PSL(2,7)

A matematikában a PSL(2, 7) projektív speciális lineáris csoport (a GL(3, 2) izomorf ) egy véges egyszerű csoport , amely fontos alkalmazásokat tartalmaz az algebrában , geometriában és számelméletben . Ez a Klein-kvartikus automorfizmuscsoportja és a Fano-sík szimmetriacsoportja is . 168 elemével a PSL(2, 7) a második legkisebb a legkisebb nem Abel -féle egyszerű csoportok közül (az első a váltakozó A 5 csoport öt betűn és 60 elemből áll - ikozaéder szimmetriájú forgáscsoport ).

Definíció

A GL(2, 7) teljes lineáris csoport az F 7 feletti összes invertálható 2×2 mátrixból áll , egy hét elemből álló véges mezőből , azaz nullától eltérő determinánsokkal. Az SL(2, 7) alcsoport minden egységdeterminánssal rendelkező mátrixból áll . Így a PSL(2, 7) egy faktorcsoport

SL(2, 7)/{I, −I},

I és −I azonosításával kapjuk, ahol I az azonosságmátrix . Ebben a cikkben G alatt bármely PSL(2, 7) izomorf csoportot értünk.

Tulajdonságok

A G = PSL(2, 7) 168 elemből áll. Ez látható a lehetséges oszlopok megszámlálásával. Az első oszlopra 7 2 −1 = 48, a második oszlopra 7 2 −7 = 42 lehetőség van. Osztanunk kell 7−1 = 6-tal, hogy a determináns eggyel egyenlő legyen, majd osztanunk kell 2-vel, amikor azonosítjuk az I-t és a −I-t. Az eredmény: (48x42)/(6x2) = 168.

Köztudott, hogy a PSL( n , q ) prím n esetén , q ≥ 2 (ahol q egy prím valamely hatványa), kivéve, ha ( n , q ) = (2, 2) vagy (2, 3). A PSL(2, 2) izomorf az S 3 szimmetrikus csoporttal , és a PSL(2, 3) izomorf a váltakozó A 4 csoporttal . Valójában a PSL(2, 7) a második legnagyobb nem Abel -féle egyszerű csoport az A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4) váltakozó csoport után.

A konjugált osztályok és az irreducibilis reprezentációk száma 6. Az osztályok száma 1, 21, 42, 56, 24, 24. Az irreducibilis reprezentációk mérete 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Karakter táblázat

{\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\ \\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4 }&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{tömb}},

ahol:

\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.

A következő táblázat leírja a konjugált osztályokat az osztályokban lévő elemek sorrendje, az osztályok száma, a GL(3, 2) összes reprezentációjának minimális polinomja , valamint a PSL(2, 7).

Rendelés	A méret	Min. Polinom	Funkció
egy	egy	x +1	x
2	21	x 2 +1	−1/ x
3	56	x 3 +1	2 x
négy	42	x 3 + x 2 + x +1	1/(3− x )
7	24	x 3 + x +1	x +1
7	24	x 3 + x 2 +1	x + 3

A csoport sorrendje 168=3*7*8, ami a 3., 7. és 8. rendű Sylow alcsoportok létezését jelenti . Az első kettőt könnyű leírni – ezek ciklikusak, hiszen minden prímsorrendű csoport ciklikus . A 3 A 56 konjugált osztály bármely eleme Sylow 3-alcsoportot alkot. A 7 A 24 , 7 B 24 konjugáltsági osztályok bármely eleme Sylow 7-alcsoportot alkot. A Sylow 2-alcsoport egy 8-as rendű diédercsoport . A 2 A 21 konjugált osztály bármely elemének központosítójaként írható le . A GL(3, 2) ábrázolásban egy Sylow 2-alcsoport felső háromszögmátrixokból áll.

Ez a csoport és Sylow 2-alcsoportja ellenpéldát ad különféle normál p-komplement tételekre p = 2 esetén .

Műveletek projektív tereken

G = PSL(2, 7) lineáris-tört transzformáción keresztül hat a P 1 (7) projektív egyenesen egy 7 elemből álló mezőn:

Az és $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)))$ $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d))$

A P 1 (7) egyenes minden orientációmegőrző automorfizmusát így kapjuk meg, majd a G = PSL(2, 7) geometriailag a P 1 (7) projektív egyenes szimmetriacsoportjaként értelmezhető . A lehetséges tájékozódást megőrző automorfizmusok teljes csoportja a PGL(2, 7) csoport 2. rendjének kiterjesztése, a projektív egyenes kolineációs csoportja a pontok teljes szimmetrikus csoportja .

Azonban a PSL(2, 7) is izomorf a PSL(3, 2) csoporttal (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), egy speciális (általános) lineáris csoport 3×3 mátrixokkal. egy 2 elemű mező. Hasonlóképpen, G = PSL(3, 2) a P 2 (2) projektív síkon hat egy 2 elemű mezőn, más néven Fano síkon :

Az és $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Ismét minden P 2 (2) automorfizmust kapunk így, és akkor a G = PSL(3, 2) geometriailag felfogható ennek a projektív síknak a szimmetriacsoportjaként . A Fano sík az oktonok szorzataként írható le .

A Klein-kvartikus szimmetriái

A Klein-kvartikus a C komplex számok projektív sokasága, amelyet egy negyedik fokú polinom határoz meg.

x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0.

Ez a g = 3 nemzetségbe tartozó kompakt Riemann felület , és ez az egyetlen olyan felület, amelyen a konform automorfizmus csoport mérete eléri a maximum 84( g −1). Ez a korlát a Hurwitz-féle automorfizmus-tételből adódik , amely minden g >1-re érvényes. Az ilyen " Hurwitz-felületek " ritkák. A következő nemzetség, amelyre ilyen felület létezik, a g = 7, az utána következő pedig g = 14.

Mint minden Hurwitz-felülethez , a Klein-kvartikusokhoz is megadható egy állandó negatív görbületű metrika, majd szabályos (hiperbolikus) hétszögekkel burkolható , mint egy 3 -as rendű hétszögletű burkolólap faktortere . A Klein kvartikus esetében ez 24 hétszögű csempézést ad. Kettősen 56 egyenlő oldalú háromszöggel burkolható, amelyeknek mindegyike 7-es rendű, 24 csúcsú, egy 7-es nagyságrendű háromszög alakú burkolólap faktortereként .

A Klein-kvartikus a matematika számos területén megjelenik, beleértve a reprezentációelméletet, a homológiaelméletet, az oktonion-szorzást, Fermat utolsó tételét .

Mathieu Group

A PSL(2, 7) az M 21 Mathieu csoport maximális alcsoportja . Az M 21 és M 24 Mathieu csoportok a PSL(2, 7) kiterjesztéseként szerkeszthetők. Ezek a bővítések értelmezhetők Klein kvartikus burkolólapokkal, de nem valósíthatók meg geometriai burkolószimmetriákkal [1] .

Csoportműveletek

A PSL(2, 7) különböző készleteken működik:

Ha az F 7 feletti projektív egyenes lineáris automorfizmusaként értelmezzük , akkor 3-as rendű stabilizátorral 2-tranzitívan hat egy 8 pontból álló halmazra. (A PGL(2, 7) szigorúan 3-tranzitívan hat egy triviális stabilizátorral.)
A Klein kvartikus burkolólap automorfizmusaiként értelmezve tranzitívan hat 24 csúcsra (vagy duálisan 24 hétszögre) egy 7-es rendű stabilizátorral (ami egy csúcs/hétszög körüli forgásnak felel meg).
Ha az M 21 Mathieu csoport 21 ponton ható alcsoportjaként értelmezzük , akkor 21 ponton nem hat tranzitívan.

Jegyzetek

↑ Richter .

Irodalom

David A. Richter. Hogyan készítsük el a Mathieu csoportot M 24 .

További olvasnivalók

Ezra Brown, Nicholas Loehr. Miért a PSL(2.7)≅GL(3.2)? // Am. Math. H .. - 2009. - T. 116 , sz. 8 . – S. 727–732 . - doi : 10.4169/193009709X460859 .