Hilbert huszonegyedik problémája

Hilbert huszonegyedik problémája ( a Riemann-Hilbert-probléma ) egyike annak a 23 problémának , amelyet David Hilbert javasolt 1900. augusztus 8-án a II. Nemzetközi Matematikuskongresszuson . lineáris differenciálegyenletek tetszőleges szinguláris pontrendszerhez és adott monodrómiamátrixhoz .

1989-ben Andrei Bolibrukh [1] ellenpélda felépítésével oldotta meg . Ugyanakkor sokáig megoldottnak tekintette Josip Plemel 1908 -ban , azonban a hetvenes években Juli Ilyashenko egy hibát fedezett fel - Plemel konstrukciója csak akkor tette lehetővé a szükséges rendszer kiépítését, ha a monodrómia mátrixok közül legalább az egyik diagonalizálható volt) [ 2] .

Eredeti megfogalmazás:

21. Lineáris differenciálegyenletek létezésének bizonyítása adott monodrómacsoporttal. <...> Mindig létezik lineáris fuksziánus differenciálegyenlet adott szinguláris pontokkal és adott monodrómiacsoporttal. <…> [3]

Eredeti szöveg  (német)[ showelrejt] 21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe. Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne gehabt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets einetellechung der Fuchsen Schen einer gegebenen Monodromiegruppe giebt. Die Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Variabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär verhalten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen nur Belle diesel von endlich un hoher Or. erfahren sie die gegebenen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differentialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem besonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen sindlich 1 abszolút betrachgeom. Diesen Beweis hat L. Schlesinger {Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, 2. rész No. 366} auf Grund der Poincaréschen Theorie der Fuchsschen zeta-Functionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Differentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problems gelänge. [4] .


Jegyzetek

  1. ↑ A. A. Bolibrukh, „The Riemann-Hilbert probléma a komplex projektív egyenesen” , Mat. jegyzetek, 46:3 (1989), 118-120
  2. ↑ Yu. S. Ilyashenko, " Nemlineáris Riemann-Hilbert probléma ", Differenciálegyenletek valós és összetett idővel, Cikkgyűjtemény, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, p. 10-34.
  3. ↑ Hilbert jelentésének fordítása német nyelvről - M. G. Shestopal és A. V. Dorofeev , megjelent a Hilbert problémái című könyvben / szerk. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 p. — 10.700 példány. Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2009. december 30. Az eredetiből archiválva : 2011. október 17.. 
  4. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (német) . - A jelentés szövege, amelyet Hilbert olvasott fel 1900. augusztus 8-án a párizsi II. Nemzetközi Matematikus Kongresszuson. Letöltve: 2009. augusztus 27. Az eredetiből archiválva : 2012. április 8..

Irodalom

 Hilbert problémák