Dedekind gyűrű

Az általános algebrában a Dedekind-gyűrű olyan integrálgyűrű , amelyben minden nullától eltérő ideál elsődleges ideálok szorzatára bomlik . Megmutatható, hogy ebben az esetben a bővülés a tényezők sorrendjéig egyedi. Az alábbiakban számos egyéb leírás található a Dedekind gyűrűkről, amelyek definíciónak tekinthetők.

A mező egy olyan integrálgyűrű, amelyben nincsenek nem nullától eltérő ideálok, tehát az előző tulajdonság szigorúan véve érvényes. Egyes szerzők hozzáadják a "nem mező" feltételt a Dedekind-gyűrű meghatározásához; sok más szerző követi azt az implicit konvenciót, hogy a Dedekind-gyűrűkre vonatkozó tételek megfogalmazása triviálisan módosítható úgy, hogy azok a mezőkre is érvényesek legyenek.

A definícióból azonnal következik, hogy a főideálok minden tartománya egy Dedekind-gyűrű. A Dedekind gyűrű akkor és csak akkor faktoriális , ha egy fő ideális tartomány.

A fogalom megjelenésének előtörténete

A 19. században általánossá vált az algebrai számgyűrűk használata a diofantin egyenletek megoldására . Például annak meghatározására, hogy mely egész számok ábrázolhatók -ként , teljesen természetes , hogy a másodfokú alakot faktorokká alakítjuk, a felosztás a másodfokú mező egész számainak gyűrűjében történik . Hasonlóképpen, egy természetes polinom esetében (amely a Fermat-egyenlet megoldása során keletkezik ) kibővíthető a gyűrűben , ahol az egység primitív gyöke . $x^{2}+my^{2}$ ${\megjelenítési stílus (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $n$ $z^{n}-y^{n}$ $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ $\zeta _{n}$ $n$

Az és kis értékei esetén ezek az egész számok gyűrűi a főideálok tartományai; bizonyos értelemben ez magyarázza Fermat ( ) és Euler ( ) részsikerét e két probléma megoldásában. Ekkorra a másodfokú formák tanulmányozásával foglalkozó szakemberek tudták azt az eljárást, amellyel a négyzetes mező egész számainak gyűrűjét ellenőrizni lehet, hogy a tulajdonság "a főideálok tartománya legyen". Gauss tanulmányozta az esetet : kilenc értéket talált, amelyek kielégítik a tulajdonságot, és feltételezte, hogy nincs más érték (Gauss sejtése több mint száz évvel később beigazolódott). $m$ $n$ $m=1,n=4$ $m=2,3,n=3$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $D<0$ $D$

A 20. századra a matematikusok kezdték felismerni, hogy a főideál-feltétel túl finom, míg a Dedekind-feltétel erősebb és stabilabb. Például Gauss azt javasolta, hogy végtelenül sok pozitív prím van , így a teljes mezők gyűrűje a főideálok területe ; azonban a mai napig még azt sem tudni, hogy van-e végtelenül sok olyan számmező , amelynek egész számok gyűrűi kielégítik ezt a feltételt! Másrészt egy számmező egész számainak gyűrűje mindig Dedekind. $p$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$

Ennek a "stabilitásnak" egy másik bizonyítéka, hogy a Dedekindness egy helyi tulajdonság : a Noether-gyűrű akkor és csak akkor Dedekind, ha annak lokalizációja bármely maximális ideál szerint Dedekind. De egy lokális gyűrű akkor és csak akkor Dedekind, ha egy fő ideális tartomány és egy diszkrét értékelési gyűrű , tehát a fő ideális tartományok esetében a Dedekindity a diszkrét értékelési tulajdonság globalizációja . $R$

Egyenértékű definíciók

Olyan integrálgyűrű esetén, amely nem mező, a következő állítások egyenértékűek: $R$

Minden nullától eltérő ideál prímszámok szorzatára bomlik;
$R$ noetheri , és lokalizációja bármely maximális ideálhoz képest egy diszkrét értékelési gyűrű;
A gyűrű bármely törtideálja megfordítható; $R$
$R$ szervesen zárt , noetheri, és Krull dimenziója egyenlő eggyel.

A Krull-gyűrű a Dedekind-gyűrű „nagyobb dimenziójú” analógja: A Dedekind-gyűrűk (amelyek nem mezők) pontosan az 1-es dimenziójú Krull-gyűrűk. A Dedekind-gyűrű definícióját N. Bourbaki használta a kommutatív algebrában.

Példák

A főideálok minden tartománya, és így minden diszkrét értékelési gyűrű is Dedekind.

A K számmező algebrai egész számainak gyűrűje Noether-féle, integrálosan zárt, és 1-es dimenziójú (ez utóbbi bizonyításához elegendő megjegyezni, hogy bármely nem nulla I ideál esetén az R , R / I gyűrűk végesek, és véges integrálok a gyűrűk mezők), tehát R jelentése Dedekind. Ez egy alapvető, motiváló példa a Dedekind gyűrűk elméletére. $R={\mathcal {O}}_{K}$

Egy másik példa, amely nem kevésbé fontos, mint az első, az algebrai geometria. Legyen C egy k mező feletti affin algebrai görbe . Ekkor a C -n lévő reguláris függvények k [ C ] koordinátagyűrűje Dedekind. Valójában ez csak geometriai kifejezések fordítása algebrai nyelvre: egy affin változat koordinátagyűrűje definíció szerint egy véges generált k - algebra (tehát Noether-féle); a görbe az 1. dimenziót jelenti, a szingularitások hiánya pedig a normalitást , vagyis az integrál zárást.

Mindkét példa a következő alaptétel speciális esete:

Tétel: Legyen R egy Dedekind gyűrű K hányadosok mezőjével , L K véges kiterjesztése , S pedig R egész zárása L -ben . Ekkor S egy Dedekind gyűrű.

Ezt a konstrukciót R = Z -re alkalmazva megkapjuk a számmező egész számainak gyűrűjét. R = k [ x ] a szingularitás nélküli algebrai görbék esetének felel meg.

Törtideálok és az ideális osztálycsoport

Legyen R egy K törtmezőjű integrálgyűrű . Az R gyűrű törtideálja egy nullától eltérő R -almodul , amelyre létezik K - ből egy nullától eltérő x , $xI\subset R.$

Adott két I , J törtideál , ezek IJ szorzata az összes véges összeg halmazaként definiálható: az IJ szorzat is töredálideál. Az összes törtideál Frac(R) halmaza tehát kommutatív félcsoport, sőt monoid: az azonosságelem az R törtideál . $\sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\in I,\ j_{n}\in J$

Bármely I töredálideálhoz definiálhatunk töredálideált

I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subset R\}.

Nyilvánvalóan . Az egyenlőség akkor érhető el, ha I invertálható (mint a Frac(R) monoid eleme). Más szóval, ha van egy inverz elemem, akkor ez az inverz . $I^{*}I\subset R$ $én^*$

A főtörtideál a K - beli nullától eltérő x alakjának törtideálja . Minden törtideál megfordítható: az inverze egyszerűen . Jelölje a Prin(R) főtörtideálok alcsoportját. $xR$ $xR$ ${\frac {1}{x}}R$

Az R integrálgyűrű akkor és csak akkor főideálgyűrű, ha minden törtideál fő. Ebben az esetben Frac(R) = Prin(R) = , mivel és akkor és csak akkor esik egybe, ha R invertálható eleme . $K^{*}/R^{*}$ $xR$ $YR$ $xy^{-1}$

Egy tetszőleges R integrált gyűrű esetén a Prin(R) szubmonoid Frac(R) hányadosának van értelme. Általában ez a tényező csak egy monoid. Könnyen belátható, hogy a Frac(R)/Prin(R) I törtideálosztály akkor és csak akkor invertálható, ha I maga is invertálható.

Most világossá válik a Dedekind gyűrű harmadik definíciójának jelentése: a Dedekind gyűrűben - és csak a Dedekind gyűrűben - minden töredálideál megfordítható. Így a Dedekind gyűrűk a gyűrűk azon osztálya, amelyeknél a Frac(R)/Prin(R) az R gyűrű ideális Cl(R) osztálycsoportjának nevezett csoport . Cl(R) akkor és csak akkor triviális, ha R egy fő ideális tartomány.

Az algebrai számelmélet egyik alaptétele kimondja, hogy egy számmező egész számok gyűrűjének ideális osztálycsoportja véges.

Véglegesen generált modulok Dedekind gyűrűk felett

Szem előtt tartva, hogy létezik egy rendkívül hasznos struktúratétel a főideálok tartományai felett végesen generált modulokra , természetes, hogy megtudjuk, hogy ez kiterjeszthető-e a Dedekind-gyűrűk esetére.

Emlékezzünk vissza a struktúratétel megfogalmazására egy főideálok tartománya feletti modulra. A torziós részmodult a gyűrű elemeinek halmazaként határozzuk meg úgy , hogy a . Akkor: $M$ $T$ $m$ $M$ $rm=0$ $r$ $R$

(1) felbontható ciklikus torziós modulok közvetlen összegére , amelyek mindegyike a gyűrű valamely nullától eltérő ideáljának alakja . A kínai maradéktétel szerint mindegyik felbontható a következő alakú modulok közvetlen összegére , ahol a prímideál foka. A modulus ebből eredő bővülése a tényezők sorrendjéig egyedi. $T$ $R/I$ $én$ $R$ $R/I$ ${\displaystyle R/P^{i))$ ${\displaystyle P^{i))$ $T$

(2) A modulnak van egy kiegészítő almodulja , amely . $P$ $M$ $M=T\oplus P$

(3) izomorf egy egyedileg meghatározott nemnegatív egész számra . Pontosabban, ez egy véges generált ingyenes modul. $P$ $R^{n}$ $n$ $P$

Legyen most egy végesen generált modul egy Dedekind gyűrűn. Az (1) és (2) állítás rá is igaz marad. A (3)-ból azonban az következik, hogy bármely véges generált csavarásmentes modul szabad . Ebből különösen az következik, hogy minden töredékeszmény fő. Más szóval, a Cl [ R ] ideális osztálycsoport nontrivialitása ellentmond (3). Kiderült, hogy az ideális osztálycsoport ismeretében szabályozható a "további" véges generálású torziómentes modulok száma. Egy Dedekind gyűrűn keresztül tetszőleges véges generált modul esetén az utasítás $M$

(3') izomorf az 1. rangú projektív modulok közvetlen összegével: . Sőt, minden 1. rangú projektív modulhoz $P$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r))$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s))$

{\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s))

akkor és csak akkor hajtják végre

r=s

és

I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.

Az 1. rangú projektív modulokat törtideálokkal azonosítjuk, így az utolsó feltétel újrafogalmazható így

[I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).

Ezért egy véges generált torziómentes rangmodul felírható így , ahol egy 1. rangú projektív modul. A P modul Steinitz osztálya R felett ideális osztály a Cl(R) csoportban, egyedileg definiált [ 1] . Ezért $n>0$ $R^{n-1}\oplus I$ $én$ $[I]$ $én$

Tétel. Legyen R egy Dedekind gyűrű. Ekkor , ahol K 0 ( R ) végesen generált projektív R -modulok kommutatív monoidjának Grothendieck-csoportja . $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)$

Ezeket az eredményeket Ernst Steinitz állapította meg 1912-ben.

Jegyzetek

↑ Fröhlich & Taylor (1991) 95. o

Irodalom

Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - M: Mir, 1972
Bourbaki N. Kommutatív algebra. - M: Mir, 1971
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra 1-2. - M: IL, 1963
Claborn, Luther (1965), Dedekind domains and rings of quotents , Pacific J. Math. T. 15: 59–64 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102995991 > Archiválva 2011. június 7-én a Wayback Machine -nél
Claborn, Luther (1966), Minden Abel-csoport egy osztálycsoport , Pacific J. Math. T. 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102994263 > Archiválva : 2011. június 7. a Wayback Machine -nél
Clark, Pete L. (2009), Elliptic Dedekind domains revisited , L'Enseignement Mathematique vol . 55: 213–225 , < http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf > Archiválva : 2018. május 16. Wayback gép
Fröhlich, A. & Taylor, MJ (1991), II. Dedekind tartományok, Algebrai számelmélet , vol. 27, Cambridge-i felsőfokú matematikai tanulmányok, Cambridge University Press , p. 35-101, ISBN 0-521-36664-X
Leedham-Green, C.R. (1972), The class group of Dedekind domains , Trans. amer. Math. szoc. T. 163: 493–500 , DOI 10.2307/1995734
Rosen, Michael (1976), Elliptic curves and Dedekind domains , Proc. amer. Math. szoc. T. 57 (2): 197–201 , DOI 10.2307/2041187
Steinitz, E. (1912), Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern , Math. Ann. V. 71 (3): 328–354 , DOI 10.1007/BF01456849