Hipoelliptikus operátor

A hipoelliptikus operátor olyan parciális differenciális operátor , amelynek alapvető megoldása a tér minden pontján az osztályhoz tartozik, kivéve az origót. ${\displaystyle C^{\infty ))$

Definíció

Legyen egy valós polinom változókban $P(\xi )$ $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):$

P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\ alfa }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n)),

hol és . ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n))$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n))$

Meghatározzuk a megfelelő differenciáloperátort:

P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha } {\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},

ahol

D=(D_{1},\ldots ,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j))},\quad j=1, \ldots ,n.

Az általánosított függvényt a differenciáloperátor alapmegoldásának nevezzük, ha megoldása annak az egyenletnek, ahol a Dirac delta függvény . Egy operátort hipoelliptikusnak nevezünk, ha az összes osztályba tartozik . [1] [2] ${\mathcal {E}}(x)$ $P(D)$ $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ $\delta(x)$ $P(D)$ ${\mathcal {E}}(x)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $x\neq 0$

Tulajdonságok

A hipoellipticitás alábbi kritériumait gyakran használják a hipoelliptikus operátor definíciójaként: [1]

1. Tétel. Egy operátor akkor és csak akkor hipoelliptikus, ha bármely nyitott tartományra az egyenlet bármely megoldása (általánosított függvénye) $P(D)$ $U\alhalmaz {\mathbb {R}}^{n}$ $u(x)$

P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,

bármely jobb oldallal szintén az osztályba tartozik $f\in C^{\infty }(U)$ $u\in C^{\infty }(U).$

A hipoellipticitás következő algebrai kritériuma, amelyet Hörmander állított fel, szintén érvényes : [1]

2. Tétel. Egy operátor akkor és csak akkor hipoelliptikus $P(D)$

{\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,

mindenkinek hol van a képzeletbeli egység . $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ $én$

Példák

Bármely elliptikus operátor hipoelliptikus, például a Laplace-operátor [2] .
A hőkezelő hipoelliptikus, de nem elliptikus [2] .
A d'Alembert-operátor nem hipoelliptikus [2] .

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Hörmander L. Lineáris parciális differenciális operátorok elemzése. - Moszkva: Mir, 1986-1988.
↑ 1 2 3 4 Vladimirov V.S. Általánosított függvények a matematikai fizikában. - Moszkva: Nauka, 1979.

Irodalom

Hormander L. Lineáris differenciáloperátorok elemzése parciális deriváltokkal. - Moszkva: Mir, 1986-1988.
Vladimirov V.S. Általánosított függvények a matematikai fizikában. - Moszkva: Nauka, 1979.
Yu.V. Egorov , M.A. Shubin. Lineáris parciális differenciálegyenletek. A klasszikus elmélet alapjai . — A tudomány és a technológia eredményei. Ser. Modern prob. mat. Fundam. irányokat. - Moszkva: VINITI, 1988. - T. 30. - S. 5-255.
J. Trev. Előadások állandó együtthatós lineáris parciális differenciálegyenletekről. - Moszkva, 1965.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák