Végső geometria

A véges geometria  olyan geometriai rendszer, amelynek véges számú pontja van . Például az euklideszi geometria nem véges, mivel az euklideszi egyenes korlátlan számú pontot tartalmaz, vagyis pontosan annyi pontot tartalmaz, ahány valós szám van . Egy véges geometriának tetszőleges véges számú mérete lehet .

A véges geometriák a lineáris algebra által leírhatók vektorterekként és hasonló szerkezetekként egy véges mező felett , amelyeket Galois-geometriáknak nevezünk, vagy teljesen kombinatorikusan is leírhatók . Sok, de nem minden véges geometria Galois-féle – például bármely három vagy annál nagyobb dimenziójú projektív tér izomorf egy véges mező feletti projektív térrel (vektortér kivetítése véges mező felett), ebben az esetben nincs különbség, de van két projektív sík dimenziója, amelyek nem izomorfak a véges mezők feletti projektív terekkel. Őknem Desargues-i repülőgépek . Így két méretbeli különbség van.

Végsíkok

A következő megjegyzések csak a végsíkra vonatkoznak.

A síkban kétféle geometria van: affin és projektív . Az affin geometria a párhuzamos vonalak szokásos fogalmát használja. Ezzel szemben a projektív geometriában bármely két egyenes az egyetlen lehetséges pontban metszi egymást, ezért nincsenek párhuzamos egyenesek. A síkon a véges affin geometria és a síkon a véges projektív geometria is meglehetősen egyszerű axiómákkal írható le . Az affin geometria a síkban egy nem üres halmaz (amelynek elemeit "pontoknak" nevezik), részhalmazok nem üres halmazával (amelynek elemeit "vonalnak" nevezik), így:

  1. Két különálló pont esetében csak egy vonal van, amely mindkét pontot tartalmazza.
  2. Eukleidész párhuzamossági axiómája : Egy egyeneshez és egy olyan ponthoz , amely nem -ben van, csak egy olyan egyenes van , amely tartalmazza a -t , úgy, hogy .
  3. Van egy négy pontból álló halmaz, amelyek közül három nincs ugyanazon az egyenesen.

Az utolsó axióma biztosítja, hogy a geometria ne legyen üres, míg az első kettő a természetét írja le.

A legegyszerűbb affin sík csak 4 pontot tartalmaz, és másodrendű affin síknak hívják . Minden pontpár egyedi egyenest határoz meg, így a jelzett sík 6 vonalat tartalmaz. Ez analóg egy tetraéderhez , amelyben a nem metsző éleket "párhuzamosnak" tekintjük, vagy egy négyzetnek, amelyben nemcsak a szemközti oldalakat tekintik párhuzamosnak, hanem az átlókat is párhuzamosnak.

Általánosabban fogalmazva, egy véges affin sorrendű síknak vannak pontjai és vonalai; minden vonal tartalmaz pontot, és minden pont egy egyeneshez tartozik.

A projektív geometria a síkban egy nem üres halmaz (amelynek elemeit "pontoknak" nevezzük), valamint részhalmazok nem üres halmazát (amelynek elemeit "vonalaknak" nevezzük), így:

  1. Bármely két különböző ponthoz csak egy vonal tartalmazza ezeket a pontokat.
  2. Két különálló egyenes metszéspontja pontosan egy pontot tartalmaz.
  3. Van egy négy pontból álló halmaz, amelyek közül három nem tartozik ugyanahhoz a vonalhoz.

Az első két axióma szinte azonos, csakhogy a pontok és az egyenesek szerepe megváltozott: ez a síkon a projektív geometria kettősségének elvéhez vezet, vagyis feltételezhetjük, hogy a helyes állítás igaz marad, ha pontokat helyettesítünk vonalak és vonalak pontokkal.

Mivel a harmadik axiómához legalább négy pont megléte szükséges, a síknak legalább 7 pontot kell tartalmaznia ahhoz, hogy az első két axióma feltételeit kielégítse. Ennek a legegyszerűbb projektív síknak is 7 vonala van; minden pont három vonalhoz tartozik, és minden vonal három pontot tartalmaz. Az ilyen projektív síkot gyakran Fano síknak is nevezik . Ha valamelyik egyenest a hozzá tartozó pontokkal együtt eltávolítjuk a síkból, akkor ennek eredményeként egy másodrendű affin síkot kapunk. Emiatt a Fano-síkot másodrendű projektív síknak nevezik.

Általános esetben a projektív sorrendi síkban pontok és ugyanannyi vonalak vannak (a fent említett dualitás elve szerint) . Minden vonal pontokat tartalmaz, és minden pont egy egyeneshez tartozik.

A Fano-sík hét pontjának permutációját, amely a kollineáris pontokat (azokat, amelyek ugyanazon az egyenesen helyezkednek el) kollineáris pontokba szállítja, a sík " szimmetriájának " nevezzük. A teljes szimmetriacsoport 168-as rendű, és izomorf a PSL(2,7) = PSL(3,2), valamint a GL(3,2) általános lineáris csoporttal .

Repülőgépek rendelései

A rend véges síkja  olyan sík, amelynek minden egyenesének van egy pontja (affin sík esetén), vagy minden egyenesének van egy pontja (projektív síkra). A véges geometria esetében a következő fontos kérdés nyitva marad:

A véges sík sorrendje mindig egy prímszám hatványa ?

A kérdésre adott válasz feltételezhetően igen, de ez továbbra sem bizonyított.

Az affin és projektív sorrendű síkok akkor léteznek, amikor egy prímszám hatványa, és egy elemekkel rendelkező véges mezőből származnak. Léteznek olyan síkok is, amelyek nem véges mezőkből származnak. A legkisebb ilyen sík sorrendje 9 [1] .

Az összes ismert példa egy prímszám hatványának sorrendje; az a hipotézis, hogy ez igaz, több speciális esetben is beigazolódik. A legjobb eredmény ebben az irányban a Bruck-Reiser tétel [2] , amely kimondja: ha van egy pozitív egész szám, amelynek alakja vagy és nem egyenlő két négyzet összegével, akkor nem a véges sík.

A Fermat-Euler-tétel értelmében egy prímszám hatványa nem elégíti ki a Bruck-Reiser-tétel követelményeit. A legkisebb egész szám, amely nem egy prímszám hatványa, és nem felel meg a Brooke-Reiser-tétel követelményeinek, a 10. A 10-es szám alakja , de egyenlő a négyzetek összegével . A 10-es rendű véges sík nemlétét egy számítógép bizonyította 1989-ben.

A következő legkisebb szám, amely nem lehet véges sík nagyságrendje, a 12, amelyre vonatkozóan a feltételezéseket még nem igazolták, de nem is cáfolták.

Jegyzetek

  1. ↑ Diszkrét matematika latin négyzetekkel . – John Wiley & Sons, 1998. 09. 17. - S. 146. - 336 p. Archiválva : 2021. április 27. a Wayback Machine -nél
  2. ↑ Bruck, RH & Ryser, HJ (1949), bizonyos véges projektív síkok nem létezése , Canadian Journal of Mathematics 1. kötet : 88–93 , DOI 10.4153/cjm-1949-009-2 

Irodalom

Linkek