Dirichlet L-függvény

A Dirichlet L - függvény egy komplex függvény, amelyet at(esetén at) ad meg a képlet $L_{{\chi }}(s)$ $\operátornév {Re}\,s>0$ $\operátornév {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

ahol valamilyen numerikus karakter (modulo k ). Dirichlet-függvényeket vezettek be Dirichlet prímszámtételének bizonyítására a számtani progresszióban , melynek központi pontja a nem fő karakterek egyenlőtlenségének bizonyítása. $\chi (n)$ $L$ $L_{\chi }(1)\neq 0$

Euler termék Dirichlet L-függvényekhez

A numerikus karakter multiplicativitása miatt a Dirichlet-függvény a tartományban prímszámok Euler-szorzataként ábrázolható : $\chi$ $L$ $\operátornév {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\prod _{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1 }}

Ez a képlet a -függvények számos alkalmazásához vezet a prímszámok elméletében. $L$

A zéta függvénnyel való kapcsolat

$L$ a modulo k főkarakternek megfelelő Dirichlet -függvény a Riemann zéta függvényhez kapcsolódik a képlettel $\zeta (s)$

L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod _{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\ jobb)

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy egy olyan régiót definiáljunk , amelynek a pontban egy egyszerű pólusa van . $L_{{\chi _{0}}}(s)$ $Re(s)>0$ $s=1$

Funkcionális egyenlet

A Riemann-függvényhez hasonlóan a -függvény is hasonló funkcionális egyenletnek felel meg. $L$

A következőképpen határozzuk meg: ha gammafüggvény , páros karakter, akkor $\Lambda (\chi ,s)$ $\Gamma$ $\chi (-1)=1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)

Ha egy furcsa karakter, akkor $\chi (-1)=-1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)

Legyen a karakter Gauss-összege is , valamint páros és páratlan . Ekkor a funkcionális egyenlet a következő alakot veszi fel: $g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$

\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi )),1-s)

Lásd még

Dirichlet sor

Irodalom

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V. , Shidlovsky A. B. Bevezetés a számelméletbe. - M . : Moszkvai Egyetem Kiadója, 1984.
Karatsuba A. A. Az analitikus számelmélet alapjai. - 3. kiadás - M .: URSS, 2004.

L -függvények a számelméletben
Elemző példák	Riemann zéta függvény L -Dirichlet függvények Hecke karakterek L -függvényei Automorf L -függvények Selberg osztály
Algebrai példák	Dedekind zéta függvények Artin L -függvények Hasse-Weyl L -függvények Motive L -függvények
Tételek	Az osztályok számának analitikai képlete Riemann-von Mangoldt formula Weil hipotézisei
Elemző hipotézisek	Riemann hipotézis Általános Riemann-hipotézisek Lindelöf hipotézis Ramanujan hipotézis Artin hipotézise
Algebrai sejtések	Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis Deligne sejtése Beilinson hipotézisei Bloch-Kato sejtés Langlands hipotézis
p - adic L -függvények	Az Iwasawa elmélet fő hipotézise Selmer Group Euler rendszer