Cibrario normál forma

A Cibrario normálalakja egy differenciálegyenlet normálalakja, amely a legegyszerűbb szinguláris pont közelében lévő deriválthoz képest nincs megoldva. A nevet V. I. Arnold javasolta Maria Cibrario olasz matematikus tiszteletére , aki egy egyenletosztályra létrehozta ezt a normálformát [1] [2] [3] .

Kapcsolódó definíciók

Szinguláris pontok

Legyen a differenciálegyenlet alakja

$F(x,y,p)=0,\$ ahol $p={\frac {dy}{dx}}.$

Feltételezzük, hogy a függvény valós, sima osztály (vagy analitikus ) mindhárom változó összességében. Egy ilyen egyenlet szinguláris pontjai a háromdimenziós tér olyan pontjai, amelyek koordinátái az egyenlet által megadott felületen helyezkednek el , és amelyeknél a derivált eltűnik, azaz a felületnek a változók síkjára való vetülete a tengely iránya mentén szabálytalan. Általános esetben a szinguláris pontok halmaza görbét képez a felületen, amelyet kriminánsnak nevezünk . A krimináns síkra vetítését diszkriminanciagörbének nevezzük , pontjait gyakran az egyenlet szinguláris pontjainak is nevezik, bár lehetséges pontatlanság: a felület különböző pontjainak vetítésekor a változók síkjának ugyanaz a pontja felelhet meg [ 1] [4] [5] . $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\megjelenítési stílus (x,y,p)}$ $F=0$ $F_{p}$ $\pi$ $\{F=0\}$ $x,y$ $p$ $\{F=0\}$ $(x,y)$ $\pi$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Az egyenlet felemelése

A differenciális reláció határozza meg az érintkezési síkok mezőjét a térben . Az érintkezési síkok metszéspontja a felületet érintő síkokkal egy iránymezőt határoz meg a felületen (minden olyan ponton, ahol az érintkezési és érintősík nem esik egybe). Az így megszerkesztett mező integrálgörbéi az eredeti egyenlet megoldásainak 1-gráfjai, síkra vetített vetületei pedig a megoldások grafikonjai [4] [5] $p=dy/dx$ ${\megjelenítési stílus (x,y,p)}$ $pdx-dy=0$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

A derivált tekintetében fel nem oldott egyenletek tanulmányozásának leírt felépítése A. Poincaré harmadik emlékiratához nyúlik vissza, „A differenciálegyenletek által meghatározott görbékről” (1885); a modern matematikai irodalomban gyakran nevezik egy egyenlet felszínre emelésének [3] .

A normálforma tétel

Az egyenlet legegyszerűbb szinguláris pontjai az úgynevezett reguláris szinguláris pontok, amelyeknél a vetületnek van egy Whitney -hajtásnak nevezett szingularitása , és az érintkezési sík nem érinti a felületet. Ez egyenértékű az alábbi feltételek teljesülésével adott pont: $F(x,y,p)=0$ $\pi$ $F=0.$

F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.

Tétel . Egy szabályos szinguláris pont közelében egy sima (vagy analitikus) függvényt tartalmazó egyenlet simán (illetve analitikus) ekvivalens az egyenlettel. $F(x,y,p)=0$ $F$

p^{2}-x=0,

Cibrario normálformának nevezik [1] [4] [5] .

1932-ben Cibrario egy vegyes típusú másodrendű parciális differenciálegyenlet jellemzőinek vizsgálatával kapta meg ezt a normálformát [2] .

Példák

A Cibrario normálforma a Tricomi-egyenlet jellemző egyenlete

$u_{xx}-xu_{yy}=0$ ,

félsíkban az elliptikus típushoz, félsíkban a hiperbolikus típushoz tartozó . $x<0$ $x>0$

Az egyenlet könnyen integrálható: megoldásainak grafikonjai félköbös parabolák családját alkotják [4] [5] $p^{2}-x=0$

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

kitöltve a félsíkot , amelynek csúcspontjai a diszkriminanciagörbén helyezkednek el - a tengelyen . $x>0$ $y$

Egy kétdimenziós felület aszimptotikus vonalai az euklideszi térben hasonlónak tűnnek egy tipikus parabolapont közelében . A Cibrario normálforma a lassított mozgástér legegyszerűbb jellemzőinek is megfelel a gyors-lassú dinamikus rendszerekben [6] .

Irodalom

Arnold V. I. A közönséges differenciálegyenletek elméletének további fejezetei, - Bármelyik kiadás.
Arnold V. I. Geometriai módszerek a közönséges differenciálegyenletek elméletében, - Bármelyik kiadás.
Arnold V. I., Ilyashenko Yu. S. Rendes differenciálegyenletek, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. rendezés, 1985, 1. kötet.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. A bifurkációk elmélete, - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. rendezés, 1986, 5. kötet.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889–906.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Ilyashenko Yu. S. Rendes differenciálegyenletek, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. rendezés, 1985, 1. kötet. - ch. 1, par. 7.
↑ 1 2 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889-906.
↑ 1 2 Remizov A.O. Többdimenziós Poincaré-konstrukció és emelt mezők szingularitásai implicit differenciálegyenletekhez, CMFD, 19 (2006), 131–170.
↑ 1 2 3 4 Arnold V. I. A közönséges differenciálegyenletek elméletének további fejezetei. - ch. 1, par. négy.
↑ 1 2 3 4 Arnold V. I. Geometriai módszerek a közönséges differenciálegyenletek elméletében. - ch. 1, par. négy.
↑ Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Bifurcation Theory, - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. rendezés, 1986, 5. kötet

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória