Vadas sólymok és galambok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A sólymok és galambok játék az egyik legegyszerűbb játékelméleti modell , amely leírja a versenyviszonyokat egy bizonyos állatpopulációban és egy evolúciósan stabil stratégia kialakítását .

Játékszabályok

Képzeljünk el egy állatpopulációt, amelyben az egyes egyedek versenyeznek egymással valamilyen erőforrásért. A legegyszerűbb esetben ezek lehetnek hímek párzási tornái a nősténnyel való párzás jogáért. Mivel a párzási tornán két hím vesz részt, a torna két résztvevő játékaként is felfogható. Tegyük fel, hogy a hímek vérmérsékletük szerint két csoportra oszlanak – nevezzük őket feltételesen galamboknak és sólymoknak. Ezek a nevek nem egy adott állatfajtához kapcsolódnak, hanem átvitt értelemben értendők: a sólymok az agresszivitás, a galambok pedig a békésség szimbóluma. A valóságban ezeknek a neveknek semmi közük a valósághoz: a természetben a galambok (valamint bármely más állat) meglehetősen agresszívak.

Az egyes csoportok egyedei a következő tulajdonságokkal rendelkeznek. A Hawks mindig a győzelemért küzd, és csak akkor vonul vissza, ha súlyosan megsérül. A galambok a fenyegetésekre és az agresszivitás demonstrálására korlátozódnak, megpróbálják pszichológiailag elnyomni az ellenfelet, de ha valódi harcról van szó, akkor visszavonulnak.

Így ha egy galamb sólymával harcol, a győzelem a sólymot illeti meg, de a visszavonuló galamb nem kap sebzést a harcban, és elvileg nem veszít semmit. Ha két galamb harcol, akkor az egyiküké a győzelem (az erősebb idegzetű), egyikük sem sérül meg, de mindketten egy hosszú pszichológiai konfrontációra fordítanak energiát. Ha két sólyom harcol, akkor az egyik nyer, a másik számára pedig súlyos sérülésekkel végződik a küzdelem.

Matematikai megfogalmazás

A játék matematika nyelvére történő lefordításához értékeljük a torna eredményeit a résztvevők által szerzett vagy elvesztett egyezményes mértékegységek (pontok) formájában. A versenyen elért győzelmet (az utódok elhagyásának képességét) V = 50 pontra, a vereséget L = 0 pontra, a súlyos sérülést W = -100 pontra, a hosszú összecsapások energiaköltségét pedig E = -10 pontra értékelik. pontokat.

Ezután két galamb harcában az egyikük 50 nyerőpontot kap, ráadásul mindketten 10 pontot költenek egy hosszú konfrontáció során. Feltételezve, hogy mindegyik győzelmének valószínűsége azonos (azaz 0,5), akkor azt kapjuk, hogy egy galamb átlagos nyeresége egy másik galambbal vívott harcban S(Г, Г) = 50∙0,5 – 10 = 15 pont.

Két sólyom harcában mindegyik 0,5-ös valószínűséggel 50 pontot kap, és ugyanilyen valószínűséggel sérülést kap, amit -100 pontra becsültünk. Az átlagos győzelem S(I, I) = (50–100)∙0,5 = –25 pont.

A galamb és a sólyom harcában a galamb veszít és S(R, R) = 0 pontot kap, a sólyom nyer és S(R, R) = 50 pontot kap.

A verseny eredményeit az úgynevezett nyereménymátrix formájában lehet megjeleníteni:

	Galamb	Sólyom
Galamb	tizenöt	0
Sólyom	ötven	-25

Jelöljük z-vel a sólymok arányát a populációban, ekkor a galambok aránya 1–z lesz. Ha véletlenszerűen két hím vesz részt a harcban, akkor z 2 valószínűséggel ez két sólyom, (1-z) 2 valószínűséggel - két galamb, és 2z (1-z) valószínűséggel - galamb egy sólyom ellen.

Határozzuk meg, hogy az ellenfelek átlagosan hány pontot kapnak a küzdelem eredményeként.

Egy z valószínűségű sólyom megküzd egy másik sólymával, és átlagosan -25 pontot kap, 1-z valószínűséggel pedig egy galambot, és 50 pontot kap. Átlagosan ez lesz

S I (z) = –25∙z + 50∙(1–z) = –25z + 50–50z = 50–75z.

Hasonlóképpen a galambért, amit kapunk

S Г (z) = 0∙z + 15∙(1–z) = 15–15z.

Ábrázoljuk ezen egyenletek grafikonjait az S – z koordinátatengelyeken.

Amint a grafikonon is látható, a galambok és sólymok nyerővonalai egy ponton metszik egymást, a következő összefüggés határozza meg: 50 - 75z = 15 - 15z 60z = 35

z = 35/60 = 0,583…

Ettől a ponttól jobbra (azaz a sólymok arányának növekedésével) a galambok előnyben vannak, így relatív számuk növekedni fog, ezáltal csökken a z. Ettől a ponttól balra (a sólymok számának csökkenésével) a sólymok előnyben vannak, így számuk növekedni fog, ezáltal z. Így a z bármely eltolódása a galambok és sólymok egyenlő hozadékának pontjától olyan folyamatokat indít el, amelyek hajlamosak a populációt az egyensúlyi pontba visszaállítani. A populáció egyensúlyi pontnak megfelelő állapotát evolúciósan stabil stratégiának nevezzük.

Általános megfogalmazás

Jelöljük az V torna megnyerése esetén a nyereséget, az L veszteséget, a súlyos sérülésből származó kárt W és a hosszú összecsapás energiaköltségét E.

Ekkor a kifizetési mátrix elemei a következő összefüggésekkel fejezhetők ki:

S(D,D)={\frac {VL}{2}}-E;

S(H,H)={\frac {VW}{2));

S(D,H)=-L;

S(H,D)=V.

A kifizetési mátrix így fog kinézni:

	Galamb	Sólyom
Galamb	${\frac {VL}{2}}-E$	$-L$
Sólyom	$V$	${\frac {VW}{2}}$

A sólymok átlagos jövedelme a populációban való részesedésükkel z lesz

S_{H}(z)={\frac {(VW)z}{2}}+V(1-z)=V-{\frac {(V+W)z}{2}}) ;

és a galambok átlagos jövedelme

S_{D}(z)=-Lz+\left({\frac {VL}{2}}-E\right)(1-z)={\frac {VL}{2}}-E- \left({\frac {V+L}{2}}-E\right)z;

A populáció egyensúlyi pontját a sólymok következő aránya éri el:

V-{\frac {(V+W)z}{2}}={\frac {VL}{2}}-E-\left({\frac {V+L}{2}}- E\jobbra)z;

\left({\frac {WL}{2}}+E\right)z={\frac {V+L}{2}}+E;

z={\frac {V+L+2E}{W-L+2E)).

Játékelmélet
Alapfogalmak	Kölcsönös és közös tudás Játékos A hitek hierarchiája Irracionális erősítés Stratégia ( dominancia ) Fordított indukció
A játékok típusai	Egyidejű , szekvenciális és ismétlődő Nem együttműködő és együttműködő Teljes , hiányos , tökéletes és tökéletlen információkkal _ Normál és kiterjesztett formában _ Ellentétes Differenciális Sztochasztikus A nemek harca Szarvasvadászat
Megoldási koncepciók	Kockázati dominancia Korrelált egyensúly Remegő kéz egyensúlya Nash egyensúly A részjáték tökéletes egyensúlya Racionalizálhatóság Szekvenciális egyensúly erős egyensúly Saját mérleg Evolúciósan stabil stratégia Epszilon-egyensúly Pareto hatékonyság Sejtmag
Játékpéldák	A fogoly dilemmája Az "El Farol" bár feladata Bertrand modell Cournot modell Stackelberg modell Orlyanka A megosztott erőforrások tragédiája sólymok és galambok
Episztemikus játékelmélet Mechanizmus tervezés Tisztességes felosztás