Kombinatorikus geometria

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A kombinatorikus vagy diszkrét geometria a geometriának egy olyan ága , amely geometriai objektumok és kapcsolódó konstrukciók kombinatorikus tulajdonságait vizsgálja. A kombinatorikus geometriában azonos típusú alapvető geometriai objektumok ( pontok , egyenesek , körök , sokszögek , azonos átmérőjű testek , egészrácsok stb.) véges és végtelen diszkrét halmazait vagy szerkezeteit veszik figyelembe , és kérdéseket vetnek fel a geometriai alapobjektumok tulajdonságaival kapcsolatban. különböző geometriai struktúrák ezekből az objektumokból vagy ezeken a szerkezeteken. A kombinatorikus geometria problémái a konkrét "objektum"-kombinatorikus kérdésektől (bár nem mindig egyszerű válaszokkal) - a tesszellációktól , a körök síkon történő összerakásától , a Pick-képlettől - az általános és mély kérdésekig terjednek, mint például a Borsuk-sejtés , a Nelson -sejtés. Erdős-Hadwiger probléma .

Történelem

Bár Kepler és Cauchy tanulmányozta a poliédereket , a csempéket és a gömbtömítéseket , a modern kombinatorikus geometria a 19. század végén kezdett formát ölteni. Az első problémák a következők voltak: Axel Thue körök tömörítési sűrűsége, Steinitz projektív konfigurációja , Minkowski számok geometriája és Francis Guthrienégy szín problémája .

Problémapéldák

A következő példák képet adnak a kombinatorikus geometria problémáiról.

Vitali fedőlemmája kombinatorikus geometriai eredmény. Széles körben használják a mértékelméletben.

A síkon lévő körök és a golyók lehetséges és legsűrűbb pakolásának problémája a térben . A körök és gömbök legsűrűbb tömbjei nyilvánvalónak tűnnek. De a körök teljes matematikai bizonyítását csak 1940 -ben sikerült elérni [1] . A labdák esetében Kepler sejtésének számítógépes bizonyítéka 400 évvel később, 1998 -ban jelent meg Thomas Hales matematikus munkájában.

A konvex sokszögekre vonatkozó Erdős-Szekeres tétel kimondja, hogy a síkon egy általános helyzetben lévő bármely kellően nagy ponthalmazban találhatunk olyan pontokat, amelyek egy konvex sokszög csúcsai. Az Erdős-Szekeres sejtés a szükségszerűen konvex -gont tartalmazó pontok minimális számáról a mai napig nem bizonyított. Ez a probléma a Ramsey-elmélet problémája is . $n$ $n$

Minkowski konvex test tétele . Legyen egy zárt konvex test , szimmetrikus a koordináták origójára -dimenziós euklideszi tér , amelynek térfogata . Ekkor van egy ponttól eltérő egész szám . Ez a tétel jelentette a számgeometria kezdetét . $S$ $O$ $n$ $\geq 2^{n}$ $S$ $O$

Borsuk sejtése szerint bármely átmérőjű test a -dimenziós euklideszi térben részekre bontható úgy, hogy az egyes részek átmérője kisebb, mint . Ez a sejtés a méretekre és , de megcáfolta a nagy dimenziójú terekre. A ma ismert becslés szerint a 64-es és annál nagyobb méretű terekre nem megfelelő [2] . $d$ $n$ $n+1$ $d$ $2$ $3$

A Danzer-Grunbaum probléma az, hogy egy többdimenziós térben minél több pontból álló véges halmazt találjunk, amelyek között csak hegyesszögek állíthatók be.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Chang, Hai-Chau és Wang, Lih-Chung (2010), Thue körcsomagolásról szóló tételének egyszerű bizonyítéka, arΧiv : 1009.4322v1 [math.MG].
↑ Thomas Jenrich, 64 dimenziós kéttávú ellenpélda Borsuk sejtésére Archiválva : 2018. december 26. a Wayback Machine -nél

Linkek

Bezdek, András; Kuperberg, W. Diszkrét geometria: W. Kuperberg 60. születésnapja tiszteletére (angol) . – New York, NY: Marcel Dekker, 2003. - ISBN 0-8247-0968-3 .
Bezdek, Károly. Klasszikus témák a diszkrét geometriában (határozatlan) . — New York, NY: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4 .
Sárgaréz, Péter; Moser, William; Pach, JánosKutatási problémák a diszkrét geometriában (határozatlan) . - Berlin: Springer, 2005. - ISBN 0-387-23815-8 .
Pach, János; Agarwal, Pankaj K. Kombinatorikus geometria (határozatlan) . — New York: Wiley-Interscience , 1995. — ISBN 0-471-58890-3 .
Goodman, Jacob E. és O'Rourke, Joseph. Discrete and Computational Geometry Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition . - Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. - ISBN 1-58488-301-4 .
Gruber, Peter M. Konvex és diszkrét geometria. - Berlin: Springer, 2007. - ISBN 3-540-71132-5 .
Matousek, Jiri. Előadások a diszkrét geometriáról. - Berlin: Springer, 2002. - ISBN 0-387-95374-4 .
Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Kirándulások a kombinatorikus geometriába (neopr.) . - Springer, 1997. - ISBN 3-540-61341-2 .

Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4130271-0 J9U : 987007539732105171 LCCN : sh2002004432 NKC : ph187935