Hilbert axiomatikus

A Hilbert-féle axiomatika  az euklideszi geometria axiómarendszere . Hilbert fejlesztette ki teljesebbnek, mint Euklidész axiómarendszere .

Undefined concepts

A Hilbert-axiómákban meghatározhatatlan fogalmak a következők: pont , egyenes , sík . 3 elemi összefüggés is létezik :

• között fekszik , pontokra vonatkozik;
• Tartalmaz , pontokra és vonalakra, pontokra és síkokra vagy vonalakra és síkokra vonatkozik;
• Egybevágóság (geometriai egyenlőség), például vonalszakaszokra , szögekre vagy háromszögekre alkalmazható, és a ≅ infix szimbólummal jelöljük.

Minden pontot, vonalat és síkot különbözőnek kell tekinteni, hacsak másképp nem jelezzük.

Axiómák

A 20 axiómából álló rendszer 5 csoportra oszlik:

• tagsági axiómák:
  • planimetrikus:
    1. Bármilyen is legyen két A és B pont, van egy a egyenes , amelyhez ezek a pontok tartoznak.
    2. Bármi is legyen két különböző A és B pont, legfeljebb egy egyenes van, amelyhez ezek a pontok tartoznak.
    3. Minden a sor legalább két pontot tartalmaz. Legalább három olyan pont van, amely nem tartozik ugyanahhoz az egyeneshez.
  • sztereometrikus:
    1. Bármelyik A, B és C pont is nem tartozik ugyanahhoz az egyeneshez, van egy α sík, amelyhez ez a három pont tartozik. Minden sík legalább egy pontot tartalmaz.
    2. Bármelyik A, B és C pont is nem tartozik ugyanahhoz az egyeneshez, legfeljebb egy sík van, amelyhez ez a három pont tartozik.
    3. Ha egy a egyeneshez tartozó két különböző A és B pont valamelyik α síkhoz tartozik, akkor az a egyeneshez tartozó minden pont a jelzett síkhoz tartozik.
    4. Ha van egy A pont, amely két α és β síkhoz tartozik, akkor van még legalább egy B pont, amely mindkét síkhoz tartozik.
    5. Legalább négy olyan pont van, amely nem tartozik ugyanahhoz a síkhoz.
• axiómák sorrendje:
  • lineáris:
    1. Ha egy a egyenes B pontja ugyanannak az egyenesnek A és C pontjai között van, akkor A, B és C a jelzett egyenes különböző pontjai, és B is C és A között van.
    2. Bármilyen is legyen két különböző pont A és C, az általuk meghatározott egyenesen van legalább egy B pont úgy, hogy B A és C között van, és legalább egy D pont úgy, hogy C A és D között van.
    3. Bármely három pont között, amelyek ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, mindig egy és csak egy pont van a másik kettő között.
  • Planimetrikus:
    1. Pasa axióma : Legyen A, B, C három nem ugyanazon az egyenesen lévő pont, a pedig egy olyan egyenes a síkban (ABC), amely nem megy át egyik A, B, C ponton sem; ha ebben az esetben az a egyenes átmegy az AB szakasz egy pontján, akkor biztosan átmegy az AC szakasz egy pontján vagy a BC szakasz egy pontján.
• kongruencia axiómái:
  • lineáris:
    1. Ha A és B két pont az a egyenesen , A' egy pont ugyanazon az egyenesen vagy egy másik a' egyenesen , akkor az a ' egyenesnek az A' pontból adott oldalán van, ráadásul csak az egyik, a B' pont úgy, hogy az A'B' szakasz egybevágó legyen az AB szakasszal. Minden AB szegmens kongruens a BA szegmenssel.
    2. Ha az A'B' és A"B" szakaszok egybevágóak ugyanahhoz az AB szakaszhoz, akkor kongruensek egymással.
    3. Legyen AB és BC egy a egyenes két olyan szakasza, amelyeknek nincs közös belső pontja, A'B' és B'C' pedig egyazon egyenes két szakasza vagy egy másik a' egyenes két szakasza, amelynek szintén nincs közös belső pontja. Ekkor ha az AB szegmens kongruens az A'B' szegmenssel, és a BC szegmens kongruens a B'C' szegmenssel, akkor az AC szegmens kongruens az A'C' szegmenssel.
  • planimetrikus:
    1. Adott az a síkban az ∠ABC szög és az a' síkban a B'C' sugár , akkor az a' síkban pontosan egy B'D sugár van a B'C' bizonyos oldalán (és ennek megfelelően, egy második B'E sugár a B'C' túloldalán), így ∠DB'C' ≅ ∠ABC (és ennek megfelelően ∠EB'C' ≅ ∠ABC). Következmény: Minden szög egybevágó önmagával
    2. Ha két ABC és A'B'C' háromszögre vannak egybevágóságok: AB≅A'B', AC≅A'C', ∠BAC ≅ ∠B'A'C', akkor mindig vannak kongruenciák: ∠ABC ≅ ∠A'B'C', ∠ACB ≅ ∠A'C'B'.
• a párhuzamosság axiómája , amelyre Hilbert nem az euklideszi megfogalmazást választotta, hanem Proklosz egyenértékű, de egyszerűbb axiómáját :
  • planimetrikus
    1. Legyen a egy tetszőleges egyenes, A  pedig egy rajta kívül eső pont; akkor az A pont és az a egyenes által meghatározott síkban legfeljebb egy A -n átmenő és a -t nem metsző egyenest húzhatunk .
• folytonossági axiómák
  • lineáris
    1. Arkhimédész axiómája . Adott egy CD szakasz és egy AB sugár, akkor van n és n A 1 ,…,A n pont az AB-n úgy, hogy: A j A j+1 ≅ CD, , A 0 egybeesik A-val, B pedig A és között van Egy ._ _
    2. "A sor teljessége". Ha legalább egy plusz pontot adunk egy egyeneshez, az ellentmondást fog okozni a tagság, a sorrend, a kongruencia első két axiómájával vagy Arkhimédész axiómájával .

21. axióma

Hilbert eredetileg (1899) belefoglalta a 21. axiómát:

„Az egyenes bármely négy pontja elnevezhető A-nak, B-nek, C-nek és D-nek úgy, hogy a B pont az A és C, valamint az A és D között legyen; A C pont A és D, valamint B és D között van.

Eliakim Hastings Moore és Robert Lee Moore 1902 -ben egymástól függetlenül bebizonyította , hogy ez az axióma felesleges.

Teljesség és következetesség

Ahogy Alfred Tarski (1951) bebizonyította, Hilbert axiomatikája logikailag teljes , vagyis a benne található geometriai fogalmakra vonatkozó bármely (formális) állítás igazolható vagy cáfolható. Akkor is konzisztens, ha az [1] [2] aritmetika konzisztens .

Történelem

Az euklideszi geometria axiomatikus sémáját David Hilbert tette közzé 1899-ben a "Festschrift" ünnepi kötetben, amelyet Carl Friedrich Gauss és barátja, Wilhelm Weber fizikus emlékművének Göttingenben történő megnyitására szenteltek . Most a "Geometria alapjai" a világ számos nyelvén megjelent, a két orosz nyelvű kiadás egyike az alábbi linkeken található.

Egyéb axiómarendszerek

A Hilbert előtti rendszerek megalkotói:

• Eukleidész
• pash
• Shur
• Peano (beleértve a " mozgás " fogalmát)
• veronai
• M. Pieri (1899)

Kapcsolódó Hilbert:

• V. F. Kagan (1902)
• O. Veblen (1904)
• A. Kolmogorov

Modernebb axiómák:

• Alekszandrov axiomatikája
• Tarski axiomatikája
• Birghoff axiomatikája  – tartalmazza az „ uralkodó axiómáját ” és „ a szögmérő axiómáját ”. Változatait a legtöbb amerikai iskolai tankönyv használja, Pogorelov axiomatikája áll hozzá .
• Weil axiomatikája – a pont és a szabad vektor  definiálatlan fogalmaival operál . Egy egyenes és egy sík ponthalmazként definiálható .

Linkek

• D. Gilbert . A geometria alapjai. Fordítás németből, szerkesztette A. V. Vasziljev. L., "A magvető", 1923-152 p.
• Herman Weil. David Hilbert és matematikai munkái.
• Választható matematika tantárgy. 7-9 / Össz. I. L. Nikolskaya. - M . : Oktatás , 1991. - S. 356-363. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .

Jegyzetek

1. ↑ Elemi matematika enciklopédiája (5 kötetben). - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 4. Geometria. - S. 41-48. — 568 p.
2. ↑ Hilbert axiómarendszer . Letöltve: 2017. szeptember 10. Az eredetiből archiválva : 2018. július 20. (határozatlan)