Minkowski konvex test tétele

A konvex testre vonatkozó Minkowski-tétel a számgeometria egyik tétele , amely alapul szolgált a számok geometriájának számelméleti szakaszokra való szétválasztásához . Hermann Minkowski fogalmazta meg 1896-ban.

Megfogalmazás

Legyen egy zárt konvex test , amely szimmetrikus a koordináták origójára , -dimenziós euklideszi tér , amelynek térfogata . Ekkor van egy ponttól eltérő egész szám . $S$ $O$ $n$ $\geqslant 2^{n}$ $S$ $O$

Bizonyítás

Az alábbiakban a Minkowski-tétel bizonyítása látható L = ℤ 2 konkrét esetre . Tetszőleges méretekre általánosítható.

Fontolja meg a leképezést

f:S\to \mathbb {R} ^{2}\qquad (x,y)\mapsto (x{\bmod {2}},y{\bmod {2}})

Ez a leképezés intuitív módon 2-szeres négyzetekre vágja a testet, amelyek egymásra helyezkednek. Nyilvánvaló, hogy az f ( S ) terület ≤ 4 . Ha az f leképezés injektív lenne , akkor S négyzetekkel kivágott részei átfedés nélkül illeszkednének egymáshoz. Mivel f megőrzi a töredékek lokális területeit, ez a nem metszéspont tulajdonság az f térképet a teljes S -t megőrző területté tenné, így f ( S ) területe megegyezik S területével - számszerűen nagyobb, mint 4. Ha ez nem így van, akkor f nem injektív, és ezért f ( p 1 ) = f ( p 2 ) valamelyik p 1 , p 2 ∈ S pontpárra . Sőt, f definíciója alapján tudjuk, hogy p 2 = p 1 + (2 i , 2 j ) valamilyen i és j egész számra , ahol legalább az egyik nem nulla.

Ekkor, mivel S szimmetrikus az origóhoz képest, − p 1 is benne van S -ben . Mivel S konvex, a − p 1 és p 2 közötti szegmens teljesen S -ben van . Ennek a szakasznak a közepe

{\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_ {1}+(2i,2j)\jobbra)=(i,j)

S -ben fekszik . ( i , j ) egy egész pont, és nem az origó ( i és j nem lehet nulla). Így megtaláltuk a kívánt pontot.

Változatok és általánosítások

Minkowski tételének nemkonvex halmazokra történő általánosítása Blichfeldt tétele .
2007-ben Nikolai Durov kimutatta, hogy a Minkowski-tétel a Riemann-Roch-tétel egy változataként fogható fel a teljes spektrumra [1] $\mathbb {Z}$ .

Jegyzetek

↑ Új megközelítés az Arakelov-geometriához . Letöltve: 2014. augusztus 20. Az eredetiből archiválva : 2015. március 26.. (határozatlan)