A mozgás integráljai

A mechanikában azt a függvényt, ahol - a rendszer általánosított koordinátái , - általánosított sebességei, az adott rendszer mozgásintegráljának nevezzük , ha ennek a rendszernek minden pályáján , de a függvény nem azonosan állandó. $I=I(q, \pont q),$ $q$ $\pont q$ $I(q, \pont q)=\mathrm{const}$ $q(t)$ $I(q, \pont q)$

Az additív vagy aszimptotikus additív mozgásintegrálokat megőrzési törvényeknek nevezzük .

A mozgás integráljai a klasszikus mechanikában

A klasszikus mechanikában a háromdimenziós térben lévő részecskék zárt rendszeréhez , amelyek között nincsenek merev kapcsolatok, független mozgási integrálok képezhetők - ezek a megfelelő Hamilton-egyenletrendszer első integráljai . Ezek közül három additív: energia , impulzus , szögimpulzus [1] . $N$ $6N-1$

Alkalmazás

A mozgásintegrálok azért hasznosak, mert ennek a mozgásnak bizonyos tulajdonságai a mozgásegyenletek integrálása nélkül is megismerhetők . A legsikeresebb esetekben a mozgáspályák a megfelelő mozgásintegrálok egyenlő felületeinek metszéspontját jelentik . Például a Poinsot-konstrukció azt mutatja, hogy nyomaték nélkül egy merev test forgása egy gömb (a teljes szögimpulzus megmaradása) és egy ellipszoid (energiamegmaradás) metszéspontja – ez a pálya, amelyet nehéz levezetni és megjeleníteni. Ezért a mozgás integráljainak megtalálása fontos cél a mechanikában .

Módszerek a mozgás integráljainak megtalálására

Számos módszer létezik a mozgás integráljainak megtalálására:

A legegyszerűbb, de egyben a legkevésbé szigorú módszer egy intuitív megközelítés, amely gyakran kísérleti adatokon és a nagyságmegmaradás későbbi matematikai bizonyításán alapul.

A Hamilton-Jacobi egyenlet szigorú és közvetlen módszert kínál a mozgás integráljainak megtalálására, különösen, ha a Hamilton - féle ortogonális koordinátákban az ismert funkcionális formát veszi fel .

Egy másik megközelítés a konzervált mennyiség és valamiféle Lagrange - szimmetria szembeállítása . Noether tétele szisztematikus módszert ad az ilyen mennyiségek szimmetriákból való származtatására. Például az energiamegmaradás törvénye abból adódik, hogy a Lagrange nem változik az időbeli eltolódáshoz képest, a lendület megmaradásának törvénye ekvivalens a Lagrange invarianciájával az origó eltolódása tekintetében. tér ( transzlációs szimmetria ), a szögimpulzus megmaradásának törvénye pedig a tér izotrópiájából következik (a Lagrange nem változik a rendszer koordinátáinak elforgatásával ). Ennek fordítva is igaz: a Lagrange minden szimmetriája egy mozgásintegrálnak felel meg.

Egy mennyiség megmarad, ha nem függ kifejezetten az időtől, és Poisson-zárójelei a rendszer Hamilton-rendszerével egyenlők nullával: $A$

{\frac {dA}{dt))={\frac {\partial A}{\partial t))+[A,H]=0

Egy másik hasznos eredmény Poisson-tételként ismert , amely kimondja, hogy ha van két mozgásintegrál és , akkor ennek a két mennyiségnek a Poisson-zárójelei is mozgásintegrálok, feltéve, hogy az integráloktól független kifejezést kapunk. $A$ $B$ $[A, B]$

Teljesen integrálható rendszernek nevezzük azt a rendszert, amelynek szabadsági foka és mozgásintegráljai olyanok, hogy bármely integrálpár Poisson-zárójelei nullák . A mozgásintegrálok ilyen halmazáról azt mondják, hogy involúcióban vannak egymással. $n$ $n$

A hidrodinamikában

Ideális (nincs disszipáció, nincs viszkozitás) összenyomhatatlan (bármely alkatrész térfogata megmarad) szabad (külső erők nélküli) mozgása során a következő mennyiségek maradnak meg:

mozgási energia (lásd még Bernoulli integrál ) $\int\limits_V\vec{v}^2\,dV$
hidrodinamikai helicitás $\int\limits_V\vec{v}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{v}\,dV$

Ha a mozgás kétdimenziós, akkor az ensztrófia is megmarad . $\int_{S} \left(\nabla\times\vec{v}\right)^{2}dS$

Az ideális magnetohidrodinamikában az első integrál (a folyadék kinetikus energiájának és a mágneses tér energiájának összege a teljes energia) megmarad, a második (hidrodinamikai helicitás ) eltűnik, de megjelenik két másik mozgásintegrál:

A mágneses tér helicitása , ahol a vektor mágneses potenciálja . $\int\limits_V\vec{A}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{A}$ $\vec{A}$
Keresztirányú csavarvonal - $\int\limits_V\vec{v}\cdot\vec{B}$

A kvantummechanikában

A megfigyelt Q mennyiség megmarad, ha ingázik a Hamilton -féle H -val , amely nem függ kifejezetten az időtől. Ezért

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |{\hat {Q}}|\psi \rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[ {\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}|\psi \rangle

ahol a kommutációs relációt használjuk

[\hat{\mathcal H},\hat{Q}] = \hat{\mathcal H} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{\mathcal H}

Következtetés

Legyen néhány megfigyelhető , ami a pozíciótól, lendülettől és időtől függ $K$

Q=Q(x,p,t)

és van egy hullámfüggvény is , amely a megfelelő Schrödinger-egyenlet megoldása

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {\mathcal {H))}\psi

A megfigyelhető átlagérték időbeli deriváltjának kiszámításához a szorzatdifferenciálási szabályt használjuk , és az eredményt néhány manipuláció után az alábbiakban közöljük. $K$

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle \, = \frac{d}{dt} \langle \psi | \hat{Q} | \psi \rangle \, =

= \langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} | \psi \rangle + \langle \psi | \hat{Q} | \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle\, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \hat{\mathcal H} \psi | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} | \hat{\mathcal H} \psi \rangle \, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \psi | \hat{\mathcal H} \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} \hat{\mathcal H} | \psi \rangle \, =

={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q))}{\partial t))|\psi \rangle

Ennek eredményeként azt kapjuk

{\frac {d}{dt}}{\hat {Q}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\jobbra]+{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}

A kvantumkáosszal és a kvantumintegrálhatósággal való kapcsolat

A klasszikus mechanikában létezik Liouville -tétel , amely szerint egy olyan rendszer, amelyben az involúcióban lévő mozgásintegrálok száma egybeesik a szabadsági fokok számával, teljesen integrálható (megoldható) a változók elválasztásának módszerével az involúcióban. Hamilton-Jacobi egyenlet. Egy ilyen rendszer integrálható rendszer . Egy ilyen rendszer pályája a -dimenziós fázistérben megfelelő változókban ( változók cselekvési szögben ) ábrázolható egy -dimenziós tórusz tekercseléseként. Az a rendszer, amelyben az integrálok száma kisebb, mint a szabadsági fokok száma, kaotikus viselkedést mutat , azaz a fázistérben közeli kezdeti feltételek mellett a trajektóriák exponenciálisan eltérhetnek egymástól. Az integrálható rendszer enyhe deformációjával nem integrálhatóvá , a -dimenziós tórusz a -dimenziós fázistérben megsemmisül ("elmosódik"), például furcsa attraktorrá alakul . $n$ $2n$ $n$ $n$ $2n$

A Liouville-tétel kvantumanalógja ismeretlen, azonban a rendszerek még kvantumesetben is feloszthatók integrálhatóra és nem integrálhatóra. Integrálható alatt ebben az esetben olyan rendszereket értünk, amelyek pontos megoldást engednek meg abban az értelemben, hogy a Hamilton -féle összes sajátértéke és sajátfüggvénye ésszerű formában megtalálható. A változók szétválasztási módszerének kvantumanalógja ismert, de alkalmazása nem annyira univerzális a klasszikus esetekben. Ismert példák mutatják, hogy a kvantumintegrálható rendszerekben és a klasszikusokban is vannak egymással ingázó mozgásintegrálok. A mozgásintegrálok jelenléte azonban láthatóan még nem garantálja a kvantumintegrálhatóságot. Az integrálható rendszerek kvantálásának problémája egy olyan kvantumrendszer keresése, amely pontos megoldást adna, és egy adott klasszikus rendszert adna a klasszikus határban. Vannak példák olyan integrálható kvantumrendszerekre is, amelyek nem rendelkeznek integrálható klasszikus analógokkal. Ez akkor fordul elő, ha a rendszer megoldható a kvantum Hamilton paramétereinek speciális értékeire , vagy ha a rendszer nem teszi lehetővé a klasszikus leírást (például egy spinrendszert ). $n$ $n$

Az összes többi kvantumrendszer bizonyos fokig a kvantumkáosz jeleit mutatja . A klasszikus kaotikus rendszerek lehetővé teszik a kvantálást abban az értelemben, hogy állapotterük és Hamilton-rendszerük helyesen definiálható, azonban úgy tűnik, hogy a klasszikus kaotikus rendszerek és a kvantumrendszerek sem adnak pontos megoldást. Vizsgálhatók közelítő módszerekkel, mint például a perturbációelmélet és a variációs módszer , valamint numerikusan vizsgálhatók molekuladinamikai módszerekkel klasszikus esetben vagy a Hamilton -féle numerikus diagonalizálásával kvantum esetben.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Saveljev, 1987 , p. 74.

Irodalom

Griffiths, David J.Bevezetés a kvantummechanikába (2. kiadás) (angol) . - Prentice Hall , 2004.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mechanics. - 4. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 215 p. - (" Elméleti fizika ", I. kötet). — ISBN 5-02-013850-9 .
Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5 .
Saveljev I. V. Általános fizika tanfolyam. T. 1. Mechanika. Molekuláris fizika. — M .: Nauka, 1987. — 432 p.