Matek meccs

A matematikai koincidencia olyan helyzet, amikor két kifejezés közel azonos értéket ad, bár ez az egybeesés elméletileg semmilyen módon nem magyarázható. Például van egy affinitás a kerek 1000 -es számhoz , amelyet 2 hatványaként és 10 hatványaként fejeznek ki: . Néhány matematikai illesztést használnak a tervezésben, amikor egy kifejezést egy másik közelítéseként használnak. $2^{10}=1024\kb 1000=10^{3}$

Bevezetés

A matematikai egybeesést gyakran egész számokkal társítják , és a meglepő ("véletlen") példák azt a tényt tükrözik, hogy bizonyos összefüggésekben előforduló valós számok bizonyos szabványok szerint kis egész számok "közeli" közelítésének vagy tíz hatványának bizonyulnak. , vagy általánosabban egy racionális szám , kis nevezővel . A matematikai egyezés egy másik fajtája, például az egész számok, amelyek egyidejűleg több látszólag nem kapcsolódó kritériumot is kielégítenek, vagy a mértékegységekhez kapcsolódó egyezések. A tisztán matematikai egybeesések osztályában néhány egyszerű eredménynek mély matematikai alapja van, míg mások "a semmiből" tűnnek fel.

Tekintettel arra , hogy a matematikai kifejezések véges számú szimbólumot használó megszámlálható számú elkészítési módja van, a felhasznált szimbólumok számának és a közelítés pontosságának egyeztetése lehet a legkézenfekvőbb módja a matematikai egyezés meghatározásának. Nincs azonban szabvány, és a kis számok erős törvénye az a fajta érvelés, amelyhez az ember folyamodik, ha nincs formális matematikai megértés. Némi esztétikai matematikai érzékre van szükség ahhoz, hogy eldöntsük, mit jelent egy matematikai egybeesés, akár kivételes eseményről, akár fontos matematikai tényről van szó (például Ramanujan konstans alább egy olyan állandóról, amely néhány éve jelent meg nyomtatásban, mint egy tudományos áprilisi tréfa [1] ). Összefoglalva, ezek az egybeesések a kíváncsiságuk miatt vagy a matematika szerelmeseinek alapfokú ösztönzése miatt tekinthetők.

Néhány példa

Rational Approximations

Néha az egyszerű racionális közelítések kivételesen közel állnak az érdekes irracionális értékekhez. A tény azzal magyarázható, hogy az irracionális értékeket folyamatos töredékként ábrázoljuk , de az, hogy miért történnek ezek a hihetetlen egybeesések, gyakran nem világos.

Gyakran alkalmaznak racionális közelítést (folyamatos törtekkel) a különböző számok logaritmusainak arányához, ami e számok hatványainak (közelítő) egybeesését adja [2] .

Néhány találat a számmal : $\pi$

a szám első konvergense , [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, Arkhimédész [3] óta ismert , és körülbelül 0,04%-os pontosságot ad. A harmadik konvergens, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929… Zu Chongzhi [4] által talált érték hat tizedesjegyig pontos [3] . Ez a nagy pontosság annak köszönhető, hogy a folytonos tört következő tagjának értéke szokatlanul nagy: = [3; 7, 15, 1, 292, …] [5] ; $\pi$ $\pi$
a koincidenciát, amelyben a φ aranymetszet is részt vesz, a képlet adja meg . Ez az összefüggés a Kepler-háromszöggel kapcsolatos ; egyes kutatók úgy vélik, hogy ez az egybeesés a gízai piramisokban található , de rendkívül valószínűtlen, hogy ez szándékos [6] ; $\pi$ $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3,1446\dots$
van egy hat kilencből álló sorozat, amely a szám decimális ábrázolásának 762. helyétől kezdődik . Egy véletlenszerűen választott normál szám esetén a kiválasztott hatjegyű sorozat (például 658020) valószínűsége ritka a decimális jelölésben, mindössze 0,08%. Van egy sejtés, ami normális szám, de ez nem bizonyított; $\pi$ $\pi$
${\frac {5}{6}}\pi \approx \varphi ^{2}$ ; 0,002%-os pontossággal.

Számegyezések : _ $e$

az „1828” számjegysorozat kétszer megismétlődik a szám decimális ábrázolásának kezdetéhez közel = 2,7 1828 1828…. [7] ; $e$
a szám első 500 ezer karaktere között van egy „99 999 999” számsor [8] . $e$

Az egybeesést is széles körben használják , 2,4%-os pontossággal. Racionális közelítés , vagy 0,3%-os pontossággal egybeesik. Ezt az egybeesést használják a mérnöki számításokban a teljesítmény kétszeresére, mint 3 decibelre (a tényleges érték 3,0103 dB - a fél teljesítménypont ), vagy a kibibájtok kilobájtokra való konvertálására [9] [10] . Ugyanaz az egyezés átírható a következővel: (a közös tényező eltávolítása , így a relatív hiba ugyanaz marad, 2,4%), ami racionális közelítésnek felel meg , vagy (szintén 0,3%-on belül). Ezt az egyezést használják például a záridő beállítására a kamerákban a kettős hatványok (128, 256, 512) közelítéseként a 125, 250, 500 és így tovább [2] . $2^{10}=1024\kb 1000=10^{3}$ $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3{,}3219\approx {\frac {10}{3}}$ $2\approx 10^{3/10}$ $128=2^{7}\kb. 5^{3}=125$ $2^3$ $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2))\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3))$ $2\approx 5^{3/7}$

Egybeesés zenei hangközökkel

Koincidencia , amelyet általában a zenében használnak, amikor 7 egyenlő temperamentumú skálát egy természetes skála tiszta kvintjére hangolnak : , ami 0,1%-os pontossággal esik egybe. A tökéletes ötödik a Pitagorasz-rendszer alapja, és ez a legelterjedtebb rendszer a zenében. A kapott közelítésből az következik, hogy a kvintek köre hét oktávval az eleje fölött végződik [2] . $2^{19}\approx 3^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1,5849\dots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\approx 3/2;$ ${\displaystyle {(3/2)}^{12}\kb. 2^{7))$

A mérkőzés eredményeként a 12-TET racionális változata születik, ahogy Johann Kirnberger megjegyezte . ${\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1,33333319\lpont \kb {\frac {4}{3}}$

Az egybeesés az 1/4 vesszős középtónusú temperamentum racionális változatához vezet . ${\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4,00000559\lpont \kb. 4$

A mérkőzés nagyon kis intervallumhoz vezet (kb . egy millicent ). ${\sqrt[{9}]{0,6}}{\sqrt[{28}]{4,9}}=0,99999999754\ldots \approx 1$ $2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}$

A 2 hatványával való egyeztetés eredményeként három nagy harmad egy oktávot alkot, . Ezt és más hasonló közelítéseket a zenében dies -nek nevezzük . ${(5/4)}^{3}\kb. {2/1}$

Numerikus kifejezések

Hatásos kifejezések : $\pi$

$\pi ^{2}\kb 10$ kb. 1,3%-os pontossággal [11] Ez a zéta-függvény képletével érthető [12] , ezt az egybeesést használták fel a diaszabályok kidolgozásánál, amikor a skála -val kezdődik, és nem -vel ; $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$
$\pi ^{2}\kb. 227/23$ 0,0004%-os pontossággal [11] ;
$\pi ^{3}\kb. 31$ 0,02%-os pontossággal;
${\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\approx 2$ 0,004%-os pontossággal;
$\pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ vagy [13] 8 tizedesjegyig [14] ; $22\pi ^{4}\approx 2143$

{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22))}=3,1415926525\dots

;

{\sqrt[{5}]{306}}=3,14155\pont

;

{\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18))}=3,1415924\pont

;

{\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7))}=3,14159\pont

;

Néhány hihető összefüggés nagy pontossággal jön létre, de ennek ellenére véletlenek maradnak. Példa erre:

\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n))\right) \mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8))

Ennek a kifejezésnek a két oldala csak a 42. tizedesjegyben tér el [15] .

Hatványokkal és : $\pi$ $e$

${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6))$ , 0,000 005%-os pontossággal [13] ;
${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi ))))$ nagyon közel 5, körülbelül 0,008%-os pontosság;
${3}^{\frac {\pi +e}{4))$ nagyon közel van az 5-höz, pontosság körülbelül 0,000 538% [16] ;
$e^{\pi }-\pi \kb. 19,99909998$ nagyon közel van a 20 -hoz [17] , ez az egyezés a [13] -nak felel meg ; $(\pi +20)^{i}=-0,9999999992\ldots -i\cdot 0,000039\ldots \approx -1$
$\pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9,9998\lpont \körülbelül 10$ [13] .

Kifejezések , és 163: $\pi$ $e$

${163}\cdot (\pi -e)\approx 69$ 0,0005%-os pontossággal] [13] ;
${\frac {163}{\ln 163}}\approx 2^{5}$ 0,000004%-os pontossággal] [13] ;
A Ramanujan konstans :, pontosság , amelyet Charles Hermite [18] fedezett fel 1859-ben, nem egy megmagyarázhatatlan véletlenszerű matematikai egybeesés, hiszen annak a következménye, hogy a 163 Hegner-szám . $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744$ $2,9\cdot 10^{-28}\%$

Kifejezés logaritmussal:

$\ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}$ (pontosság 0,00024%).

A születésnapi paradoxon tárgyalása során előkerül egy „vicces” szám , amely legfeljebb 4 számjegyből áll [19] . $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}$ $\ln(2)$

Numerikus egybeesések a fizikai világban

Hat hétig

A másodpercek száma hat hétben, vagyis 42 napban pontosan 10! ( faktoriális ) másodperc (a , és óta ). Sokan észrevették ezt az egybeesést, különösen a 42-es szám jelentős Douglas Adams A stoppos kalauz a galaxishoz című regényében . $24=4!$ $42=6\cdot 7$ $60^{2}=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10$

A fénysebesség

A fénysebesség (definíció szerint) pontosan 299 792 458 m/s, nagyon közel 300 000 000 m/s. Ez pusztán véletlen egybeesés, mivel a mérőt eredetileg a Föld pólusa és az Egyenlítő közötti tengerszinti távolság 1/10 000 000-eként határozták meg, a Föld kerülete pedig körülbelül 2/15 fénymásodperc volt [20] .

Gravitációs gyorsulás

Nem állandó, de a szélességtől és hosszúságtól függően a szabadesés gyorsulásának számértéke a felszínen 9,74 és 9,87 között van, ami meglehetősen közel áll a 10-hez. Ez azt jelenti, hogy Newton második törvénye következtében a súly Egy kilogramm tömeg a Föld földfelszínén körülbelül 10 newtonnak felel meg, amelyet az erő tárgyára alkalmaznak [21] .

Ez az egybeesés tulajdonképpen a 10-es négyzet fent említett egybeesésével függ össze. A mérő egyik korai definíciója az inga hossza, amelynek rezgési periódusa két másodperc. Mivel a teljes rezgés periódusát közelítőleg az alábbi képlet adja meg, algebrai számítások után azt kapjuk, hogy a gravitációs állandó egyenlő a négyzettel [22] $\pi$ $\pi$

{\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g))))

Amikor kiderült, hogy a Föld kerülete nagyon közel van 40 000 000 méterhez, a mérő definícióját megváltoztatták, hogy tükrözze ezt a tényt, mivel ez objektívebb szabvány volt (a Föld felszínén lévő gravitációs állandó nem állandó). Ez a mérő hosszának valamivel kevesebb, mint 1%-os növekedését eredményezte, ami a kísérleti mérési hibák határain belülre esett.

Egy másik egybeesés, hogy g értéke , ami hozzávetőlegesen 9,8 m/s 2 , egyenlő 1,03 fényév /év 2 értékkel , ami közel 1. Ez az egybeesés annak a ténynek köszönhető, hogy g SI-mértékegységben közel 10 (m /s 2 ), amint fentebb említettük, azzal a tényekkel együtt, hogy egy év másodperceinek száma megközelíti a c /10 számértéket , ahol c a fénysebesség m/s-ban.

Rydberg állandó

A Rydberg-állandó szorozva a fénysebességgel és frekvenciával kifejezve közel Hz: [20] ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}$

{\underline {3,2898}}41960364(17)\times 10^{15}

Hz [23] .

=R_{\infty }c

{\underline {3,2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}

Finomszerkezeti állandó

A finomszerkezeti állandó közel van, és azt feltételezték, hogy pontosan egyenlő -val . $\alpha$ ${\frac {1}{137}}$ ${\frac {1}{137}}$

\alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}

Bár ez az egyezés nem olyan szigorú, mint a fentiek némelyike, figyelemre méltó, hogy egy dimenzió nélküli állandó , így ez az egyezés nem kapcsolódik a használt mértékegységhez. $\alpha$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gardner, 2001 , p. 674–694.
↑ 1 2 3 Schroeder, 2008 , p. 26–28.
↑ 1 2 Beckmann, 1971 , p. 101, 170.
↑ Mikami, 1913 , p. 135.
↑ Weisstein, 2003 , p. 2232.
↑ Herz-Fischler, 2000 , p. 67.
↑ 1828-ban született Lev Tolsztoj, ez lehetővé teszi, hogy 10 karakter pontossággal emlékezzen az e számra.
↑ Az e-től 1 millió számjegyig terjedő szám . NASA. Hozzáférés dátuma: 2017. február 14. Az eredetiből archiválva : 2017. július 2. (határozatlan)
↑ Beucher, 2008 , p. 195.
↑ Ayob, 2008 , p. 278.
↑ 1 2 Frank Rubin, The Contest Center - Pi archiválva : 2017. október 8., a Wayback Machine -nél .
↑ Miért olyan közel a 10? $\pi ^{2}$ Archivált : 2017. augusztus 9., a Wayback Machine (Miért olyan közel a 10-hez?), Noam Elkies $\pi ^{2}$
↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Almost Integer (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Ramanujan szerint : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, pp. 350-372. Ramanujan azzal érvel, hogy ezt a "különös közelítést" "empirikusan szerezték meg", és nincs összefüggésben a dolgozatban kidolgozott elmélettel. $\pi$
↑ Archivált másolat (a hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2017. február 25. Az eredetiből archiválva : 2011. július 20. (határozatlan)
↑ Joseph Clarke, 2015)
↑ Conway, Sloane, Plough, 1988
↑ Barrow, 2002 .
↑ Arratia, Goldstein, Gordon, 1990 , p. 403–434.
↑ 1 2 Michon, Gérard P. Numerical Coincidences in Man-Made Numbers . Matematikai csodák . Letöltve: 2011. április 29. Az eredetiből archiválva : 2017. október 22.. (határozatlan)
↑ Leduc, 2003 , p. 25.
↑ Mi köze a Pi-nek a gravitációhoz? . Vezetékes (2013. március 8.). Letöltve: 2015. október 15. Az eredetiből archiválva : 2017. november 10.. (határozatlan)
↑ NIST .

Irodalom

Martin Gardner. Hat szenzációs felfedezés // A matematika kolosszális könyve . - New York: W. W. Norton & Company, 2001. - 674-694 . - ISBN 0-393-02023-1 .
Yoshio Mikami. A matematika fejlődése Kínában és Japánban. - BG Teubner, 1913. - S. 135.
Petr Beckmann. Pi története. - Macmillan, 1971. - S. 101, 170. - ISBN 978-0-312-38185-1 .
Roger Herz-Fischler. A nagy piramis alakja. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - P. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Ottmar Beucher. Matlab és Simulink. - Pearson Education, 2008. - P. 195. - ISBN 978-3-8273-7340-3 .
K. Ayob. Digitális szűrők a hardverben: Gyakorlati útmutató firmware-mérnökök számára. - Trafford Publishing, 2008. - P. 278. - ISBN 978-1-4251-4246-9 .
Manfred Robert Schroeder. Számelmélet a tudományban és a kommunikációban. — 2. - Springer, 2008. - S. 26–28. - ISBN 978-3-540-85297-1 .
John D Barrow. A természet állandói . - London: Jonathan Cape, 2002. - ISBN 0-224-06135-6 .
Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon. Poisson-közelítés és a Chen-Stein módszer // Statisztikai tudomány . - 1990. - V. 5 , sz. 4 . – S. 403–434 . - doi : 10.1214/ss/1177012015 . — .
Charles Smith. Örökségünk a Nagy Piramisban. - Kessinger Kiadó, 2004. - P. 39. - ISBN 1-4179-7429-X .
Steven A. Leduc. Az AP Physics B&C vizsga feltörése, 2004–2005-ös kiadás. - Princeton Review Publishing, 2003. - P. 25. - ISBN 0-375-76387-2 .
Rydberg konstans szorzata c Hz-ben . Alapvető fizikai állandók . NIST. Letöltve: 2011. július 25. (határozatlan)
Randall Munroe. Mi van ha?. - 2014. - ISBN 9781848549562 .
Roger Herz-Fischler. A nagy piramis alakja. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - P. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Eric W. Weisstein. CRC tömör matematikai enciklopédiája. - CRC Press, 2003. - P. 2232. - ISBN 978-1-58488-347-0 .

Linkek

V. Levsin. Elszórt tudományok mestere. - Moszkva: Gyermekirodalom, 1970. - S. 256.
Hardy, G. H. – A matematikus bocsánatkérése . – New York: Cambridge University Press, 1993, ( ISBN 0-521-42706-1 )
Weisstein, Eric W. Almost Integer (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Különféle matematikai egybeesések a futilitycloset.com "Tudomány és matematika" részében
Press, WH, Látszólag figyelemre méltó matematikai egybeesések könnyen generálhatók