Rössler attraktor

A Rössler-attraktor egy kaotikus attraktor , amellyel a Rössler-differenciálegyenletrendszer rendelkezik [1] :

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz} {dt}}=b+z(xc)\end{mátrix}}\jobbra.$ ;

hol vannak a pozitív állandók. A és a paraméterek értékére a Rössler-egyenletek stabil határciklussal rendelkeznek . A paraméterek ezen értékeivel a rendszerben periódusduplázási kaszkád jön létre . A -nál kaotikus attraktor keletkezik . A határciklusok jól meghatározott vonalai elmossák és kitöltik a fázisteret végtelen számú pályával, amelyek fraktál tulajdonságaival rendelkeznek . ${\megjelenítési stílus a,b,c}$ $a=b=0,2$ $2.6\leq c\leq 4.2$ $c>4.2$

Maga Rössler is tanulmányozta a rendszert , és konstansokkal , de gyakran használják a , és értékeket is [ 2 ] . $a=0,2$ $b=0,2$ $c=5.7$ $a=0,1$ $b=0,1$ $c=14$

A rendszer viselkedésének elemzése a síkban

A Rössler-rendszer egyenletei közül kettő lineáris. Amikor felveszik a formát $z=0$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{mátrix}}\right .$

Ezért a síkban történő mozgás stabilitását a Jacobi-mátrix sajátértékei határozzák meg , amelyek egyenlőek . $z=0$ ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Következtetés

Keressük meg a mátrix sajátértékeit

${\begin{pmatrix}0-\lambda &-1\\1&a-\lambda \\\end{pmatrix))$ .

A meghatározó tehát $-\lambda a+{\lambda }^{2}+1=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Amikor , a sajátértékeknek pozitív valós része van, és összetett konjugáltak. Ezért a fázispályák spirálisan térnek el az origótól. Most elemezzük a koordináták változását , számolva . Mindaddig, amíg kisebb, mint , az egyenletben szereplő tényező a pályát közel lapos szinten tartja . Amint nagyobb lesz , a -koordináta növekedni kezd. Viszont egy nagy paraméter elkezdi lassítani a növekedést ben . $0<a<2$ $z$ $0<a<2$ $x$ $c$ $xc$ ${\frac {dz}{dt))$ $x,y$ $x$ $c$ $z$ $-z$ $x$ ${\frac {dx}{dt))$

Rögzített pontok

A fixpontokra vonatkozó egyenleteket úgy találhatjuk meg, hogy a Rössler-egyenletrendszer deriváltjait nullára állítjuk. Ennek eredményeként kiderül, hogy két fix pont van:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\jobbra)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2a))\right)

Amint a fenti Rössler attraktor vetületi képen látható, az egyik pont az attraktor spirál közepén található, a másik pedig távol van attól.

Az a, b és c paraméterek módosítása

A Rössler attraktor viselkedése erősen függ az állandó paraméterek értékétől. Az egyes paraméterek változásának van egy bizonyos hatása, aminek következtében megjelenhet egy stabil fix pont a rendszerben, határciklus, vagy a rendszer megoldásai a végtelenségig "elszaladnak".

A bifurkációs diagramok szabványos eszközt jelentenek a dinamikus rendszerek viselkedésének elemzésére, beleértve a Rössler attraktort is. Egy olyan rendszer egyenleteinek megoldásával jönnek létre, ahol két változót rögzítünk és egyet megváltoztatunk. Egy ilyen diagram elkészítésekor szinte teljesen „árnyékolt” régiókat kapunk; ez a dinamikus káosz birodalma.

A paraméter módosítása a

Javítjuk , és változtatunk . $b=0,2$ $c=5.7$ $a$

Ennek eredményeként empirikusan a következő táblázatot kapjuk:

$a\leq 0$ : Konvergál egy stabil ponthoz.
$a=0,1$ : Pörgetés 2-es periódussal.
$a=0,2$ : Káosz (a Rössler-egyenletek standard paramétere) .
$a=0,3$ : Kaotikus attraktor.
$a=0,35$ : Hasonló az előzőhöz, de a káosz erősebb.
$a=0,38$ : Hasonló az előzőhöz, de a káosz még erősebb.

A b paraméter módosítása

Javítjuk , és most megváltoztatjuk a paramétert . Amint az ábrán látható, mivel az attraktor nullára hajlik, instabil. Amikor nagyobb és , a rendszer egyensúlyba kerül, és álló állapotba kerül. $a=0,2$ $c=5.7$ $b$ $b$ $b$ $a$ $c$

A c paraméter módosítása

Javítás és változtatás . A bifurkációs diagramból látható, hogy kis értékeknél a rendszer periodikus, de ahogy növekszik, gyorsan kaotikussá válik. Az ábrák pontosan mutatják, hogyan változik a rendszer véletlenszerűsége a növekedéssel . Például = 4 esetén az attraktor periódusa eggyel egyenlő lesz, és egyetlen vonal lesz a diagramon, ugyanez történik, ha = 3, és így tovább; amíg nem lesz több, mint 12: az utolsó periodikus viselkedést ez az érték jellemzi, akkor mindenhol káosz megy. $a=b=0,1$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$

Illusztrációkat adunk az attraktor viselkedéséről a megadott értéktartományban , amelyek bemutatják az ilyen rendszerek általános viselkedését - gyakori átmeneteket a periodicitásból a dinamikus káoszba. $c$

Lásd még

Lorentz attraktor

Jegyzetek

↑ Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut és Saupe, Dietmar (2004), 12.3 A Rössler-vonzó, Káosz és fraktálok: A tudomány új határai , Springer, p. 636–646 .
↑ Letellier, C.; V. Üzenő. Hatások Otto E. Rössler legkorábbi káoszról szóló tanulmányára // International Journal of Bifurcation & Chaos : folyóirat. - 2010. - 20. évf. 20 , sz. 11 . - P. 3585-3616 .

Linkek

Flash animáció
OE ROSSLER – EGYENLET A FOLYAMATOS KÁOSZHOZ (nem elérhető link)
Java animáció Rössler és Lorenz attraktorokról Archivált 2008-03-11
Attractor konstruktor MacOS-hoz
Rössler attraktor a Scholarpedia.org oldalon

Irodalom

Voronov V.K., Podoplelov A.V. Modern fizika: Tankönyv. M., KomKniga, 2005, 512 pp., ISBN 5-484-00058-0 , ch. 2 Nyílt rendszerek fizikája. pp 2.4 Rössler kaotikus attraktorja.