Thor (felszín)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A tórusz (toroid) egy olyan forgásfelület, amelyet a generáló kör olyan tengely körüli elforgatásával kapunk, amely ennek a körnek a síkjában fekszik, és nem metszi azt [1] .

Általánosabban, a tórusz egy topológiai tér vagy egy ilyen felülettel egyenértékű sima sokaság .

Néha nem igénylik, hogy a forgástengely ne metszi a generáló kört. Ebben az esetben, ha a forgástengely metszi a generáló kört (vagy érinti), akkor a tórusz zárt , egyébként nyitott [2] .

A többdimenziós esetben a tórusz fogalmát is meghatározzuk. A tórusz egy példa egy kommutatív algebrai csoportra és egy példa a Lie csoportra .

Történelem

A toroid felületet először az ókori görög matematikus , Architas vette figyelembe, amikor megoldotta a kocka megkettőzésének problémáját . Egy másik ókori görög matematikus, Perseus könyvet írt a spirálvonalakról – a tórusz tengelyével párhuzamos sík metszeteiről.

A tórusz tengelye

A forgástengely metszi a kört, érintheti azt és a körön kívül helyezkedhet el. Az első két esetben a tóruszt zártnak, az utolsóban nyitottnak vagy gyűrűnek nevezzük [2] .

A forgástengely távolságának megváltoztatása

A létrehozó körök középpontjaiból álló kört vezetőkörnek nevezzük.

Topológiai tulajdonságok

A tórusz az 1. nemzetséghez tartozó felület (egy fogantyús gömb). A tórusz egy kompakt topológiai tér.

A tórusz Euler-Poincare karakterisztikája χ=0.

Egyenletek

Parametrikus

A tórusz egyenlet a generatrix középpontjától az R forgástengelyig mért távolsággal és az r generatrix sugarával paraméteresen a következőképpen adható meg:

\left\{{\begin{matrix}x(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\cos \varphi \\y(\varphi ,\psi )=&(R +r\cos \psi )\sin \varphi \\z(\varphi ,\psi )=&r\sin \psi \\\end{mátrix}}\right.\qquad \varphi \in [0,2\pi ),\psi \in [-\pi ,\pi )

Algebrai

Az azonos koordinátákban és azonos sugarú nemparaméteres egyenlet negyedik foka:

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\jobb)^{2}-4R^{2}\left(x^ {2}+y^{2}\jobbra)=0

Az ilyen felületnek negyedik rendje van.

Vannak más felületek is, amelyek különböznek a tórusztól, és eltérő sorrendűek.

y^{2}=x^{3}+x+1

, ahol x, y komplex számok. Összetett elliptikus görbe , köbös felület.

\left\{{\begin{mátrix}x^{2}+y^{2}=1\\z^{2}+t^{2}=1\\\end{mátrix}}\ jobb.

Egy tórusz beágyazódása egy 4 dimenziós térbe. Ez egy 2. rendű felület. Ennek a felületnek a görbülete 0.

Felületi görbület

A háromdimenziós térben lévő tórusznak pozitív és negatív görbületi pontjai vannak . A Gauss-Bonnet tétellel összhangban a tórusz teljes felületén a görbületi integrál nullával egyenlő.

Csoportstruktúra

Tulajdonságok

A tórusz felülete az első Gulden-tétel következményeként : . $S=4\pi ^{2}Rr$
Egy tórusz által határolt test térfogata ( szilárd tórusz ), a második Papp-Gulden-tétel következményeként : . $V=2\pi ^{2}Rr^{2}$
A tórusz egy kivágott koronggal ("áttört") folyamatosan kifordítható ( topológiailag , azaz egy sor difeomorfizmussal ). Ebben az esetben két, rajta merőlegesen metsző kör ("párhuzamos" és "meridián") helyet cserél. [3]
Két ilyen „szivárgó” tori egymáshoz kapcsolva deformálódhat úgy, hogy az egyik tori „lenyeli” a másikat. [négy]
A tórusz szakaszainak színezéséhez szükséges minimális színszám 7, hogy a szomszédos régiók különböző színűek legyenek. Lásd még : Négyszín probléma .

Szakaszok

Ha egy tóruszt egy érintősík metsz , a kapott negyedrendű görbe degeneráltnak bizonyul: a metszéspont két kör, az úgynevezett Villarceau kör egyesülése .
- Különösen egy nyitott tórusz ábrázolható a forgástengelyhez kapcsolódó kör forgásfelületeként
A nyitott tórusz egyik szakasza a Bernoulli lemniszkátus , a többi görbe vonal grafikus vonal, és Perseus-görbéknek [5] (spirálvonalak, a tórusz tengelyével párhuzamos sík által metszett szakaszok) nevezik.
A tórusz felületének egyes metszéspontjai egy síkkal ellipszisnek néznek ki (2. rendű görbe). Az így kapott görbét egy 4. rendű algebrai egyenlet fejezi ki [6] .

Általánosítások

Többdimenziós tórusz

A 2-dimenziós tórusz általánosítása a többdimenziós tórusz (más néven n - tórusz vagy hipertórusz ):

{\mathbf {T}}^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}}_{n}.

A forradalom felszíne

A tórusz a forgásfelület speciális esete .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Mathematical Encyclopedia, 1985, 5. v., 405.
↑ 1 2 Koroljev Jurij Ivanovics. Leíró geometria: Tankönyv középiskolák számára. 2. kiadás . - "Peter" kiadó, 2008. - S. 172. - 256 p. — ISBN 9785388003669 . Archiválva : 2017. február 17. a Wayback Machine -nál
↑ A tórusz megfordításának lépéseit Albert Tucker és Herbert Bailey "Topológia" című művében adták meg a Scientific American 1950. januári kiadványában.
↑ A részletekért lásd M. Gardner cikkét a Scientific Americanban , 1977. március. A torival kapcsolatos egyéb paradoxonok M. Gardner cikkeiben találhatók, amelyeket a Scientific American 1972 decemberében és 1979 decemberében publikáltak.
↑ A leíró geometriai feladatok megoldásának elméleti alapjai: oktatóanyag
↑ Gömb és tórusz metszéspontja síkkal. Példa egy "vágási vonal" felépítésére egy kombinált forgástest felületén . Letöltve: 2011. november 4. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.. (határozatlan)

Irodalom

Savelov A. A. Síkgörbék: Szisztematika, tulajdonságok, alkalmazások. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 p. Újra kiadva 2002, ISBN 5-93972-125-7

Kompakt felületek és elmerüléseik a háromdimenziós térben

Egy kompakt háromszögletű felület homeoformitási osztályát az orientálhatóság, a határkomponensek száma és az Euler-karakterisztika határozza meg.

Nincs határ

Tájékozódható	Gömb (0. nemzetség) Thor (1. nemzetség) "Nyolc" (2. nemzetség) " Perec " (3. nemzetség) ...
Nem tájékozódó	Valódi projektív sík 1. nemzetség; Battle Surface római felszín Klein palack (2. nemzetség) Dick felület (3. nemzetség) ...

szegéllyel

Korong
- félteke
Szalag
- Gyűrű
- Henger
A Mobius szalag
- Möbius szalag
Három lyukú gömb...

Kapcsolódó
fogalmak

Tulajdonságok	Kapcsolódás tömörség Háromszögelés vagy simaság Tájékozódás
Jellemzők	A határelemek száma Nemzetség Euler-jellemző
Tevékenységek	Összekapcsolt összeg lyukvágás A fogantyú felragasztása A Möbius szalag rögzítése elmerülés