Attraktor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Attraktor ( angol vonz - vonz, vonz) - egy dinamikus rendszer fázisterének kompakt részhalmaza , amelynek valamely szomszédságából származó összes pálya az idővel a végtelenbe hajlik. Az attraktor lehet vonzó fix pont (például a levegővel szembeni súrlódású inga problémája esetén), periodikus pálya (például öngerjesztett oszcillációk egy pozitív visszacsatolási hurokban), vagy valamilyen korlátozott terület instabil pályákkal. (mint egy furcsa attraktor).

Az aspiráció fogalmának különböző formalizációi vannak, ami az attraktor különböző definícióihoz vezet, amelyek potenciálisan különböző halmazokat határoznak meg (gyakran egymásba ágyazva). A leggyakrabban használt definíciók a maximális attraktor (gyakran a kis szomszédságában, lásd alább), a Milnor attraktor és a nem vándorló halmaz .

Osztályozás

Az attraktorokat a következők szerint osztályozzák:

Az aspiráció fogalmának formalizálásai: különbséget teszünk a maximális attraktor, a nem vándorló halmaz, a Milnor-attraktor, a Birkhoff-centrum, a statisztikai és a minimális attraktor között.
Magának az attraktornak a szabályszerűségei: az attraktorokat szabályosra (fix pont vonzása, periodikus pálya vonzása, sokaság ) és furcsa (szabálytalan - gyakran fraktál és/vagy Cantor -halmazként elrendezve ; a dinamika rajtuk általában kaotikus ) kategóriákra osztják.
Lokalitás (" vonzó halmaz ") és globalitás (itt - a "minimális" kifejezés az "oszthatatlan" értelmében).

Emellett vannak jól ismert "elnevezett" példák az attraktorokra: Lorentz , Plykin , Smale-Williams mágnesszelep , heteroklinikai attraktor ( Bowen példája ).

Tulajdonságok és kapcsolódó definíciók

Minden definíció szerint az attraktort zárt és (teljesen) invariáns halmaznak tekintjük.

A Sinai-Ruelle-Bowen mérték fogalma szintén szorosan kapcsolódik az attraktor fogalmához : egy rajta lévő invariáns mérték, amelyhez egy tipikus (a Lebesgue-mérték értelmében) kiindulási pont időátlagai vagy az időátlagok kapcsolódnak. a Lebesgue-mérték iterációinak tendenciája. Ilyen intézkedés azonban nem mindig létezik (amit különösen Bowen példája illusztrál ).

A meghatározás formalizálásának típusai

Mivel a teljes fázisteret a dinamika mindenesetre megőrzi, az attraktor formális definíciója adható azon filozófia alapján, hogy "az attraktor a legkisebb halmaz, amelyre minden hajlik" - vagyis mindent kidob, ami csak lehetséges. kidobják a fázistérből.

Maximális attraktor

Adjunk egy dinamikus rendszernek egy területet , amelyet a dinamika szigorúan önmagába fordít: $U$

\overline {f(U)}\subset U

Ekkor a rendszer maximális attraktora az U-ra való korlátozásban az összes képének metszéspontja a dinamika hatására:

A_{{max}}=\bigcap _{{n=1}}^{{\infty }}f^{n}(U).

Ugyanez a meghatározás alkalmazható az áramlásokra is: ebben az esetben meg kell követelni, hogy az áramlást meghatározó vektormező a régió határán szigorúan azon belül legyen.

Ezt a definíciót gyakran használják egy halmaz "természetes" attraktorként való jellemzésére ("a szomszédságában a maximális attraktor"). Parciális differenciálegyenletekben is használják [1] .

Ennek a meghatározásnak két hátránya van. Először is, az alkalmazásához meg kell találni egy abszorbeáló régiót. Másodszor, ha egy ilyen területet sikertelenül választottak ki - mondjuk egy taszító fixpontot tartalmazott a taszítási készletével -, akkor a maximális attraktorban "extra" pontok lesznek, amelyek valójában nem helyezhetők el többször egymás után, de a ennek a „nem érzi” területnek a jelenlegi választása.

Milnor attraktor

Definíció szerint egy dinamikus rendszer Milnor-attraktorja a legkisebb (befogadás szerint) zárt halmaz, amely szinte az összes kezdőpont ω-határhalmazát tartalmazza a Lebesgue-mértékhez képest. Más szóval, ez a legkisebb halmaz, amelyre egy tipikus kiindulási pont pályája hajlik.

Nem vándorló készlet

Egy dinamikus rendszer x pontját vándorlásnak nevezzük , ha az U szomszédság egy részének iterációi soha nem keresztezik ezt a környéket:

\forall n>0\quad f^{n}(U)\bigcap U=\emptyset .

Más szóval, egy pont vándorló, ha van olyan környéke, amelyet bármely pálya csak egyszer keresztezhet. Az összes nem vándorló pont halmazát nem vándorló halmaznak nevezzük.

Statisztikai attraktor

Statisztikai attraktort úgy definiálunk, mint a legkevésbé záródó zárt halmazt , amelynek szomszédságában szinte minden pont szinte minden időt tölt: bármelyik szomszédságára , szinte bármelyik (a Lebesgue-mérték értelmében) pontra $A_{{stat}}$ $U$ $x$

{\frac {1}{N}}\#\{j\leq N\mid f^{j}(x)\in U\}\to 1,\quad N\to \infty .

Minimális attraktor

A minimális attraktort úgy definiáljuk, mint a legkisebb (a befogadás szempontjából) zárt halmazt , amelynek szomszédságában szinte az egész Lebesgue-mérték szinte minden időt tölt: bármelyik környékére , $Benne vagyok}}$ $U$

{\frac {1}{N}}\sum _{{j=0}}^{{N-1}}(f_{*}^{j}(Leb))(U)\to 1,\quad N\to \infty .

Példák eltérésekre

Lokalitás, minimalitás és globalitás

Szabályos és furcsa attraktorok

Rendszeres attraktorok

Vonzó fix pont

(például: súrlódó inga)

Limit ciklus

(például: mikrofon+hangszórók, Van der Pol oszcillátor )

Furcsa attraktorok

(Példák: Lorenz attraktor, Rössler attraktor , Smale-Williams mágnesszelep; kommentár a pillangóeffektushoz és a dinamikus káoszhoz .)

A furcsa attraktor instabil trajektóriák vonzási halmaza egy disszipatív dinamikai rendszer fázisterében [2] . Az attraktorral ellentétben nem sokaság , azaz nem görbe vagy felület. A furcsa attraktor szerkezete fraktál . Az ilyen attraktor pályája nem periodikus (nem záródik), a működési mód pedig instabil (kis eltérések a módustól növekednek). Az attraktor véletlenszerűségének fő kritériuma a kis perturbációk exponenciális növekedése az időben. Ennek következménye a rendszerben való "keveredés", a rendszer bármely koordinátájának időbeni nem periodikussága , folyamatos teljesítményspektrum és időben csökkenő autokorrelációs függvény .

A furcsa attraktorok dinamikája gyakran kaotikus : az attraktorba beleesett pálya előrejelzése nehéz, mivel a kezdeti adatok kis pontatlansága egy idő után erős eltéréshez vezethet az előrejelzés és a valós pálya között. A determinisztikus dinamikus rendszerekben a pálya kiszámíthatatlanságát dinamikus káosznak nevezzük , ami megkülönbözteti a sztochasztikus dinamikus rendszerekben előforduló sztochasztikus káosztól . Ezt a jelenséget pillangóeffektusnak is nevezik , amely magában foglalja annak lehetőségét, hogy a pillangó szárnyainak a bolygó egy pontján történő csapkodása által okozott gyenge turbulens légáramlatok a bolygó másik oldalán erőteljes tornádóvá alakuljanak , mivel a légkörben többszörösen felerősödnek . idő. Valójában azonban egy pillangó szárnyának csapódása általában nem hoz létre tornádót, mivel a gyakorlatban van egy olyan tendencia, hogy átlagosan ilyen kis ingadozások nem változtatják meg az olyan összetett rendszerek dinamikáját, mint a bolygó légköre, és maga Lorentz mondta ez: „Általában azonban azt állítom, hogy az évek során a kisebb sokkok nem növelik és nem csökkentik a különféle időjárási események, például hurrikánok előfordulási gyakoriságát. Csak annyit tehetnek, hogy megváltoztatják e jelenségek előfordulási sorrendjét.” És ez talán egy fontos és meglepő dolog, amely nélkül nehéz, ha nem lehetetlen lenne a kaotikus dinamikát (a rendszer kezdeti feltételeinek legkisebb változására érzékeny dinamikát) tanulmányozni.

A furcsa attraktorok között vannak olyanok, amelyek Hausdorff-dimenziója eltér a topológiai dimenziótól , és töredékes. Az egyik leghíresebb ilyen attraktor a Lorenz attraktor .

Nominális példák

Lorentz attraktor

A Lorentz-attraktort létrehozó differenciálegyenlet-rendszer alakja:

{\pont x}=\sigma (yx)

{\pont y}=x(rz)-y

{\pont z}=xy-bz

a következő paraméterértékekkel: , , . A Lorenz attraktor nem klasszikus. Smale értelemben sem furcsa . [3] $\sigma =10$ $r=28$ $b=8/3$

Smale-Williams mágnesszelep

A Smale-Williams mágnesszelep egy példa egy reverzibilis dinamikus rendszerre , amely a pályák viselkedésében hasonló a kör megkettőződéséhez . Pontosabban ez a dinamikus rendszer a szilárd tóruszon van definiálva , és ennek egyik iterációjában a szögkoordináta megduplázódik; ahonnan a pályák exponenciális eltérése és a kaotikus dinamika automatikusan létrejön. Ennek a rendszernek a maximális attraktorát szolenoidnak is nevezik (ahonnan a név is származik): egy tömör tórusz mentén tekercselt „szálak” (megszámlálhatatlan) egyesüléseként van elrendezve .

Plykin attraktor

A Plykin attraktor egy példa egy dinamikus rendszerre egy lemezen, amelynek maximális attraktorja hiperbolikus . Ez a példa különösen szerkezetileg stabil, mivel kielégíti Smale A axiómáját.

Bowen példája, vagy a heteroklinikai attraktor

Héno attraktora

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

Hipotézisek

Palis sejtése [4]

A T térnek van egy olyan metrikusan sűrű D részhalmaza, hogy bármely dinamikus rendszer Milnor-attraktorja a D halmazból csak véges számú tranzitív komponensre bontható fel ;
Az attraktor tranzitív komponenseinek SRB mértéke van ;
Az attraktor tranzitív komponensei vonzási medencéikben sztochasztikusan stabilak;
Egy tipikus egydimenziós dinamikacsalád tipikus rendszerében az attraktor komponensek vagy periodikus vonzási pályákat képviselnek, vagy abszolút folytonos invariáns mértékük van. [5]

Ruelle hipotézisei

Lásd még

Jegyzetek

↑ Yu. S. Iljasenko. A Kuramoto-Sivashinsky-egyenlet fázisportréjának globális elemzése, Journal of Dynamics and Differential Equations, Vol. 4, 1992. 4. szám
↑ Gaponov-Grekhov A.V. , Rabinovich M.I. Nemlineáris fizika. Sztochaszticitás és struktúrák // A XX. század fizikája: fejlődés és kilátások. - M., Nauka, 1984. - p. 237
↑ Furcsa attraktorok. Cikkek kivonata. Moszkva. 1981 Fordítás angolból, szerkesztette: Y. G. SINAI és L. P. SHILNIKOV
↑ Szemináriumok: V. A. Kleptsyn, Attractors of dynamical systems . www.mathnet.ru Letöltve: 2018. augusztus 17. (határozatlan)
↑ Saltykov, Petr Szergejevics. Az attraktorok és a dinamikus rendszerek változatlan halmazainak új tulajdonságai . - 2011. Archiválva : 2018. augusztus 17. (Orosz)

Irodalom és irodalom

A. Gorodetski, Yu. Iljasenko. Minimális és furcsa attraktorok, International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 6, sz. 6 (1996), pp. 1177-1183.
A. S. Gorodetsky. Minimális attraktorok és dinamikus rendszerek részlegesen hiperbolikus halmazai. Diss. c.f.-m. n., Moszkvai Állami Egyetem, 2001.
Elektronikus könyvtár a nemlineáris dinamikáról
J. Milnor "Attractor " cikke , Scholarpedia.
A legfurcsább attraktorok galériája . LENTA.RU. Letöltve: 2013. március 28. Az eredetiből archiválva : 2013. április 4.. (határozatlan)
E. V. Nikulcsev. Kísérleti adatokon alapuló rendszerek rekonstrukciójának geometriai módszere // Levelek ZhTF-nek. 2007. T. 33. szám. 6. S. 83-89.
E. V. Nikulcsev. Dinamikus rendszerek azonosítása rekonstruált attraktorok szimmetriái alapján.Moszkva, 2010.