Algebrai felület

Az algebrai felület a kettes dimenzió algebrai változata . A komplex számok mezője feletti geometria esetén egy algebrai felületnek kettős komplex dimenziója van ( komplex sokaságként , ha nem szinguláris ), ezért négyes dimenziója sima sokaságként van .

Az algebrai felületek elmélete lényegesen összetettebb, mint az algebrai görbék elmélete (beleértve a kompakt Riemann-felületeket is, amelyek valódi (valós) második dimenziójú felületek . Az olasz algebrai geometriai iskola azonban sok eredményt ért el közel száz évvel ezelőtt.

Osztályozás Kodaira dimenzió szerint

Az első dimenzió esetében a fajtákat csak topológiai nemzetség szerint osztályozzuk, a második dimenzióban viszont jelentőssé válik az aritmetikai és a geometriai nemzetség közötti különbség , mivel biracionálisan csak topológiai nemzetséget nem tudunk megkülönböztetni. A felületek osztályozásánál bevezetjük az egyenetlenség fogalmát . $p_{a}$ ${\displaystyle p_{g))$

Példák algebrai felületekre (itt κ a Kodaira dimenzió ):

κ=−∞: projektív sík , négyzetek P 3 -ban , köbfelületek , Veronese felület , del Pezzo felületek , vonalas felületek
κ=0 : K3 felületek , Abeli felületek , Enriques felületek , hiperelliptikus felületek
κ=1: elliptikus felületek
κ=2: általános típusú felületek .

További példák az ''Algebrai felületek listája'' cikkben találhatók .

Az első öt példa valójában biracionálisan egyenértékű . Azaz például a racionális függvények mezője egy köbfelületen izomorf a projektív síkon lévő racionális függvények mezőjével, amely két változóban a racionális függvények mezője . Példa erre a két görbe derékszögű szorzata is.

Felületek biracionális geometriája

Az algebrai felületek biracionális geometriája gazdag a "felfújó" transzformációnak köszönhetően (amit "monoid transzformációnak" is neveznek), amelyben egy pontot felváltanak az összes korlátos érintő irány görbéje ( projektív egyenes ). ). Néhány görbe összehúzható , de van egy korlátozás (az önmetszési indexnek −1-nek kell lennie).

Tulajdonságok

A Nakai-kritérium kimondja, hogy:

A D [1] osztó egy S felületen akkor és csak akkor elegendő, ha D 2 > 0 és D • C > 0 minden S [2] [3] irreducibilis C görbére .

Az ampleus osztónak az a hasznos tulajdonsága, hogy valamely projektív tér hipersíkosztójának inverz képe, amelynek tulajdonságai jól ismertek. Legyen egy Abel-csoport, amely az S -en lévő összes osztóból áll . Ekkor a metszésponttétel szerint ${\mathcal {D}}(S)$

{\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y

másodfokú alaknak tekinthető . Hadd

{\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0

mindenkinek

X\in {\mathcal {D}}(S)\}

majd numerikusan egyenértékűvé válik az S felület osztálycsoportjával és ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$

Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D)),{\bar {E)))\mapsto D\cdot E

másodfokú formává is válik -on , ahol a D osztó képe S -en . (Az alábbi képen a D betűt használjuk .) $Num(S)$ ${\bar {D))$ ${\bar {D))$

Egy bőséges H szálra S a definíció

\{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.

a Hodge-tétel egy változatához vezet a felületen lévő

mert , azaz negatív határozott másodfokú alak.

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

{\displaystyle \{H\}^{\perp ))

Ezt a tételt a Nakai-kritérium és a Riemann-Roch felülettétel segítségével bizonyítjuk. Ebből a tételből minden osztó igaz. Ez a tétel nemcsak a felületek tanulmányozásának eszköze, hanem Deligne is felhasználta a Weil-sejtések bizonyítására , mivel minden algebrailag zárt mezőre igaz. ${\displaystyle \{H\}^{\perp ))$

Az algebrai felületek elméletének alapvető eredményei a Hodge-index tétel és a racionális ekvivalencia osztályok ötcsoportos dekompozíciója, amelyet Enriques-Kodaira osztályozásként vagy algebrai felületek osztályozásaként ismerünk . A Kodaira [en] 2 dimenziójú általános osztály nagyon nagy (például P 3 -ban 5-ös vagy magasabb fokú nem szinguláris felületeket tartalmaz ).

Három alapvető numerikus Hodge-invariáns létezik egy felületre. Ezek közé tartozik a h 1,0 , amelyet szabálytalanságnak nevezünk, és q - val jelöljük , valamint a h 2,0 , amelyet p g geometriai nemzetségnek nevezünk . A harmadik invariáns, h 1,1 , nem birational invariáns , mivel a felfújás teljes görbéket adhat hozzá a H 1,1 osztályból . Ismeretes, hogy a Hodge-ciklusok algebraiak, és az algebrai ekvivalencia megegyezik a homológ ekvivalenciával, tehát h 1,1 a ρ felső korlátja, a Néron-Severi csoport rangja . p a nemzetség egyenlő a különbséggel

geometriai nemzetség - szabálytalanság.

Ez a tény megmagyarázza, hogy miért nevezték el a szabálytalanságot, mivel ez egyfajta „maradék kifejezés”.

Jegyzetek

↑ Az osztó definíciója megtalálható Hartshorne-ban ( Hartshorn 1981 )
↑ Averu et al., 1985 , p. 119.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 459, 1.10. Tétel.

Irodalom

IV Dolgacsov. Matematikai enciklopédia / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Oscar Zariski. Algebrai felületek. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Matematika klasszikusai). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
J. Averou, L. Bernard-Begerie, J.-P. Bourgoignon, P. Gauduchon, A. Derdzinski, J. La Fontaine, P. Marry, D. Meyer, A. Polombo, P. Sentenac. Négydimenziós Riemann geometria / Arthur Besse. - M . : "Mir", 1985.
R. Hartshorne. Algebrai geometria. - M . : "Mir", 1981.

Linkek

Ingyenes szoftver SURFER archiválva 2017. július 2. a Wayback Machine -nél algebrai felületek megjelenítéséhez
A SingSurf archiválva : 2017. május 8. a Wayback Machine -nél , interaktív 3D-s megjelenítő algebrai felületekhez.
Az algebrai felületekről szóló oldal 2008-ban indult, archiválva 2016. március 3-án a Wayback Machine -nél
Áttekintés és gondolatok az algebrai felületek tervezéséről Archiválva : 2017. április 2. a Wayback Machine -nél