A Fischer-csoport három szórványos csoport : Fi 22 , Fi 23 és Fi 24 , amelyet Bernd Fischer [1] [2] vezetett be .
A Fischer-csoportokat Bernd Fischerről el, aki felfedezte a csoportokat, amikor 3 permutációs csoportokat vizsgált. Ezek G csoportok a következő tulajdonságokkal:
A 3 permutációs csoport tipikus példája a szimmetrikus csoport . Az S n szimmetrikus csoport n − 1 permutációval generálható — (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .
Fischer képes volt osztályozni a 3 permutációból álló csoportokat, amelyek bizonyos további feltételeknek is megfelelnek. Az általa talált csoportok többnyire végtelen osztályokba sorolhatók (a szimmetrikus csoportok mellett a szimplektikus csoportok, az unitárius és az ortogonális csoportok egy része), és 3 nagyon nagy új csoportot is talált. Ezeket a csoportokat általában Fi 22 , Fi 23 és Fi 24 - nek nevezik . Közülük az első kettő egyszerű csoport, a harmadik pedig a 2-es indexű Fi 24 ′ egyszerű csoportot tartalmazza .
A Fischer-csoportok kiindulópontja a PSU 6 (2) unitárius csoport, amely a Fischer csoport sorozatban Fi 21 csoportnak tekinthető. Ennek a csoportnak a sorrendje 9.196.830.720 = 2 15 ⋅3 6 ⋅5⋅7⋅11 . Valójában a 2.PSU 6 (2) dupla burkolat az új csoport alcsoportjává válik. Egy 3510 (= 2⋅3 3 ⋅5⋅13) csúcsú gráf egy csúcsának stabilizátora . Ezeket a csúcsokat konjugált 3-permutációként definiáljuk a gráf Fi 22 szimmetriacsoportjában .
A Fischer-csoportokat a nagy Mathieu-csoportokkal analógia alapján nevezik el . Az Fi 22 -ben az egymással ingázó 3 permutáció maximális halmaza 22-es méretű, és ezt alaphalmaznak nevezzük . 1024 3-permutáció van, az úgynevezett anabasis , amelyek nem ingáznak semmilyen permutációval a választott bázishalmazban. A fennmaradó 2364 permutáció, úgynevezett hexavalens , átvált a 6 bázisú permutációval. A 6 permutációból álló halmazok alkotják az S(3,6,22) Steiner-rendszert , melynek szimmetriacsoportja M 22 . Az alaphalmaz egy 2 10 rendű Abel-csoportot generál , amely Fi 22 -ben a 2 10 :M 22 alcsoportra bővül .
A következő Fisher-csoportot a 2.Fi 22 -ből kapjuk, mint egypontos gráfstabilizátort 31671 (= 3 4 ⋅17⋅23) csúcstal, ha a csúcsokat 3 permutációként értelmezzük a Fi 23 csoportban . A 3-permutációnak 23-as méretű alapkészlete van, és 7 permutáció ingázik egy adott külső 3-permutációval.
A következő csoport az Fi 23 -at egypontos gráfstabilizátornak tekinti, 306936 (= 2 3 ⋅3 3 ⋅7 2 ⋅29) csúcsgal, hogy Fi 24 -et alkosson . A 3-permutáció 24-es méretű alaphalmazokkal rendelkezik, és a 24-ből 8 az adott külső 3-permutációval kommutál. Az Fi 24 csoport nem egy egyszerű csoport, de a gyermek alcsoportja 2-es indexű, és szórványos egyszerű csoport.
Ezeknek a csoportoknak nincs egyetlen megnevezése. Egyes szerzők F-et használnak Fi helyett (például F 22 ). Fischer az M(22), M(23) és M(24)′ megjelöléseket használta, ami a három legnagyobb Mathieu-csoporttal való szoros kapcsolatukat hangsúlyozta: M 22 , M 23 és M 24 .
A zavar egyik forrása a Fi 24 . Ezt a jelölést néha az egyszerű Fi 24 ′ csoportra, néha pedig a teljes 3 permutációs csoportra (kétszer akkora) használják.
Conway és Norton 1979-ben egy tanulmányt javasoltak azzal érvelve, hogy a szörnyű értelmetlenség elmélet [3] nem korlátozódik a Szörny csoportra, és hasonló jelenségeket találtak más csoportoknál is. Larissa Quinn és mások azt találták, hogy a szórványos csoportdimenziók egyszerű kombinációiból sok Hauptmoduln (főmodul) [4] kiterjesztése megszerkeszthető.
| Csoportelmélet | |
|---|---|
| Alapfogalmak | |
| Algebrai tulajdonságok | |
| véges csoportok |
|
| Topológiai csoportok | |
| Algoritmusok csoportokon | |