A forradalom felszíne

A forgásfelület egy tetszőleges vonal ( egyenes , lapos vagy térbeli görbe ) egyenes vonala (felületi tengelye) körüli forgás során kialakuló felület . Például, ha egy egyenes metszi a forgástengelyt, akkor forgása során kúpos felületet kapunk, ha párhuzamos a tengellyel - hengeres , ha metszi a tengellyel - hiperboloidot . Ugyanazt a felületet sokféle görbe elforgatásával lehet elérni.

A matematikai elemzés , az analitikai , a differenciál- és a leíró geometria vizsgálati tárgya .

Példák

Kör alakú hengeres felület (egy vele párhuzamos egyenes vonal körüli elforgatásával kapjuk).
Kúp (egy egyenes forgatásával kapjuk meg egy másik egyenest, amely metszi az elsőt).
Gömb (egy azonos síkban fekvő és a középpontján áthaladó tengely körüli kör elforgatásával kapjuk).
Tórusz (egy olyan tengely körüli kör elforgatásával nyerhető, amely nem metszi azt, és ugyanabban a síkban van).
A forgásellipszoid olyan ellipszoid , amelynek két féltengelye azonos hosszúságú (egy ellipszis egyik tengelye körüli elforgatásával kapjuk meg).
A forgásparaboloid egy elliptikus paraboloid , amelyet egy parabola tengelye körüli elforgatásával kapunk.
Katenoid ( a felsővezeték forgatásával nyerjük ).

Terület

A görbe síkjában fekvő, de a görbét nem metsző tengely körül egy véges hosszúságú síkgörbe elforgatásával kialakuló forgásfelület területe egyenlő a görbe hosszának és a görbe hosszának szorzatával. egy kör hossza, amelynek sugara megegyezik a görbe tengelye és tömegközéppontja közötti távolsággal. Ezt az állítást nevezik a második Papp-Guldin tételnek, vagy Pappus - központú tételnek.

Például egy sugarú tórusz esetében a felület területe: $r,R$

S=(2\pi r)\cdot (2\pi R)=4\pi ^{2}rR

A görbe tengely körüli elforgatásával kialakuló forgásfelület területe kiszámítható a képlettel $y=f(x),\ a\leq x\leq b$ $0x$

S=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2))}dx

A görbe tengely körüli elforgatásával kialakuló forgásfelület területe kiszámítható a képlettel $x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha \leq t\leq \beta$ $0x$

S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t )\jobbra)^{2}}}dt

Abban az esetben, ha a görbe poláris koordináta-rendszerben van megadva, a képlet érvényes $r=\rho (\varphi ),\ \alpha \leq \varphi \leq \beta$

S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }\rho (\varphi )|\sin \varphi |{\sqrt {\left(\rho (\varphi )\right)^{2 }+\left(\rho '(\varphi )\right)^{2}}}d\varphi

kötet

A görbe síkjában elhelyezkedő, de a görbét nem metsző tengely körül egy lapos, zárt, nem metsző görbe forgásával képzett forgásfelület által határolt térfogat egyenlő a görbe területének szorzatával. a sík alak, amelyet a görbe és a kör kerülete határol, amelynek sugara megegyezik a sík alak tengelye és súlypontja közötti távolsággal.

A görbe tengely körüli elforgatásával kialakuló forgásfelület térfogata a képlettel számítható ki $y=f(x),\ a\leq x\leq b$ $0x$

V=\pi \int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)dx

Változatok és általánosítások

elvetemült munka

A forradalom felszíne

Példák

Terület

kötet

Változatok és általánosítások

Jegyzetek