Gauss összeg

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A matematikában a Gauss-összeg az egységből származó gyökök bizonyos fajta véges összegeként értendő, általában az alakban írva.

G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)

Itt az összeget átvesszük valamilyen R véges kommutatív gyűrű összes r elemére , ψ ( r ) az R + additív csoport homomorfizmusa az egységkörbe , χ( r ) pedig az R × egységcsoport homomorfizmusa . a 0-val meghosszabbított egységkör. A Gauss-összegek analógok a véges mezők esetére vonatkozó gammafüggvényekkel .

Ezek az összegek gyakran előfordulnak a számelméletben , különösen a Dirichlet L-függvények funkcionális egyenleteiben .

Carl Friedrich Gauss az összegek tulajdonságait használta fel néhány számelméleti probléma megoldására, különösen a reciprocitás másodfokú törvényének egyik bizonyítására alkalmazta őket . Kezdetben a Gauss-összegeket másodfokú Gauss-összegeknek nevezték , amelyeknél R a modulo p maradékok mezője , χ pedig a Legendre szimbólum . Erre az esetre Gauss kimutatta, hogy G (χ) = p 1/2 vagy ip 1/2 , ha p kongruens 1 vagy 3 modulo 4 értékkel.

A Gauss-összeg írásának másik módja:

\sum e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}

A Gauss-összegek általános elméletét a 19. század elején dolgozták ki Jacobi-összegek és azok prímtényezőinek körkörös mezőkben történő felhasználásával .

A Gauss-összegek számelméleti jelentősége csak az 1920-as években derült ki. Ebben az időben Hermann Weyl általánosabb trigonometrikus összegeket alkalmazott az egyenletes eloszlások tanulmányozására , amelyeket később Weyl-összegeknek neveztek. Ugyanakkor I. M. Vinogradov Gauss-összegeket használt, hogy felső becslést kapjon a legkisebb kvadratikus nem maradék modulo p. A Gauss-összegek lehetővé teszik a számelmélet két fontos tárgya, a multiplikatív és az additív karakterek közötti kapcsolat létrehozását. A másodfokú Gauss összegek szorosan összefüggenek a θ-függvények elméletével .

A Gauss-összegek abszolút értékét általában a Plancherel-tétel segítségével találjuk meg véges csoportokra . Abban az esetben, ha R egy p elemből álló mező, és χ nem triviális, az abszolút érték p 1/2 . A teljes Gauss-összegek pontos értékének kiszámítása nem könnyű feladat.

A Dirichlet karakter Gauss-összegeinek tulajdonságai

Gauss-összeg a Dirichlet-karakter modulo N esetében

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.

Ha χ primitív , akkor

|G(\chi )|={\sqrt {N)),

és különösen nem egyenlő nullával. Általánosabban, ha N 0 egy χ karakterű vezető , és χ 0 egy primitív Dirichlet karakter modulo N 0 , amely χ-t indukál, akkor

G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})

ahol μ a Möbius-függvény .

Ebből következik, hogy G (χ) akkor és csak akkor nem nulla, ha N / N 0 négyzetmentes és viszonylag prím N 0 -hoz .

A viszony

G({\overline {\chi )))=\chi (-1){\overline {G(\chi ))),

ahol χ a Dirichlet karakter összetett ragozása.

Ha χ′ Dirichlet-karakter modulo N ′ úgy, hogy N és N ′ másodprím, akkor

G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime } ).

Lásd még

Chole – Mordell tétel
Gauss elliptikus összege

Irodalom

Berndt, Kr. e; Evans, RJ; Williams, K. S. Gauss és Jacobi Sums. - Wiley, 1998. - (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). - ISBN 0-471-12807-4 .
Írország, Kenneth; Rosen, Michael. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe . — 2. - Springer-Verlag , 1990. - 20. évf. 84. - ( Érettségi szövegek matematikából ). — ISBN 0-387-97329-X .
Iwaniec, Henryk & Kowalski, Emmanuel (2004), Analitikus számelmélet , 3.4. szakasza . 53, American Mathematical Society Colloquium Publications, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0
Artin E., Tate J., Class field theory, NY-Amst., 1967;

Orosz nyelvű kiadások

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe.
Carl Friedrich Gauss. Ült. cikkek, M., 1956;
Vinogradov I. M. Trigonometrikus összegek módszere a számelméletben, M., 1971;
Davenport G. Multiplikatív számelmélet, ford. angolból, M., 1971;
Prahar K. A prímszámok eloszlása , ford . németből, M., 1967;
Hasse G. Előadások a számelméletről, ford. németből, M., 1953.

Jig karakter

Algebrai számelmélet, ford. angolból, M., 1969;
Serre J.-P. Abeli l-adikus ábrázolások és elliptikus görbék , ford. angolból, M., 1973.