencpontos kúp speciális esete . Ha a P pont az ABC  háromszög ortocentruma , akkor a teljes PABC négyszög kilencpontos kúposa a kilencpontos kör lesz .

• 16 Feuerbach kört érint egy 9 pontos kör. A jobb oldali ábra zöld színnel mutatja a 16 ismert Feuerbach-kört, amelyek érintik a pirossal jelölt 9 pontos kört (maga a háromszög feketével látható)

Lásd még ( a kilenc pontból álló kört említő cikkek )

• háromszög geometria
• A planimetria szószedete
• A háromszög figyelemre méltó pontjai
• Kör
• ortopólus
• Simson tétele
• Pont Poncelet
• Háromszöggel társított szegmensek és körök
• Leonhard Eulerről elnevezett objektumok listája
• Háromszög
• Kilenc pont közepe
• Négyszög
• Háromszögközpontok enciklopédiája

Jegyzetek

1. ↑ Dekov. Kilencpontos központ// Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. – 2007.// http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf  (nem elérhető link)
2. ↑ 1 2 Tony Crilly. Matematikai ötletek , amelyeket igazán tudnia kell . — Phantom Press. — 209 p. — ISBN 9785864716700 . Archiválva : 2016. június 18. a Wayback Machine -nál
3. ↑ D. P., Mavlo (2004), A figyelemre méltó testek gyönyörű tulajdonságai, Matematika az iskolákban (Ukrajna) (3. sz.): 265–269  
4. ↑ 1 2 Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, kiegészítve .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 p. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
5. ↑ Az ortopólus (2017. január 21.). Letöltve: 2020. június 22. Az eredetiből archiválva : 2020. június 22. (határozatlan)
6. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. (Paragrafus: G. Az ortopólus. 699. tétel. Tétel. 156. ábra. P.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
7. ↑ Fraivert, 2019 .
8. ↑ Dmitrij Efremov . Új háromszöggeometria archiválva 2020. február 25-én a Wayback Machine -nál . - Odessza, 1902. - S. 16.
9. ↑ Matematika a feladatokban. Anyaggyűjtemény a moszkvai csapat terepiskoláiból az összoroszországi matematikai olimpiára / Szerkesztette: A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov és A. V. Shapovalov. c. 118, 9. feladat
10. ↑ Matematika a feladatokban. Anyaggyűjtemény a moszkvai csapat terepiskoláiból az összoroszországi matematikai olimpiára / Szerkesztette: A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov és A. V. Shapovalov. c. 118, 11. feladat

Irodalom

• Sharygin I ., Yagubyants A. Kilencpontos kör és Euler-vonal  // Kvant. - 1981. - 8. sz . - S. 34-37 . (Orosz)
• Dm. Efremov. Új háromszöggeometria 1902
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Új találkozások a geometriával. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematikai Kör könyvtára).
• Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren German. 
• Mavlo D.P. A figyelemre méltó testek gyönyörű tulajdonságai//Matematika az iskolában. 3. szám, 2004. p. 265-269.
• Dekov. Kilencpontos középpont // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. – 2007.
• Fraivert David . Új pontok, amelyek a kilenc pontos körhöz tartoznak  // A Matematikai Közlöny. - 2019. - T. 103 , 557. sz . - S. 222-232 .

Linkek

• Élő tervrajz