Az algebrai felület a kettes dimenzió algebrai változata . A komplex számok mezője feletti geometria esetén egy algebrai felületnek kettős komplex dimenziója van ( komplex sokaságként , ha nem szinguláris ), ezért négyes dimenziója sima sokaságként van .
Az algebrai felületek elmélete lényegesen összetettebb, mint az algebrai görbék elmélete (beleértve a kompakt Riemann-felületeket is, amelyek valódi (valós) második dimenziójú felületek . Az olasz algebrai geometriai iskola azonban sok eredményt ért el közel száz évvel ezelőtt.
Az első dimenzió esetében a fajtákat csak topológiai nemzetség szerint osztályozzuk, a második dimenzióban viszont jelentőssé válik az aritmetikai és a geometriai nemzetség közötti különbség , mivel biracionálisan csak topológiai nemzetséget nem tudunk megkülönböztetni. A felületek osztályozásánál bevezetjük az egyenetlenség fogalmát .
Példák algebrai felületekre (itt κ a Kodaira dimenzió ):
További példák az ''Algebrai felületek listája'' cikkben találhatók .
Az első öt példa valójában biracionálisan egyenértékű . Azaz például a racionális függvények mezője egy köbfelületen izomorf a projektív síkon lévő racionális függvények mezőjével, amely két változóban a racionális függvények mezője . Példa erre a két görbe derékszögű szorzata is.
Az algebrai felületek biracionális geometriája gazdag a "felfújó" transzformációnak köszönhetően (amit "monoid transzformációnak" is neveznek), amelyben egy pontot felváltanak az összes korlátos érintő irány görbéje ( projektív egyenes ). ). Néhány görbe összehúzható , de van egy korlátozás (az önmetszési indexnek −1-nek kell lennie).
A Nakai-kritérium kimondja, hogy:
A D [1] osztó egy S felületen akkor és csak akkor elegendő, ha D 2 > 0 és D • C > 0 minden S [2] [3] irreducibilis C görbére .Az ampleus osztónak az a hasznos tulajdonsága, hogy valamely projektív tér hipersíkosztójának inverz képe, amelynek tulajdonságai jól ismertek. Legyen egy Abel-csoport, amely az S -en lévő összes osztóból áll . Ekkor a metszésponttétel szerint
másodfokú alaknak tekinthető . Hadd
mindenkinekmajd numerikusan egyenértékűvé válik az S felület osztálycsoportjával és
másodfokú formává is válik -on , ahol a D osztó képe S -en . (Az alábbi képen a D betűt használjuk .)
Egy bőséges H szálra S a definíció
a Hodge-tétel egy változatához vezet a felületen lévő
mert , azaz negatív határozott másodfokú alak.Ezt a tételt a Nakai-kritérium és a Riemann-Roch felülettétel segítségével bizonyítjuk. Ebből a tételből minden osztó igaz. Ez a tétel nemcsak a felületek tanulmányozásának eszköze, hanem Deligne is felhasználta a Weil-sejtések bizonyítására , mivel minden algebrailag zárt mezőre igaz.
Az algebrai felületek elméletének alapvető eredményei a Hodge-index tétel és a racionális ekvivalencia osztályok ötcsoportos dekompozíciója, amelyet Enriques-Kodaira osztályozásként vagy algebrai felületek osztályozásaként ismerünk . A Kodaira [en] 2 dimenziójú általános osztály nagyon nagy (például P 3 -ban 5-ös vagy magasabb fokú nem szinguláris felületeket tartalmaz ).
Három alapvető numerikus Hodge-invariáns létezik egy felületre. Ezek közé tartozik a h 1,0 , amelyet szabálytalanságnak nevezünk, és q - val jelöljük , valamint a h 2,0 , amelyet p g geometriai nemzetségnek nevezünk . A harmadik invariáns, h 1,1 , nem birational invariáns , mivel a felfújás teljes görbéket adhat hozzá a H 1,1 osztályból . Ismeretes, hogy a Hodge-ciklusok algebraiak, és az algebrai ekvivalencia megegyezik a homológ ekvivalenciával, tehát h 1,1 a ρ felső korlátja, a Néron-Severi csoport rangja . p a nemzetség egyenlő a különbséggel
geometriai nemzetség - szabálytalanság.Ez a tény megmagyarázza, hogy miért nevezték el a szabálytalanságot, mivel ez egyfajta „maradék kifejezés”.