Chua lánc

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Chua áramkör vagy Chua áramkör a legegyszerűbb elektromos áramkör , amely a kaotikus rezgések módjait mutatja be. Leon Chua Kaliforniai Egyetem professzora javasolta 1983 - ban . Az áramkör két kondenzátorból , egy induktorból , egy lineáris ellenállásból és egy nemlineáris negatív ellenállásból áll (ezt általában Chua diódának nevezik ).

Matematikai modell

Az 1. ábrán látható áramkör egyenletrendszerét az első Kirchhoff-szabály és az induktor feszültségének képlete segítségével kaphatjuk meg:

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{C_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{C_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2)))+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}},\end{aligned}}\right.

ahol és a kapacitások feszültségei, az induktivitáson áthaladó áram, a Chua diódát jellemző darabonkénti lineáris függvény, definíciója: $v_{C_{1))$ $v_{C_{2))$ $i_{L}$ $g(v_{{C_{1}}})$

g(v_{C_{1}})=G_{b}v_{C_{1}}+{\frac {1}{2}}(G_{a}-G_{b}){\big (}|v_{C_{1}}+E|-|v_{C_{1}}-E|{\big )}.

Ezt a nemlineáris függvényt grafikusan ábrázolja a 2. ábra: a belső és külső szakaszok meredeksége G a, illetve G b ; ebben az esetben a pontok ± E a grafikon töréseinek felelnek meg.

Tegyük a következő helyettesítéseket a dimenzió nélküli együtthatókra:

m_{0}={\frac {G_{a}}{G)),\quad m_{1}={\frac {G_{b}}{G)),\quad \alpha ={\ frac {C_{2}}{C_{1}}},\quad \beta ={\frac {C_{2}}{LG^{2}}},

\tau ={\frac {tG}{C_{2))},\quad x={\frac {v_{C_{1))}{E)),\quad y={\frac {v_ {C_{2}}}{E}},\quad z={\frac {i_{L}}{EG}}.

A fő egyenletrendszer a formába írható

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{d\tau }}&=\alpha {\big (}yxh(x){\big )},\\{\frac { dy}{d\tau }}&=x-y+z,\\{\frac {dz}{d\tau }}&=-\beta y,\end{aligned}}\right.

ahol

h(x)=m_{1}x+{\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1}){\big (}|x+1|-|x-1| {\nagy )}.

Üzemmódok

A Chua áramkör a kaotikus oszcillációs módokat meglehetősen szűk paramétertartományban érzékeli. A fő oszcillációs módokat feltételesen a 3. ábra mutatja.

Abban az esetben, ha az α és β paraméterek a diagram 1 - es számmal jelölt tartományába tartoznak , akkor a rendszerben két stabil egyensúlyi helyzet van d és − d , valamint egy instabil a 0 origónál. Ebben az esetben a A Chua lánc, a kezdeti feltételektől függően, a két stabil egyensúlyi helyzet egyikébe fog kerülni. Abban az esetben, ha a rendszerparaméterek a 2 - es számmal jelölt területen vannak, akkor a d vagy −d egyensúlyi pont szomszédságában van egy stabil határciklus . Ahogy közeledik a határhoz egy kaotikus rendszerrel, a rendszer egy periódusduplázási cikluson megy keresztül egészen egy kaotikus Rössler-attraktor kialakulásáig . A paraméterértékek növekménye minden következő periódus kezdete előtt a kettős bifurkáció a Feigenbaum-relációnak megfelelően csökken . Amikor a paraméterek a 6 -os számmal jelölt területre esnek , egy furcsa attraktor jön létre (4. ábra), amit „kettős görgetésnek” ( eng. double scroll ) neveznek. Ennél a viselkedéstípusnál a rendszer pályája mind a felső, mind az alsó egyensúlyi helyzet közelében halad. A "kettős göndör" attraktor létezési tartományán belül is vannak olyan periodicitású ablakok, amelyek hasonlóak a Rössler-attraktor tartományában létezőkhöz . Különbségük az, hogy a periodikus pálya ebben az esetben mindkét egyensúlyi helyzetet lefedi. Amikor az α és β paraméterek átmennek a 3. ábrán 11 - es számmal jelölt tartományba , az oszcillációs rendszerben végtelenül növekvő amplitúdójú oszcillációk figyelhetők meg, függetlenül a kezdeti feltételektől. Mivel a Chua dióda op-erősítőkben van megvalósítva, korlátozott dinamikatartománnyal rendelkezik, és ezért a rendszerben egy nagy stabil határciklus is található, amely lefedi a Chua dióda karakterisztikájának minden szegmensét.

Az 5., 6. ábra az e rendszer által észlelt rezgések időfüggését mutatja.

4. ábra Kettős hullámos attraktor. Lissajous i L ábra v C1 - ből L = 1/7 H; G = 0,7 cm; C1 = 1/9 F; C2 = 1F; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A / V
5. ábra: Időfüggés v C1 L = 1/7 H esetre; G = 0,7 cm; C1 = 1/9F; C2 = 1F; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A / V
6. ábra: v C2 időfüggése L = 1/7 H esetre; G = 0,7 cm; C1 = 1/9 F; C2 = 1 F; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A / V

Chua Oscillator

A "Chua oszcillátor" kifejezést a Chua áramkörre használjuk, figyelembe véve az L induktor aktív ellenállását. Ennek az áramkörnek még több különféle üzemmódja van, és gyakorlatilag megvalósítható (7. ábra).

Ha R 0 - az L tekercs aktív ellenállása, egy egyenletrendszert kapunk

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{c_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{c_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2}})+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}}+R_{0}i_{L}.\ vége{igazított}}\jobbra.

A gyakorlati megvalósítás egyszerűsége, valamint a viszonylag egyszerű matematikai modell jelenléte a Chua áramkört kényelmes modellé teszi a káosz tanulmányozására .

Lásd még

Memristor

Irodalom

Kuznyecov A. P. A káosz vizuális képei // Soros Educational Journal , 2000, 11. sz., p. 104-110;
Bugaevsky M. Yu., Ponomarenko VI. A Chua lánc viselkedésének tanulmányozása. Oktatási segédlet , - Szaratov: Állami Egyetemi Központ "College" kiadója, 1998. - 29 p.
Matsumoto, T. A Chaotic Attractor from Chua's Circuit , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1984, vol. CAS-31, sz. 12, pp. 1055–1058.
Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family" , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, sz. 11, pp. 1073–1118.
T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro. "Birth and death of the double tekercs" , Physica D 24. kötet, 1-3. szám (1987. január/febr.).
Stankevich NV; Kuznetsov NV; Leonov G. A.; Chua L. (2017). "Forgatókönyv a rejtett attraktorok születéséről a Chua körpályán". International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 27 (12): 1730038–188 https://doi.org/10.1142/S0218127417300385
N. V. Kuznyecov. A rejtett rezgések elmélete és a vezérlőrendszerek stabilitása // Izvesztyija RAN. Elmélet és vezérlőrendszerek. - 2020. - 5. sz . - S. 5-27 . - doi : 10.31857/S0002338820050091 .