Bateman-Horn hipotézis

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Bateman-Horn sejtés egy számelméleti állítás a polinomrendszer értékei közötti prímszámok gyakoriságára vonatkozóan . Paul Bateman és Roger Horn fogalmazta meg 1962-ben. Ez a Hardy-Littlewood-sejtés általánosítása az ikerprímek sűrűségéről és az n 2 + 1 alakú prímszámokról szóló sejtés ; és egyben a H hipotézis megerősítése is .

Definíció

A Bateman-Horn hipotézis előírja[ tisztázza ] a pozitív egészek feltételezett sűrűsége úgy, hogy minden adott polinomnak van prímértéke. Egy m különálló ƒ 1 , …, ƒ m ƒ 1 , …, ƒ m egész együtthatós irreducibilis polinom halmazánál nyilvánvaló szükséges feltétele annak, hogy a polinomok egyidejűleg végtelenül gyakran generáljanak prímértékeket, hogy kielégítsék a Bunyakovsky tulajdonságot , hogy ne legyen p prímszám . amely elosztja f ( n ) szorzatukat minden n pozitív egész számmal . Ha ugyanis lenne ilyen p prímszám, akkor ha egy adott n -re minden polinomérték egyidejűleg prím lenne, az azt jelentené, hogy legalább az egyiknek egyenlőnek kell lennie p -vel , ami csak véges számú érték esetén fordulhat elő. n , ellenkező esetben végtelen számú gyökszámú polinom lesz, míg a sejtés az, hogyan határozzuk meg azokat a feltételeket, amelyek mellett az értékek egyidejűleg prímek egy végtelen n szám esetén .

Egy n egész szám generáló prímszám egy adott polinomrendszerhez, ha minden ƒ i ( n ) polinom prímszámot ad, ha n -t adunk meg argumentumként. Ha P ( x ) azon egész számok száma, amelyek az x - nél kisebb pozitív egészek között prímeket generálnak , akkor a Bateman-Horn sejtés kimondja, hogy

P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,

ahol D a polinomok hatványainak szorzata, C pedig a p prímek szorzata .

C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m))}\

a megoldások számával $N(p)$

f(n)\equiv 0{\pmod {p)).\

Bunyakovszkij tulajdonsága minden p prímre vonatkozik, tehát a végtelen C szorzat minden tényezője pozitív. Ekkor intuitívan azt várnánk, hogy a C állandó maga is pozitív, és némi munkával ez bizonyítható. (Munkára van szükség, mert a pozitív számok néhány végtelen szorzata nulla.) $N(p)<p$

Negatív számok

Ahogy fentebb is mondtuk, a sejtés hamis: az egyetlen ƒ 1 ( x ) = − x polinom csak akkor ad negatív számokat, ha pozitív argumentumot ad, így a prímek aránya az értékei között mindig nulla. Két egyformán érvényes módja van a hipotézis finomításának, hogy elkerüljük ezt a nehézséget:

Megkövetelhetjük, hogy minden polinom pozitív vezető együtthatóval rendelkezzen, így értékeinek csak állandó száma lehet negatív.
Alternatív megoldásként megengedhetünk negatív vezető együtthatókat, de figyelembe kell venni a negatív számprímszámot, ha annak abszolút értéke prím.

Indokolt megengedni, hogy a negatív számokat prímeknek tekintsük, mint egy lépést afelé, hogy általánosabb feltételezéseket fogalmazzunk meg, amelyek más számrendszerekre is vonatkoznak, mint az egészek, ugyanakkor könnyen lehet a polinomokat egyszerűen tagadni, és szükség esetén redukálni arra az esetre, amikor a vezető együtthatók pozitívak.

Példák

Ha a polinomrendszer egyetlen ƒ 1 ( x ) = x polinomból áll, akkor n azon értékei, amelyekre ƒ 1 ( n ) prímszámok, maguk is prímszámok, és a sejtés a prímszám újrafogalmazása lesz. tétel .

Ha a polinomrendszer két polinomból áll: ƒ 1 ( x ) = x és ƒ 2 ( x ) = x + 2, akkor n azon értékei, amelyekre ƒ 1 ( n ) és ƒ 2 ( n ) is prímek számok, akkor ez egyszerűen az egyes ikerpárok két prímszáma közül a kisebb . Ebben az esetben a Bateman-Horn -sejtés az ikerprímek sűrűségére vonatkozó Hardy-Littlewood-sejtésre redukálódik, amely szerint az x - nél kisebb ikerprímpárok száma

\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2))}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\kb 1,32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

Polinomok analógja véges mező felett

Ha az egész számokat az F [ u ] polinom gyűrűvel helyettesítjük egy véges F mezőben, feltehetjük a kérdést, hogy az f i ( x ) polinomok véges halmaza F [ u ][ x ] -ben milyen gyakran vesz fel egyidejűleg irreducibilis értéket F [ u ], ha lecseréljük F [ u ] x elemét . Az egész számok és az F [ u ] közötti jól ismert analógiák a Bateman-Horn sejtés analógját kínálják F [ u ]-ról, de az analóg téves. Például az adatok azt mutatják, hogy a polinom

x^{3}+u\,

F 3 -ban [ u ][ x ] veszi (aszimptotikusan) az irreducibilis értékek várható számát, amikor x páratlan fokú F 3 [ u ] polinomokon fut át , de úgy tűnik, hogy (aszimptotikusan) kétszer annyi irreducibilis értéket vesz fel amint az várható volt, ha x 2-es fokú polinomokon fut 4-es modulon, míg (bizonyíthatóan) egyáltalán nem vesz fel nem redukálható értékeket, ha x nem konstans polinomokon fut 4-gyel osztható fokon. A Bateman-Horn sejtés analógja kb. F [ u ], amely numerikus adatoknak felel meg, egy további aszimptotikus tényezőt használ, amely d modulo 4 értékétől függ , ahol d az F [ u ] -beli polinomok azon foka, amelyen x mintavételezésre kerül .

Linkek

Bateman Paul Trevier, Horne Roger Alan (1962), A heurisztikus aszimptotikus képlet a prímszámok eloszlásához , Mathematics of Computing V. 16 (79): 363–367 , DOI 10.2307/2004056
Guy, Richard Kennett (2004), Megoldatlan problémák a számelméletben (3. kiadás), Springer Publishing , ISBN 978-0-387-20860-2
Friedlander John, Granville Andrew (1991), Constraints on the Uniform Distribution of Primes. IV. , Proceedings of the Royal Society A T. 435 (1893): 197–204 , doi 10.1098/rspa.1991.0138 .
Soren Laing Aletia-Zomlefer, Lenny Fukshsky, Stefan Ramon Garcia (2018. július 25.), EGY HIPOTÉZIS AZ ÖNEK URALKODÁSÁRA: BATEMAN–HORN , p. 1–45

Hipotézisek prímszámokról _
Hipotézisek	Hardy – Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hipotézis Brocard Bunyakovszkij Kínai hipotézis Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problémák Goldbach Legendre Ikerszámok Legendre állandó Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hipotézis H Waringa