Fermi-Dirac statisztika

Fermi-Dirac statisztika - azonos fermionokból álló rendszerekre alkalmazott kvantumstatisztika (félegész spinű részecskék, a Pauli- elvnek megfelelően : egy kvantumállapotot nem foglalhat el több részecske). Meghatározza annak valószínűségét , hogy egy termodinamikai egyensúlyban lévő rendszer adott energiaszintjét fermion foglalja el .

A Fermi-Dirac statisztikában az energiával rendelkező részecskék átlagos száma a $n_{i}$ $\varepsilon_i$

n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}

ahol a degeneráció többszöröse (az energiájú részecske állapotainak száma ), a kémiai potenciál (nulla hőmérsékleten egyenlő a Fermi-energiával ), a Boltzmann-állandó , az abszolút hőmérséklet . $GI$ $\varepsilon_i$ $\mu$ $E_F$ $k$ $T$

Ideális Fermi gázban alacsony hőmérsékleten . Ebben az esetben, ha , a részecskék szintfoglalásának számának (törtrészének) függvényét Fermi-függvénynek nevezzük : $\mu=E_F$ $g_i=1$

F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -E_{F}}{kT}}\right)+1)).

Ezt a statisztikát 1926 -ban javasolta Enrico Fermi olasz fizikus és egyidejűleg Paul Dirac angol fizikus , aki rájött a kvantummechanikai jelentésére. 1927- ben Arnold Sommerfeld alkalmazott statisztikát a fémben lévő elektronokra .

A Fermi-Dirac statisztika tulajdonságai

A Fermi-Dirac függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

méret nélküli;
valós értékeket vesz fel a 0 és 1 közötti tartományban;
energiával csökken, élesen csökken a kémiai potenciállal egyenlő energia közelében;
abszolút nullánál úgy néz ki , mint egy lépés 1-ről 0-ra ugrással a -nál , és ahogy a hőmérséklet emelkedik, az ugrást egyre egyenletesebb csökkenés váltja fel; $\varepsilon =\mu$
mindig , függetlenül a hőmérséklettől. $\varepsilon =\mu$ $F=1/2$

Matematikai és fizikai jelentés

A Fermi-Dirac függvény beállítja a kvantumállapotok elfoglaltsági számát ( angol occupancy factor ). Bár gyakran "eloszlásnak" nevezik, a valószínűségszámítás apparátusa szempontjából ez sem nem eloszlásfüggvény , sem nem eloszlássűrűség . Ezzel a funkcióval kapcsolatban mondjuk nem vethető fel a normalizálás kérdése . $F(\varepsilon ,T)$

A kitöltött állapotok százalékos arányáról adva információt a függvény nem mond semmit ezen állapotok jelenlétéről. A diszkrét energiájú rendszerek esetében a lehetséges értékek halmazát a lista adja meg stb ., a folyamatos energiaspektrumú rendszerek esetében pedig az állapotokat az „ állapotok sűrűsége ” (J -1 vagy J - 1 m -3 ). Funkció $F(\varepsilon ,T)$ $\varepszilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ $\rho (\varepsilon )$

f(\varepsilon )=\left(\int \rho (\varepsilon )F(\varepsilon )d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )

a részecskék energiaeloszlási sűrűsége (J -1 ) és normalizált. A rövidség kedvéért az érvelést kihagyjuk. A leghagyományosabb esetekben $T$ $\rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}$

Klasszikus (maxwelli) határérték

Magas hőmérsékleten és/vagy alacsony részecskekoncentráció esetén a Fermi-Dirac statisztika (valamint a Bose-Einstein statisztika ) Maxwell-Boltzmann statisztikává alakul . Mégpedig ilyen feltételek mellett

F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon }{kT}}\right)

Az állapotsűrűség behelyettesítése és 0-ról való integrálása után a for kifejezés alakot ölt $\rho (\varepsilon )$ $\varepsilon$ $+\infty$ $f$

f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon ))}{\sqrt {(\pi kT)^{3))))\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)

Ez a Maxwell-eloszlás sűrűsége (energiákban).

A Maxwell-eloszlás (amely különösen jól működik gázoknál) a klasszikus "megkülönbözhető" részecskéket írja le. Más szavakkal, a „részecske 1. állapotú és részecske 2. állapotú” és „részecske 1. állapotú és részecske 2. állapotban” konfigurációk különböznek. $A$ $B$ $B$ $A$

A Fermi-Dirac statisztika alkalmazása

A hatókör jellemzői

A Fermi-Dirac statisztikát, valamint a Bose-Einstein statisztikát olyan esetekben használják, amikor figyelembe kell venni a kvantumhatásokat és a részecskék "megkülönböztethetetlenségét". A megkülönböztethetőségi paradigmában kiderült, hogy a részecskék energiaállapotok közötti eloszlása nem fizikai eredményekhez vezet az entrópiára vonatkozóan, amelyet Gibbs-paradoxonként ismerünk . Ez a probléma megszűnt, amikor világossá vált, hogy minden részecske megkülönböztethetetlen.

A Fermi-Dirac statisztika a fermionokra (a Pauli-elv alá tartozó részecskék), a Bose-Einstein statisztika pedig a bozonokra vonatkozik . A kvantumhatások akkor jelennek meg, ha a részecskék koncentrációja (ahol a részecskék száma, a térfogat, a kvantumkoncentráció). A kvantum az a koncentráció, amelynél a részecskék távolsága arányos a de Broglie hullámhosszal , vagyis a részecskék hullámfüggvényei érintkeznek, de nem fedik át egymást. A kvantumkoncentráció a hőmérséklettől függ. $N/V\geqslant n_q$ $N$ $V$ $n_q$

Konkrét példák

A Fermi-Dirac statisztikát gyakran használják a szilárd testekben lévő elektronok együttesének viselkedésének leírására; a félvezetők és általában az elektronika elméletének számos rendelkezése azon alapul. Például egy félvezető vezetési sávjában ( valenciasávban ) lévő elektronok ( lyukak ) koncentrációját egyensúlyi állapotban a következőképpen számítjuk ki:

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )\,d\varepsilon ,\quad p=\int \limits _{- \infty }^{E_{v}}\rho (\varepszilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepszilon

ahol ( ) a vezetési sáv alsó részének ( a vegyértéksáv felső részének ) energiája . Az alagútáram képlete két, kvantumpotenciálgáttal elválasztott régió között az általános formát mutatja $E_{c}$ $E_{v}$

j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon )\left[F_{L}(\varepsilon )-F_{R}(\varepsilon )\right]\,d\varepszilon

ahol az akadály átlátszósági együtthatója , és a Fermi-Dirac függvények a sorompótól balra és jobbra eső régiókban. $\Theta$ $F_{L}$ $F_{R}$

A Fermi-Dirac eloszlás származtatása

Tekintsük egy részecske állapotát egy sok részecskéből álló rendszerben. Legyen egy ilyen részecske energiája . Például, ha a rendszerünk egyfajta kvantumgáz egy "dobozban", akkor egy ilyen állapot egy parciális hullámfüggvénnyel írható le. Ismeretes, hogy a grand canonical ensemble esetében az elosztási függvény alakja van $\varepsilon$

Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},

ahol az állapot energiája , az állapotban lévő részecskék száma , a kémiai potenciál , a rendszer összes lehetséges mikroállapotán áthaladó index. $E(k)$ $s$ $N(ek)$ $s$ $\mu$ $s$

Ebben az összefüggésben a rendszernek fix állapotai vannak. Ha bármely állapotot részecskék foglalnak el, akkor a rendszer energiája . Ha az állapot szabad, akkor az energia értéke 0 . Az egyensúlyi egyrészecskés állapotokat tározónak tekintjük . Miután a rendszer és a tározó ugyanazt a fizikai teret foglalják el, megkezdődik a részecskék cseréje a két állapot között (valójában ezt a jelenséget vizsgáljuk). Ebből világossá válik, hogy miért használják a fent leírt eloszlásfüggvényt, amely a kémiai potenciálon keresztül a rendszer és a tározó közötti részecskék áramlását veszi figyelembe. $n$ $n\cdot\varepsilon$

A fermionok esetében minden állapotot vagy egyetlen részecske foglalhat el, vagy szabad. Ezért a mi rendszerünknek két halmaza van: foglalt (természetesen egy részecske által) és nem foglalt állapotok, amelyeket ill . Látható, hogy , , és , . Ezért az elosztási függvény a következő alakot ölti: $s_{1}$ $s_{2}$ $E(s_1)=\varepszilon$ $N(s_1)=1$ $E(s_2)=0$ $N(s_2)=0$

Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepszilon-\mu)/kT}+1.

A nagy kanonikus együttes esetén annak valószínűségét, hogy a rendszer mikroállapotban van , a képlet számítja ki $s_\alpha$

P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.

Egy részecske által elfoglalt állapot jelenléte azt jelenti, hogy a rendszer mikroállapotban van , aminek a valószínűsége $s_{1}$

\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepszilon- \mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

$\istálló}$ Fermi-Dirac eloszlásnak nevezik . Rögzített hőmérséklet esetén fennáll annak a valószínűsége, hogy az energiaállapotot egy fermion foglalja el. $T$ $\bar{n}(\varepszilon)$ $\varepsilon$

Figyelembe vesszük, hogy az energiaszint degenerált . Most elvégezhet egy egyszerű módosítást: $\varepsilon$ $g_\varepszilon$

\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

Itt látható a részecskék várható hányada minden energiájú állapotban . ${\bar {n}}={\bar {n}}(\varepsilon )$ $\varepsilon$

A hőmérséklet hatásának finomítása

Azoknál a rendszereknél, amelyek hőmérséklete a Fermi-hőmérséklet alatt van , és néha (nem teljesen helyesen) magasabb hőmérsékleteknél, a közelítést használják . Általános esetben azonban a kémiai potenciál a hőmérséklettől függ, és számos probléma esetén ezt a függést figyelembe kell venni. A függvényt tetszőleges pontossággal egy hatványsor reprezentálja a reláció páros hatványaiban : $T$ $T_{F}=E_{F}/k$ $\mu\kb. E_F$ $\mu$ $T/T_{F}<1$

\mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^ {2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\jobbra)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80} }\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\lpontok \jobbra]

Lásd még

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online)

Az anyag termodinamikai állapotai

Fázis állapotok

Az összesítés állapota Fázis egyensúly Fázisszabály fázisdiagram Állapotegyenlet
Szilárd	kristályok Monokristály polikristály Kristály
mezofázis	Amorf testek üveges állapot folyékony kristály Nematikus Smectic koleszterikus Oszlopos fázis Mesogen Membrán
Folyékony	Ideális folyadék Metastabil állapot túlhevített folyadék túlhűtött folyadék kinyújtott folyadék Olvadás szuperkritikus folyadék
Gáz	Ideális gáz igazi gáz Gőz Telített gőz túlhevített gőz túltelített gőz
Vérplazma	elektromágneses Kvark-gluon plazma Glazma
Alacsony hőmérséklet	bose kondenzátum Fermion kondenzátum kvantumgáz bose gáz Fermi gáz degenerált gáz kvantumfolyadék bose folyadék Fermi folyadék szuperfolyékony szilárd Jelenségek Szupra folyékonyság Szupravezetés
Egyéb	furcsa ügy fotonikus molekula színes üveg kondenzátum

Fázisátmenetek

Első fajta

Második fajta

elektromos jelenségekben	ferroelektromos Antiferroelektromos
mágneses jelenségekben	ferromágnesek Paramágnesek Antiferromágnesek

kvantum

lambda pont

Diszpergált rendszerek

Gélek
- Airgel
Megoldások
kolloid rendszerek
- durva
- Szabadon diszpergált kolloid
Sol
Festékszóró
- Füst
- Por
- Köd
- köd
Felfüggesztés
Emulzió

Lásd még