Absztrakt poliéder

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikában az absztrakt poliéder informálisan egy olyan szerkezet, amely csak a hagyományos poliéderek kombinatorikus tulajdonságait veszi figyelembe, és figyelmen kívül hagy számos egyéb tulajdonságukat, mint például a szögek, élhosszak stb. Nem igényel helyet a poliédernek , mint például az euklideszi tér . Az absztrakt megfogalmazás a kombinatorikus tulajdonságokat részben rendezett halmazként ("pozet" [1] ) valósítja meg.

Az absztrakt definíció megenged néhány általánosabb kombinatorikus struktúrát, mint a poliéder hagyományos fogalma, és sok olyan új objektumot tesz lehetővé, amelyeknek nincs megfelelője a hagyományos elméletben.

A hagyományos poliéderek az absztraktokkal szemben

Az euklideszi geometriában a fenti ábrán látható hat négyszög különbözik egymástól. Mégis van valami közös bennük, ami megkülönbözteti őket például egy háromszögtől vagy egy kockától.

A londoni metró elegáns, bár földrajzilag pontatlan térképe minden lényeges információt tartalmaz az A pontból B pontba való eljutáshoz. Még jobb példa egy elektromos kapcsolási rajz . Eszerint a vezetékek és elemek végső elhelyezkedése első pillantásra sokszor lehetetlen meghatározni.

Minden ilyen példában az elemek közötti kapcsolatok ugyanazok, és nem kapcsolódnak a fizikai helyhez . Ebben az esetben az objektumokat kombinatorikusan egyenértékűnek mondjuk . Ezt az egyenértékűséget az absztrakt poliéder fogalma tartalmazza. Így kombinatorikusan hat négyszögünk „ugyanaz”. Szigorúbb értelemben izomorfak vagy "megőrző szerkezet".

A hagyományos poliéderek tulajdonságai, különösen a mérhetőek, mint például a szögek, az élhosszak, a nem szimmetria és a konvexitás, irrelevánsak az absztrakt poliéderek esetében . Más hagyományos fogalmak is szóba jöhetnek, de nem mindig ugyanúgy . Előfordulhat, hogy néhány, a hagyományos poliéderre igaz ítélet nem biztos, hogy igaz az absztraktokra, és fordítva. Például a hagyományos poliéderek szabályosak, ha minden lapjuk és csúcsalakjuk szabályos, de ez nem mondható el az absztrakt poliéderekről [2] .

Bevezető fogalmak

Az absztrakt poliéderek meghatározásához több fogalmat is be kell vezetni.

Ebben a cikkben a poliéder absztrakt poliédert jelent , hacsak nincs kifejezetten másképp jelezve. A hagyományos kifejezést arra fogjuk használni, amit általában poliédernek neveznek, a tulajdonképpeni absztrakt poliéderek kizárásával. Néha a szerzők a klasszikus vagy geometriai kifejezéseket használják .

Polyhedra mint részben megrendelt készletek

A vasúti vagy elektromos diagramon lévő kapcsolatokat egyszerűen "pontokkal és vonalakkal", azaz grafikonnal ábrázolhatjuk . A poliédereknek azonban dimenziós hierarchiája van . Például egy kocka csúcsainak, éleinek és lapjainak mérete 0, 1 és 2. Maga a kocka 3 dimenziós.

Ebben az absztrakt elméletben a rang fogalma felváltja a dimenzió fogalmát . Ez a fogalom formálisan az alábbiakban kerül meghatározásra.

Az arc fogalmát bármilyen rangú elemre használjuk , például csúcsokra (0. rang) vagy élekre (1. rang), nem csak a 2. rangú lapokra. A k rangú elemet k - arcnak nevezzük .

Ekkor egy poliédert úgy definiálhatunk, mint P lapok halmazát, < sorrendű relációval , ami további axiómákat is kielégít. Formálisan P ( < ) egy (szigorúan) részben rendezett halmaz lesz ( [1] poz .).

Ha F < G, akkor azt mondjuk, hogy F a G oldala (vagy G-nek van F oldala).

Azt mondjuk , hogy F és G incidensek , ha F = G vagy F < G vagy G < F . Ez a jelentés eltér a geometriában és a matematika más területein alkalmazott hagyományos használattól . Például az abcd négyzetben az ab és bc élek nem incidensek.

A legkisebb és legnagyobb arcok

Ahogyan a nulla és a végtelen fogalma szükséges a matematikában, ugyanezek a fogalmak rendkívül hasznosak az absztrakt poliédereknél – minden poliédernek van egy legkisebb lapja, amely az összes többi részfelülete, és egy legnagyobb lapja, amelyre az összes többi lap. alfelületek.

Valójában egy poliédernek csak egy arca lehet. Ebben az esetben a legkisebb és a legnagyobb lap egybeesik.

A legkisebb és legnagyobb felületet nem megfelelőnek nevezzük . Az összes többi arcot megfelelőnek nevezzük .

A legkisebb lapot üres lapnak nevezzük , mivel nincs csúcsa (vagy más lapja) aloldalként. Mivel a legkisebb lap a csúcsok (nulla rangú lapok) szintjén alacsonyabb, a rangja −1 . Ezt az arcot F −1 -ként jelöljük . Ha ez első pillantásra furcsának tűnik, ez az érzés gyorsan eltűnik, amikor rájössz, hogy ez a fogalom milyen szimmetriát hoz az elméletbe. (Történelmileg a matematikusok ellenálltak az olyan fogalmaknak, mint a negatív számok, a törtszámok, az irracionális és a komplex számok, sőt a nulla is!)

Egy egyszerű példa

Példaként hozzunk létre egy absztrakt négyzetet élekkel, mint a táblázatban:

Arc típus rang ( k ) Szám k -arcok
Legkevésbé −1 egy F −1
Csúcsok 0 négy a , b , c , d
borda egy négy W, X, Y, Z
A legnagyobb 2 egy G

A < relációt párok halmazaként határozzuk meg, amely (ebben a példában) magában foglalja

F −1 < a , … , F −1 <X, ... , F −1 <G, ... , b <Y, ... , c <G, ... , Z< G.

Ebben a példában a W, X, Y és Z éleket rendre ab , ad , bc és cd alakban írhatjuk fel , és ezt a jelölést gyakran fogjuk használni. De amint hamarosan látni fogjuk, egy ilyen jelölési rendszer nem mindig elfogadható.

A kapott alakzatot négyzetnek nevezzük , nem négyszögnek (vagy négyszögnek ), mert absztrakt világunkban nincsenek sarkok és az éleknek nincs hossza. Mind a négy él azonos, és a "geometria" minden csúcsban azonos.

A sorrendi relációk tranzitívak , azaz F < G és G < H-ből az következik, hogy F < H. Így az arcok hierarchiájának leírásához nem szükséges minden F < H esetet megadni, elég jelezni a minden elemhez a következő elem, azaz amikor F < H és nincs olyan G, amelyre F < G < H.

Hasse diagram

A kis pózok, és különösen a poliéderek gyakran jól láthatóak a Hasse-diagrammal , amint az az ábrán látható. Általában az azonos rangú arcokat ugyanarra a vízszintes szintre helyezik. Minden lapok közötti "vonal" egy F, G párnak felel meg úgy, hogy F < G, ahol F az ábrán G alatt van.

A poliédereket gyakran informálisan grafikonként rajzolják meg . A gráfnak vannak csúcsai és élei, de nincs lapja. Ezen túlmenően a legtöbb poliéder esetében nem lehet az összes többi lapot megkapni egy gráfból, és általában a különböző poliédereknek ugyanaz a gráfja lehet.

A Hasse-diagram ezzel szemben teljesen leír minden helyzetet – minden poliéder szerkezetet lefednek a Hasse-diagramok. Az izomorf politópok izomorf Hasse-diagramokat adnak, és fordítva.

Rang

Egy F lap rangját egész számként határozzuk meg ( m  − 2), ahol m az F' < F" < . <F.

A P poszet rang bármely lap maximális n rangja , azaz a maximális arc rangja (amint fentebb említettük, minden politópnak van maximális lapja). Ebben a cikkben mindig n -t használunk egy póz vagy poliéder rangjának jelölésére.

Ebből következik, hogy a legkisebb lap, és nem más, rangja −1, a legnagyobb lapé pedig n . Jelöljük őket F −1 -nek , illetve F n -nek.

Egy lap vagy poliéder rangja általában megfelel a hagyományos elméletben a megfelelő dimenziónak , de nem mindig. Például egy 1. rangú lap egy olyan élnek felel meg, amelynek mérete 1. De a hagyományos geometriában egy térpoligon 3-dimenziós, mert nem sík. Az absztrakt ekvivalensben egy ilyen sokszög 2-es rangú absztrakt sokszög marad.

Egyes rangoknál vannak elnevezések az arctípusoknak.

Rang −1 0 egy 2 3 … n  -2 n  -1 n
Arc típus Legkisebb_
_		 Csúcs Él † Sejt hyperedge Hyperface A legnagyobb

† Míg az „arc” kifejezést hagyományosan 2. rangú arcként értelmezik, a kétértelműség elkerülése érdekében mindig „2-arc”-t írunk, és megtartjuk az „arc” kifejezést bármilyen rangú arcra.

Szegmens

A szegmens  egy olyan pozíció, amelynek minimális lapja, pontosan két 0-lapja és egy legnagyobb lapja van, például {ø, a, b, ab }. Ez azonnal azt jelenti, hogy az a és b csúcsok rangja 0, és a legnagyobb ab lap, és így maga a poset is 1-es rangú.

Flags

A zászló a lapok  maximális lánca , vagyis az oldalak (teljesen) rendezett Ψ halmaza, amelyben minden lap a következő rész felülete (ha van ilyen), és így Ψ nem része egyetlen nagyobb láncnak sem.

Például az { ø , a , ab , abc } a zászló az abc háromszögben .

Ezenkívül megköveteljük, hogy egy adott poliéder minden zászlója ugyanannyi lappal rendelkezzen. A posetek általában nem felelnek meg ezeknek a követelményeknek. Az { ø ,  a ,  b ,  bc ,  abc } pozíciónak 2 egyenlőtlen méretű zászlója van, ezért nem poliéder.

Nyilvánvaló, hogy ha a zászlóban két különálló F, G lap van, akkor vagy F < G vagy F > G.

Szakaszok

A P poset bármely P' részhalmaza egy pozet (ugyanaz a reláció, < P'-re korlátozva).

Pontosabban, ha egy P poset két F , H lapja , ahol F ≤ H , a { G | F ≤ G ≤ H } P szakaszának nevezzük , és H / F jelöli . (A rendelmélet terminológiájában egy szakaszt zárt poset intervallumnak nevezünk, és [ F , H ] jelöléssel, de a fogalmak azonosak).

Tehát P önmagának egy szakasza.

Például az abcxyz prizmában (lásd az ábrát) az xyz / ø szakasz (zölddel kiemelve) egy háromszög

{ ø , x , y , z , xy , xz , yz , xyz }.

A k -szakasz k  rangú szakasz.

Az a politóp, amely egy másik politóp részhalmaza, nem feltétlenül szakasz. Az abcd négyzet az abcd tetraéder részhalmaza, de nem része annak .

A metszet fogalmának nem ugyanaz a jelentése a hagyományos geometriában.

Csúcsfigurák

Az adott V csúcsban lévő csúcsalak az F n / V  ( n − 1)-szelvénye, ahol F n a legnagyobb lap.

Például az abc háromszögben a b , abc / b csúcsa { b, ab, bc, abc }, azaz egy szakasz. A kocka csúcsalakjai háromszögek.

Kapcsolati lehetőségek

Egy P poset össze van kötve , ha a rang P ≤ 1, vagy bármely két F és G tulajdonlaphoz létezik megfelelő lapok sorozata

H 1 , H 2 , … , H k

Úgy, hogy F = H 1 , G = H k és mindegyik H i , i < k lap beesik az előző lapra.

A fenti feltétel biztosítja, hogy az abc és xyz különálló háromszögpár ne legyen (egyetlen) poliéder.

Egy P póz erősen összefügg , ha P minden szakasza (beleértve magát P-t is) össze van kötve.

Ezzel a kiegészítő feltétellel két olyan piramis kizárt, amelyeknek csak közös csúcsa van. Azonban például két négyzet alakú piramist négyzet alakú lapja mentén "ragaszthatunk", ami oktaédert eredményez. Ebben az esetben a "közös arc" nem egy oktaéder arca.

Formális definíció

Az absztrakt poliéder  egy részben rendezett halmaz , melynek elemeit lapoknak nevezzük , és amely kielégíti a következő négy axiómát:

  1. Ennek van a legkisebb és a legnagyobb arca .
  2. Minden zászló ugyanannyi arcot tartalmaz.
  3. Szigorúan meg van kötve .
  4. Bármely 1 szakasz szegmens .

Az n - politóp egy n - es rangú politóp.

Jegyzetek

Üres poliéder esetén a legkisebb és a legnagyobb lap ugyanaz az egyetlen elem .

A 2. axióma egyenértékű azzal, hogy azt mondjuk, hogy egy póz egy fokozatos póz .

Ha a többi axióma érvényes, a 3. axióma megegyezik a zászlók erős kapcsolatával , ami informálisan azt jelenti:

A poliéder bármely szakaszánál (beleértve magát a poliédert is) bármely zászló megváltoztatható bármely másik szakaszban, egyszerre csak egy lap megváltoztatásával.

A 4. axióma a "gyémánt tulajdonsága" néven ismert, mivel a Hasse-diagramban egy vonalszakaszt négyszög (gyémánt) ábrázol.

Az axiómákból kimutatható, hogy bármely szakasz poliéder, és Rank( G / F ) = Rank( G ) − Rank( F ) − 1.

A legegyszerűbb poliéder

Rang < 2

Csak egy-egy -1, 0 és 1 rangú politóp van, ez pedig az üres politóp , pont és szegmens .

Ha n ≤ 1, egy politóp minden n -szakasza (egyedi) n - politóp. Azonban a poliéder 0. és 1. rangú lapjait csúcsoknak , illetve éleknek nevezzük .

2. helyezés

Bármely p , 3 ≤ p < esetén létezik egy p csúcsú és p élű hagyományos sokszög (absztrakt megfelelője) , a p - gon. Ha p = 3, 4, 5, … kapunk háromszöget, négyzetet, ötszöget, ….

p \u003d 2 esetén digont kapunk , p \ u003d esetén  apeirogont .

Digon

A Digon egy poliéder két éllel, ami megfelel a névnek. Más sokszögektől eltérően mindkét élnek két közös csúcsa van. Emiatt degeneráltnak tekinthető .

Eddig például élek meghatározására "csúcsjelölést" használtunk. { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } az abc háromszögre . Ennek a módszernek határozott előnye van a < reláció beállításával szemben .

A digon és sok más absztrakt poliéder esetében a csúcsjelölés nem használható . Kénytelenek vagyunk az arcoknak egyedi neveket adni, és az F < G részfelületek párjait megadni (sorrend megadása).

Így egy digont úgy kell definiálni, mint egy { ø , a , b , E', E", G} halmazt < rendbeli relációval

{ ø < ​​​​a , ø < b , a <E', a <E", b <E', b <E", E'<G, E"<G}

ahol E' és E" két él és G a legnagyobb lap.

Összefoglalva, egy poliéder csak akkor írható le teljesen csúcsjelöléssel, ha bármely lapnak egyedi csúcskészlete van . Egy poliédert, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, atomi -nek nevezzük .

Magasabb rendű példák

Mint fentebb megjegyeztük, az absztrakt poliéder fogalma nagyon általános, és magában foglalja:

  • Végtelen , azaz végtelen poliéderek vagy helyettesítések
  • Más sokaságok, például a tórusz vagy a valós projektív sík dekompozíciói
  • Sok más objektum van, mint például a tizenegy -cella és az ötvenhét -cella , amelyek nem férnek el a szokásos módon a "normál" geometriai terekben.

Általánosságban elmondható, hogy egy hagyományos n -politóp j -lapjainak halmaza (-1 ≤ j ≤ n ) absztrakt n -politópot alkot.

Hosohedra

A digont az oszoéder általánosítja , amely a gömb gömb alakú poliédereiként valósítható meg .

Projektív poliéder

A nem hagyományos absztrakt poliéderek négy példája a félkocka [3] (az ábrán látható), a féloktaéder , a féldodekaéder és a félikozaéder . Ezek a poliéderek a szabályos poliéderek projektív megfelelői, és megvalósíthatók projektív poliéderekként – a valós projektív síkot  tesszellálják .

A félkocka egy másik példa, ahol a csúcsok jelölése nem alkalmazható – minden 2- és 3-lap ugyanazon a csúcskészleten osztozik.

Kettősség

Bármely poliédernek van duálisa , egy poliéder, amelyben a részleges sorrend megfordul - a kettős poliéder Hasse-diagramja ugyanaz, mint az eredetinél, de fordított ("fejjel lefelé"). Az n -politóp minden eredeti k -lapja átmegy a duál ( n  −  k  − 1)-felületébe. Így például az n -arc átmegy a (-1)-lapba. A duál duális politópja azonos ( izomorf ) az eredetivel.

Egy politóp önduális, ha egybeesik duális politópjával, azaz izomorf a duálissal. Így az önkettős politóp Hasse-diagramjának szimmetrikusnak kell lennie a vízszintes tengelyre. A fenti példában a négyzet alakú piramis egy önkettős poliéder.

A V csúcsban lévő csúcs alakja a duális poliéder megfelelő lapjának duálisa.

Absztrakt szabályos poliéder

Formálisan egy absztrakt politóp "reguláris"-nak minősül, ha az automorfizmus csoportja tranzitív módon hat a zászlói halmazára. Konkrétan egy n -politóp bármely két k -lapja F és G "ugyanaz", vagyis létezik egy automorfizmus, amely F -et G -re képezi le . Ha egy absztrakt politóp szabályos, akkor az automorfizmuscsoportja izomorf a Coxeter-csoport faktorcsoportjával .

Minden ≤ 2-es rangú politóp szabályos. A leghíresebb szabályos poliéder az öt platóni test. A félkocka (a képen látható) is megfelelő.

Informálisan ez azt jelenti, hogy minden k rang esetén nincs mód arra, hogy megkülönböztessünk egy k - arcot a többitől - az arcoknak azonosaknak kell lenniük, és ugyanazokkal a szomszédokkal, stb. Például egy kocka szabályos, mert minden lapja négyzet, a négyzet minden csúcsa három négyzethez tartozik, és minden négyzetet ugyanazok a többi lapok, élek és csúcsok vesznek körül, és így tovább.

Ez a feltétel minden összeadás nélkül elegendő ahhoz, hogy egy absztrakt poliéder izomorf szabályos ( n − 1)-lapjai és izomorf reguláris csúcsalakjai legyenek.

Ez gyengébb feltétel, mint a hagyományos poliéderek helyessége, mivel a (kombinatorikus) automorfizmuscsoportra vonatkozik, nem a (geometriai) szimmetriacsoportra. Például bármely absztrakt sokszög helyes, mert szögek, élhosszak, élgörbület, ferdeség stb. nem léteznek absztrakt poliédereknél.

Vannak más lazító fogalmak, amelyek nem teljesen szabványosak, mint például a félig szabályos , kvázi-reguláris , egyenletes , királis poliéderek és az arkhimédeszi szilárdtestek , amelyek olyan poliéderekre vonatkoznak, amelyekben néhány, de nem az összes lap ekvivalens az egyes rangoknál.

Példa egy szabálytalan poliéderre

Ha figyelembe vesszük, hogy mekkora teret kapnak a szabályos poliéderek, úgy tűnik, hogy minden poliéder szabályos. Valójában a szabályos poliéderek nagyon különleges esetek.

A legegyszerűbb szabálytalan poliéder a négyzet alakú piramis , bár sok szimmetriája van.

Az ábra egy példát mutat egy poliéderre nem triviális szimmetria nélkül – egyetlen csúcs-, él- vagy 2-lappár sem „ugyanaz” a fent meghatározottakkal. Talán ez a legegyszerűbb a poliéderek közül.

Megvalósítások

Bármely hagyományos poliéder egy példa a mögöttes absztrakt poliéder megvalósítására. Ugyanez vonatkozik a sík vagy más darabonkénti lineáris elosztók csempézésére is, kettő vagy több méretben . Ez utóbbiak közé tartoznak például a projektív poliéderek. Ezeket a poliéderekből központi szimmetriával kaphatjuk meg, ha ellentétes csúcsokat, éleket, lapokat stb. azonosítunk. Három dimenzióban ez adja a félkockát és a fél-dodekaédert és azok duálisait, a féloktaédert és a fél-ikozaéder .

Általánosabban fogalmazva, a szabályos absztrakt politóp megvalósítása a térben lévő pontok halmaza (amelyek a politóp csúcsainak felelnek meg), az (absztrakt) politóp által rajtuk generált arcszerkezettel együtt, és ez a struktúra legalábbis ugyanaz. szimmetriák, mint az eredeti absztrakt politóp . Vagyis az absztrakt poliéderek összes kombinatorikus automorfizmusa geometriai szimmetriákkal valósul meg. Például a {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} ponthalmaz egy absztrakt 4-szög (négyzet) megvalósítása. Ez azonban nem az egyetlen megvalósítás – választhat helyette egy szabályos tetraéder csúcsait. Egy négyzet bármely szimmetriájához létezik egy szabályos tetraéder szimmetriája (a szabályos tetraéderhez azonban több szimmetria van, mint egy absztrakt 4-szögűhez).

Valójában minden v csúcsú absztrakt politópnak van legalább egy megvalósítása egy ( v  − 1)-dimenziós szimplex csúcsaként . Gyakran érdekes megtalálni a megvalósítást a legkisebb dimenzióban is.

Ha egy absztrakt n - politóp az n - dimenziós térben úgy valósul meg, hogy a geometriai elrendezés nem sérti a hagyományos poliéderekre vonatkozó szabályokat (mint például görbe vonalú lapok vagy nulla méretű gerincek [4] ), az ilyen megvalósítás legyen helyes . Általánosságban elmondható, hogy az n rangú absztrakt poliédereknek csak korlátozott halmaza valósítható meg helyesen bármely n - térben.

Az egyesülési probléma és az univerzális poliéder

Egon Schulte doktori disszertációja ismerteti a kombinatorikus struktúrák alapelméletét, amelyet ma "absztrakt politópoknak" (eredeti nevén "incidenciapolitópoknak" - véletlen poliédereknek neveznek), bár Branko Grünbaum , Harold Coxeter és Jacques Tits korábbi munkáin alapul. . Azóta az absztrakt politópok elméletének kutatása főként a szabályos politópokra irányult, vagyis azokra a politópokra, amelyek automorfizmuscsoportjai tranzitív módon hatnak a politóp zászlókészletére .

Az absztrakt poliéderek elméletének egyik fontos kérdése a keveredési probléma . A feladat egy sor kérdésből áll, mint pl

Adott a K és L absztrakt politóp , van-e olyan P politóp, amelynek oldalai K és csúcsalakjai L  ? Ha igen, ezek mind végesek? Milyen véges poliéderek léteznek ilyen típusúak?

Például, ha K egy négyzet és L  egy háromszög, ezekre a kérdésekre a következő válaszokat adjuk

Igen, vannak olyan P politópok , amelyek négyzetlapjai egy csúcsban hárommal vannak összekötve (vagyis {4,3} típusú poliéderek). Igen, mindegyik véges Van egy hat négyzetlapú, tizenkét élű és nyolc csúcsú kocka, valamint egy félkocka , amelynek három lapja, hat éle és négy csúcsa van.

Ismeretes, hogy ha az első kérdésre igen ( Igen ) a válasz bizonyos megfelelő K -ra és L -re, akkor létezik egy olyan egyedi politóp , amelynek oldalai K és csúcsalakjai L. Ezt a politópot univerzális politópnak nevezik ezekkel a lapokkal és csúcsfigurákkal, amely az összes ilyen típusú politópot lefedi . Vagyis tegyük fel, hogy P egy univerzális politóp, amelynek K fazetta és L csúcsalakja van . Ekkor bármely más Q politóp ezekkel a lapokkal és csúcsfigurákkal felírható Q = P / N , ahol

  • N a P  csoport automorfizmusainak egy alcsoportja
  • P / N a P elemeinek pályáinak halmaza N hatása alatt a P csoport által generált részleges sorrendben .

Q = P / N P hányadosának nevezzük , és azt mondjuk, hogy P takarja Q -t .

Ebből a tényből adódóan a poliéderek keresése kiválasztott oldalfelületekkel és csúcsfigurákkal általában a következő forgatókönyv szerint történik:

  1. Egy univerzális poliédert próbálunk találni
  2. Megpróbáljuk besorolni a privátot.

Ez a két feladat általában véve nagyon nehéz.

Visszatérve a fenti példához, ha K egy négyzet és L  egy háromszög, akkor a { K , L } univerzális politóp egy kocka lesz (amely a következőképpen van felírva: {4,3}). A félkocka a {4,3}/ N reláció , ahol N  szimmetriák (automorfizmusok) csoportja két elemmel – az azonosságszimmetriával és a szimmetriával, amely az egyes sarkokat (éleket vagy lapokat) az ellenkező elemre képezi le.

Ha L egyben négyzet is, akkor az univerzális { K , L } politóp (azaz {4,4}) az euklideszi tér négyzetenkénti felosztása. Ennek a csempézésnek végtelen számú négyzet alakú hányadosa van, csúcsonként négy, amelyek közül néhány szabályos, és van, amelyik nem. A leguniverzálisabb poliéder kivételével minden hányados megfelel a tórusz vagy egy végtelen hosszú henger felületének négyzetekkel történő burkolásának különböző módjainak .

Tizenegy cellás és ötvenhét cellás

A Coxeter és Grünbaum által egymástól függetlenül felfedezett tizenegy cella egy absztrakt 4 dimenziós poliéder. Lapjai félikozaéderek. Mivel a lapok topológiailag projektív síkok és nem gömbök, a tizenegy cella nem a szokásos értelemben vett sokaság csempézése. Ehelyett egy tizenegy cella egy lokálisan projektív politóp. A tizenegy cellás nemcsak matematikailag szép, hanem történelmileg is fontos, mint az első felfedezett nem szokványos absztrakt poliéder. A poliéder önkettős és univerzális – ez az egyetlen poliéder, amelynek fél-ikozaéder fazettája és fél-dodekaéder csúcsalakja van.

Az 50 cellás szintén önkettős, félig dodekaéderes lapjai vannak. A poliédert Harold Coxeter találta meg nem sokkal a tizenegy cella felfedezése után. A tizenegy cellához hasonlóan ez is univerzális, mivel az egyetlen poliéder, amelynek félig dodekaéder fazettája és félig ikozaéder csúcsalakja van. Másrészt sok más politóp is létezik, amelyek félig dodekaéder alakúak és a Schläfli-szimbólum {5,3,5}. A félig dodekaéder fazettákkal és ikozaéderes (nem félikozaéderes) csúcsalakokkal rendelkező univerzális poliéder véges, de nagyon nagy, 10006920 fazetta és feleannyi csúcsa van.

Helyi topológia

Az összeolvadás problémája történelmileg a helyi topológiához kapcsolódott . Ez azt jelenti, hogy ahelyett, hogy a K és L értékeket meghatározott politópokra korlátoznánk, minden adott topológiájú politóp megengedett , azaz egy adott sokaság bármilyen poliéder csempézése . Ha K és L gömb alakú (vagyis egy topológiai gömb csempézettjei ), akkor P -t lokálisan gömb alakúnak mondjuk , és valamilyen sokaság csempézettjének felel meg. Például, ha K és L egyaránt négyzet (és ezért topológiailag körök), P egy sík, tórusz vagy Klein-palack négyzetekkel ellátott csempézése lesz . Egy n -dimenziós sokaság csempézése valójában egy n  + 1 rangú poliéder. És ez összhangban van azzal az intuícióval, hogy a platóni szilárdtestek háromdimenziósak, még akkor is, ha a felület felületének tesszellációinak tekinthetők. egy labda kétdimenziós felülete.

Általánosságban elmondható, hogy egy absztrakt politópot lokálisan X -nek nevezzük , ha a fazettái és csúcsalakjai topológiailag vagy gömbök, vagy X , de nem gömbök. A tizenegy cellás és az ötvenhét cellás a lokálisan projektív 4-es rangú politópok (azaz négydimenziós) példái , mivel fazettáik és csúcsaik a valós projektív síkok csempézései . Itt azonban van egy gyengeség a terminológiában. A definíció nem ad egyszerű módokat azoknak a poliédereknek a leírására, amelyeknek a fazettája tori , a csúcsaik pedig projektív síkok. Még rosszabb, ha a különböző aspektusok eltérő topológiával rendelkeznek, vagy egyáltalán nincs meghatározott topológia. Nagy lépést tettek azonban n lokálisan toroidális szabályos poliéder teljes osztályozása felé [5] .

Exchange kijelzők

Legyen Ψ  egy absztrakt n -politóp zászlója és −1 <  i  <  n . Az absztrakt politóp definíciójából bebizonyítható, hogy létezik olyan egyedi zászló, amely csak egy i rangú elemben különbözik Ψ -től , egyébként pedig ugyanaz. Ha egy ilyen zászlót Ψ ( i ) -vel jelölünk , akkor ez meghatározza a poliéder zászlóleképezéseinek halmazát, mondjuk φ i . Ezeket a leképezéseket csereleképezéseknek nevezzük , mert felcserélik a jelzőpárokat: ( Ψφ i ) φ i  =  Ψ [6] . A csereleképezések néhány egyéb tulajdonsága:

  • φ i 2 azonosságleképezés
  • φ i csoportot alkotok .
  • Ha | i  −  j | > 1, φ i φ j = φ j φ i
  • Ha α  egy poliéder automorfizmusa, akkor αφ i = φ i α
  • Ha a politóp szabályos, akkor a φ i által generált csoport izomorf az automorfizmus csoporttal, ellenkező esetben szigorúan nagyobb.

Cseretérképek használhatók annak bizonyítására, hogy bármely absztrakt politóp valamilyen szabályos politópból származik.

Incidens mátrixok

Egy poliéder ábrázolható előfordulási táblázatként. Az alábbiakban egy háromszög előfordulási mátrixa látható:

ø a b c ab időszámításunk előtt kb ABC
ø • • • • • • • •
a • • • • •
b • • • • •
c • • • • •
ab • • • • •
időszámításunk előtt • • • • •
kb • • • • •
ABC • • • • • • • •

Egy pont a táblázatban azt jelzi, hogy az egyik lap egy másik lap alfelülete (vagy fordítva , így a táblázat átlósan szimmetrikus ). Így a táblázat redundáns információkat tartalmaz , elegendő lenne egy olyan pontot megjeleníteni, amikor a sorlap száma ≤ az oszloplapszám (felső háromszögmátrix).

Mivel maga a törzs és az üres halmaz minden más elemre esik, az első sor és az első oszlop, valamint az utolsó sor és az utolsó oszlop triviálisak és elhagyhatók.

További információk az események megszámlálásával szerezhetők be. Ez a numerikus ábrázolás lehetővé teszi a szimmetria szerinti csoportosítást, mint a négyzet alakú piramis Hasse-diagramjában  – ha a B, C, D és E csúcsok szimmetriában ekvivalensek egy absztrakt poliéderben, akkor az f, g, h és j élek csoportosítva vannak, és ugyanez a k, l, m és n élekre. Végül a ' P' , ' Q' , ' R' és ' S' háromszögek is csoportosítva vannak . Egy absztrakt poliéder megfelelő előfordulási mátrixa így nézhet ki:

 A B, C, D, E f, g, h, j k, l, m, n P , Q , R , S T
A egy * négy 0 négy 0
B, C, D, E * négy egy 2 2 egy
f, g, h, j egy egy négy * 2 0
k, l, m, n 0 2 * négy egy egy
P , Q , R , S egy 2 2 egy négy *
T 0 négy 0 négy * egy

Ebben az előfordulási mátrixban az átlós elemek az egyes elemtípusok teljes számát adják.

Nyilvánvaló, hogy a különböző típusú, azonos rangú elemek soha nem lehetnek incidensek, ezért az érték mindig 0, de ennek a kapcsolatnak a felismerése érdekében a táblázat nulla helyett csillagot (*) használ.

A táblázat átlós elemei az egyes sorokhoz a megfelelő részelemek előfordulásának számát, míg a szupradiagonális elemek a csúcsokhoz, élekhez és egyéb alakzatokhoz tartozó elemek előfordulásának számát jelentik.

Már ez a négyzet alakú piramis példa azt mutatja, hogy egy ilyen előfordulási mátrix nem szimmetrikus. A táblázatelemek egyszerű összekapcsolása azonban megmarad, mivel az ilyen előfordulási mátrixokra a következők érvényesek:

Történelem

Az absztrakt poliéderek korai példáit Coxeter és Petrie fedezte fel  , három végtelen szerkezetet: {4, 6}, {6, 4} és {6, 6}, amelyeket szabályos ferde végtelenségnek nevezett el .

1960-ban Branko Grünbaum felkérte a geometrikus közösséget, hogy vitassák meg a szabályos poliéder fogalmának általánosítását , amelyet polisztrómának (poly + stromata [7] ) nevezett el. Az elméletet új objektumok példáinak bemutatásával fejlesztette ki, beleértve a tizenegy cellát .

A tizenegy cella egy önkettős , négydimenziós poliéder , amelynek lapjai nem ikozaéderek , hanem „ félikozaéderek ”. Vagyis azokat a számadatokat, amelyeket akkor kapunk, ha az ikozaéder szemközti oldalait egy (ugyanolyan) lapnak tekintjük (Grünbaum, 1977). Néhány évvel azután, hogy Grünbaum felfedezte a tizenegy cellát, Coxeter felfedezett egy hasonló poliédert, az ötvenhét cellás -et (Coxeter 1982, 1984), majd önállóan újra felfedezte a tizenegy cellát.

Egon Schulte az 1980-as években írt disszertációjában meghatározta a "reguláris incidens komplexeket" és a "szabályos incidens poliédereket", amelyek megadták az első modern definíciót. Ezt követően ő és Peter McMullen dolgozták ki a mögöttes elméletet egy sor tanulmányban, amelyeket később könyvbe állítottak össze. Azóta számos kutató közreműködött, és a kutatók úttörői (köztük Grünbaum is) elfogadták Schulte definícióját „helyesnek”.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 póz = részben megrendelt készlet
  2. ↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 31.
  3. ↑ Az angolban két kifejezést lehet félkockának fordítani : hemicube  és demicube. A cikk a hemicube-ról szól.
  4. ↑ A fésű n -2 méretű lap. A háromdimenziós politópok esetében a gerinc egybeesik a szélével.
  5. ↑ McMullen, Schulte, 2002 .
  6. ↑ Hartley, Hulpke, 2010 , p. 107.
  7. ↑ polystromata = poly + stroma, stroma = pl. óra stromától = alap, csontváz

Irodalom