Rács E8

Az E 8 rács vagy a Korkin-Zolotarev rács az E 8 csoport gyökérrácsa . A 8-as dimenzióban valósítja meg:

Maximális elérhető telefonszám ;
A legsűrűbb golyócsomagolás .

Általában ugyanúgy jelölik , mint az E 8 csoportot . $E_8$

Történelem

Ennek a rácsnak a létezését 1867 - ben bizonyította [ 1 Az első explicit konstrukciót Korkin és Zolotarev adta 1873-ban [2] .

Leírás

Az E 8 rács a vektorok diszkrét alcsoportjaként valósítható meg a következő tulajdonságokkal: ${\mathbb {R}}^{8}$

bármely pont minden koordinátája egész vagy fél egész szám (azaz másfél egész szám);
mind a nyolc koordináta összege páros egész szám .

Más szavakkal,

E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2)))^ {8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az E 8 -ból származó bármely két vektor összege és különbsége benne van-e az E 8 -ban, ezért E 8 a -nek egy alcsoportja . ${\mathbb {R}}^{8}$

Az E 8 rács az E' 8 összes pontjának halmazaként is megvalósítható úgy , hogy ${\mathbb {R}}^{8}$

minden koordináta egész szám páros összeggel, vagy
minden koordináta fél egész szám, páratlan összeggel.

Más szavakkal

E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}) ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5 }\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

vagy

E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:({\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\ equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2} })^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.

Az E 8 és E' 8 rácsok izomorf , az egyik a másikból az egyik koordináta előjelének megváltoztatásával nyerhető.

Tulajdonságok

Jellemzés

Az E 8 rács az egyetlen olyan rácsként jellemezhető, amely megfelel a következő tulajdonságoknak: ${\mathbb {R}}^{8}$

Ez egy unimoduláris rács , azaz
- alapja ±1 determinánsú mátrix kialakítására használható. $8\times 8$
- Más szavakkal, ennek a rácsnak az alapterületének térfogata 1 .
- Ezzel egyenértékűen E 8 önduális , azaz megegyezik a reciprok rácsával .
Ez a rács páros, vagyis bármelyik vektorának normája páros egész.

Az unimoduláris rácsok is csak 8-cal osztható dimenziókban léteznek. A 16-os dimenzióban két ilyen rács található: E 8 ⊕ E 8 és D 16 + (utóbbi a 16. dimenzióban E 8 - hoz hasonlóan épül fel ). A 24-es dimenzióban 24 ilyen rács található, amelyek közül a legfontosabb a Leach-rács .

Alap

Az E 8 egyik lehetséges alapját a következő felső háromszögmátrix oszlopai adják

\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&0&0&0&1&1&1/0&0&1&1&0&0&0&1&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2 \\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\jobbra].

Vagyis az E 8 az oszlopok összes lineáris kombinációjából áll. Az összes többi bázist a GL(8, Z ) mátrixával való jobb szorzással kapjuk meg .

Minimális díj

A legrövidebb E 8 nem nulla vektor normája 2, a rács összesen 240 ilyen vektort tartalmaz. Ezek a vektorok alkotják az E 8 csoport gyökérrendszerét . Vagyis az E 8 rács az E 8 gyökérrács . Bármely 8 egyszerű gyök választása E 8 alapot ad .

Alapvető terület

A Voronoi - rács E 8 területei 5 21 cella .

Szimmetria csoport

Az R n -beli rács szimmetriacsoportja az O( n ) ortogonális csoport olyan alcsoportja, amely megőrzi a rácsot. Az E 8 rács szimmetriacsoportja, amelyet a rács 240 gyökére merőleges hipersíkok reflexiói generálnak . A sorrendje az

|W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.

Ez a csoport egy 128 8! rendű alcsoportot tartalmaz, amely a koordináták összes permutációjából és páros számú előjelváltozásból áll. A teljes szimmetriacsoportot ez az alcsoport és a H 4 ⊕ H 4 blokk-átlós mátrix generálja, ahol H 4 a Hadamard mátrix

H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\ \\end{smallmatrix}}\right].

Léggömb csomagolás

A golyók csomagolásának problémája azt kérdezi, hogyan lehet a rögzített sugarú golyókat a legsűrűbben pakolni egy térben átfedések nélkül. R 8 -ban az E 8 rács pontjaiban a sugarú golyók elhelyezése a maximális sűrűségű tömítést adja $1/\sqrt{2}$

{\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.

Az a tény, hogy ez a sűrűség maximális a rácsos tölteteknél, régóta ismert [3] . Ezenkívül ismert volt, hogy egy ilyen rács a hasonlóságig egyedülálló [4] . Marina Vyazovskaya nemrégiben bebizonyította, hogy ez a csomagolás még az összes csomagolás között is optimális [5] [6] .

A golyótömítési probléma megoldása csak az 1-es, 2-es, 3-as, 8-as és 24-es méretben ismert. Az, hogy a megoldások a 8-as és 24-es méretben ismertek, az E 8 rács speciális tulajdonságainak és 24-dimenziósságának köszönhető. a Pióca rács analógja .

Elérhetőségi szám

A kapcsolati szám probléma azt kérdezi, hogy legfeljebb hány rögzített sugarú golyó érintheti az azonos sugarú központi golyót. A 8-as dimenzióban a válasz 240; ilyen konfigurációt úgy érhetünk el, hogy a golyókat az E 8 rács pontjaira helyezzük a minimális normával. Ezt 1979-ben [7] [8] igazolták .

A kapcsolatszám-probléma megoldása csak az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 8-as és 24-es dimenzióban ismert. Az, hogy a 8-as és 24-es dimenzióban is ismertek a megoldások, az E 8 rács speciális tulajdonságaival is összefügg. A Leach rács 24 dimenziós analógja .

Theta függvény

A Λ rács théta függvényét összegként definiáljuk

\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau>0.

Ez egy holomorf függvény a felső félsíkon. Sőt, egy n rangú páros unimoduláris rács théta-függvénye az n /2 súly moduláris formája .

A normalizálásig a 4 súlynak csak egy moduláris formája létezik: az Eisenstein sorozat G 4 (τ). Azaz az E 8 rács théta-függvényének arányosnak kell lennie G 4 - gyel (τ). Ez ad

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}

ahol σ 3 ( n ) az és osztók függvénye . ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau ))$

Ebből következik, hogy a 2 n norma vektorainak száma az E 8 rácsban egyenlő (az n osztók kockáinak összegével ). Ez az A004009 sorozat az OEIS -ben : $240\cdot$

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q ^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).

Az E 8 rács théta-függvénye a Jacobi-théta-függvények segítségével a következőképpen írható fel:

\Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3} (q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\jobbra)

ahol

\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2)))^{2}}\ qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _ {n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.

Hamming kód

A H (8,4) Hamming-kód egy 8-as hosszúságú és 4-es rangú bináris kód ; vagyis a véges ( F 2 ) 8 vektorterének 4 dimenziós altere . Ha az ( F 2 ) 8 elemeket 8 bites egész számként írjuk be a H (8,4) hexadecimális kódba , kifejezetten úgy írhatjuk be.

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

A H (8,4) kód egy önkettős II típusú kód. Minimális Hamming súlya 4; ez azt jelenti, hogy bármely két kódszó legalább 4 bittel különbözik. A 8-as hosszúságú 4. rangú bináris kódoknál ez a maximum.

Adott egy n hosszúságú C bináris kód , akkor létrehozhatunk egy Λ rácsot úgy, hogy az összes vektor halmazát úgy vesszük , hogy az egybeessen (2. modul) a C kódszavaival; gyakran célszerű Λ-t 1/-es tényezővel skálázni. √2, $x\in \mathbb {Z} ^{n}$ $x$

\Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\ in C\right\}.

Ha ezt a konstrukciót egy önduális II típusú kódra alkalmazzuk, egyenletes, unimoduláris rácsot kapunk. Konkrétan a H(8,4) Hamming-kódhoz az E 8 rácsot kapjuk .

A kapott rács és a fent definiált E 8 rács közötti explicit izomorfizmus megtalálásának problémája nem teljesen triviális.

Egész oktonok

Az E 8 rácsot az egész oktonok definíciójában az egész kvaterniókhoz hasonlóan használjuk .

Az egész oktonok természetesen rácsot alkotnak az O -ban . Ez a rács hasonló az E 8 rácshoz az együtthatóval . (A minimális norma egész oktonokban 1, nem 2). $1/\sqrt{2}$

Az egész oktonok nem asszociatív gyűrűt alkotnak.

Alkalmazások

1982-ben Friedman megszerkesztett egy topologikus négysokaságot , az úgynevezett E 8 sokaságot , amelynek metszéspontját az E 8 rács adja meg . Ez a sokaság egy olyan topológiai sokaság példája, amely nem enged sima szerkezetet, és még csak nem is háromszögezett.
A húrelméletben a heterotikus húr a 26-dimenziós bozonikus húrok és a 10-dimenziós szuperhúrok egyfajta hibridje . Ahhoz, hogy az elmélet helyesen működjön, a 16 extra dimenziót egy egyenletes, 16-os rangú unimoduláris ráccsal kell tömöríteni. Két ilyen rács létezik: E 8 ⊕E 8 és D 16 + (E 8 -hoz hasonlóan megszerkesztve ). Ez a heterotikus karakterláncok két változatához vezet, amelyek E 8 ×E 8 és SO(32) néven ismertek.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Smith, HJS A háromnál több határozatlant tartalmazó másodfokú formák rendjéről és nemzetségeiről // Proceedings of the Royal Society : Journal . - 1867. - Kt. 16 . - P. 197-208 . - doi : 10.1098/rspl.1867.0036 .
↑ Korkine, A.; Zolotareff, G. Sur les forms quadratique pozitívs (francia) // Mathematische Annalen . - 1877. - Kt. 6 . - P. 366-389 . - doi : 10.1007/BF01442795 .
↑ Blichfeldt, HF A pozitív másodfokú formák minimális értékei hat, hét és nyolc változóban // Mathematische Zeitschrift : folyóirat. - 1935. - 1. évf. 39 . - P. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01201341 .
↑ Vetcinkin, NM (1980). „A pozitív másodfokú formák azon osztályainak egyedisége, amelyeken a Hermite-állandó értékei 6 ≤ n ≤ 8 esetén érhetők el. Pozitív másodfokú formák geometriája . 152 . Trudy Math. Inst. Szteklov. pp. 34-86.
↑ Klarreich, Erica (2016. március 30.), Sphere Packing Solved in Higher Dimensions , Quanta Magazine , < https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions > Archiválva : március 12. 2017 a Wayback Machine -nél
↑ Viazovska, Maryna (2016), The sphere packing problem in dimension 8, arΧiv : 1603.04246 .
↑ Levenshtein, VI Az n - dimenziós euklideszi térben való csomagolás határairól // Szovjet Matematika Doklady : folyóirat . - 1979. - 1. évf. 20 . - P. 417-421 .
↑ Odlyzko, A.M.; Sloane, NJA Új korlátok azon egységgömbök számára vonatkozóan, amelyek n dimenzióban érinthetik meg az egységgömböt // Journal of Combinatorial Theory : Journal. - 1979. - 1. évf. A26 . - 210-214 . o . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .

Irodalom

Conway, J. Quadratic Forms Given to Us in Sensations . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 p. - 1000 példányban. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
John Horton Conway Sloane, Neil JAGömbcsomagolások ,rácsok és csoportok . — 3. - New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 0-387-98585-9 .
John Horton Conway Smith, Derek A. Akvaterniókról és az oktoniókról . - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 . A 9. fejezet az egész oktiníciókat és az E8.