A görbéhez viszonyított pontsorrend

A matematikában egy pont indexe , vagy egy pontnak egy síkban lévő zárt görbéhez viszonyított sorrendje egy egész szám, amely a görbe által egy adott pont körül az óramutató járásával ellentétes irányban megtett teljes fordulatok számát jelenti [1] . Néha beszélünk egy görbe sorrendjéről egy ponthoz képest. Az index a görbe tájolásától függ, és negatív értéket vesz fel, ha a görbét az óramutató járásával megegyezően haladjuk.

A görbékre vonatkozó pontindexek az algebrai topológia alapvető vizsgálati tárgyai , és fontos szerepet játszanak a vektoranalízisben , a komplex elemzésben , a geometriai topológiában differenciálgeometriában és a fizikában , beleértve a húrelméletet is .

Intuitív leírás

Adjunk meg egy zárt orientált görbét az xy síkban . A görbét úgy tekinthetjük, mint egy objektum útját, és a görbe tájolása jelzi, hogy az objektum milyen irányban mozog. Ekkor a pont görbéhez viszonyított indexe megegyezik az óramutató járásával ellentétes irányú teljes fordulatok számával, amelyeket a tárgy a megfigyelési ponthoz viszonyítva tesz meg.

A fordulatok számának kiszámításakor az óramutató járásával ellentétes mozgás pozitívnak, míg az óramutató járásával megegyező irányban negatívnak számít. Például, ha egy objektum négyszer körbeveszi a nézőpontot az óramutató járásával ellentétes irányban, majd egyszer az óramutató járásával megegyezően, a teljes index három lesz.

Ebben a sémában a megfigyelési pont körül egyáltalán nem kerülő görbe indexe 0, míg az óramutató járásával megegyező irányban haladó görbe negatív értéket ad. Így a pontindex tetszőleges egész szám lehet . Az alábbi ábrán görbék láthatók -2 és 3 közötti indexekkel:

$\cdots$
	−2	−1	0
				$\cdots$
	egy	2	3

Formális definíció

Az xy síkon egy görbe paraméteres egyenletekkel adható meg :

x = x(t)\quad\text{and}\quad y=y(t)\qquad\text{for }0 \leq t \leq 1.

Ha a t paramétert időként értelmezzük, akkor ezek az egyenletek meghatározzák egy objektum mozgását egy t = 0 és t = 1 közötti síkon. Ennek a mozgásnak az útja egy görbe, ha az x ( t ) és y ( t ) függvények folyamatos . Ez a görbe zárt, ha az objektum helyzete t = 0 és t = 1 időpontokban azonos.

A polárkoordináta-rendszer segítségével meghatározhatjuk egy pont indexét egy ilyen görbéhez képest . Feltételezve, hogy a görbe nem megy át a megfigyelési ponton, átírhatjuk a parametrikus egyenleteket:

r = r(t)

és azért

\theta = \theta(t)

0 \leq t \leq 1.

Az r ( t ) és θ ( t ) függvényeknek folytonosnak kell lenniük r > 0 értékkel. Mivel a kezdő- és végpont azonos, θ (0) és θ (1) 2π többszörösével kell, hogy térjen el . Ez az érték a pontindex:

pontmutató

= \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}.

Ez a definíció megadja az xy sík origójának indexét . A koordinátarendszer átalakításával ez a definíció bármely megfigyelési pontra kiterjeszthető.

Egyéb meghatározások

A pontindexet gyakran többféleképpen határozzák meg a matematika különböző területein. Az összes alábbi meghatározás egyenértékű a fentiekkel:

Differenciálgeometria

A differenciálgeometriában a parametrikus egyenleteket általában differenciálhatónak (simanak) (vagy legalábbis darabonként differenciálhatónak) tételezzük fel. Ebben az esetben a θ polárkoordinátát az x és y derékszögű koordinátákhoz a következő egyenlet adja:

d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)

ahol

r^2 = x^2 + y^2.

A Newton-Leibniz tétel szerint a θ teljes változás egyenlő a dθ integrállal . Így egy pont sima görbéhez viszonyított indexe görbe vonalú integrálként van kifejezve :

pontmutató

= \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2} \,dx.

Komplex elemzés

A komplex elemzésben egy pont indexe egy zárt C görbéhez képest a komplex síkban a z = x + iy komplex koordinátákkal fejezhető ki . Különösen, ha azt írjuk, hogy z = re iθ , akkor

dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta

és ezért

\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.

Az ln( r ) integrálhozzájárulás nulla, tehát a dz ⁄ z integrál egyenlő a θ teljes változás i -szeresével . Ily módon

pontmutató

= \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.

Általánosítva bármely a komplex szám indexét a [ 2] képlet adja meg.

\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}.

Ez a híres Cauchy-integrálképlet speciális esete . A pontindexek nagyon fontos szerepet játszanak a komplex elemzésben (lásd a fő maradéktétel megállapítását ).

Topológia

A topológiában a pont indexe egy alternatív fogalom a leképezés mértékére [3] [4] [5] . A fizikában a pontindexeket gyakran topológiai töltéseknek nevezik . Mindkét esetben ugyanazt a fogalmat használjuk.

A fenti példa egy pont körül csavarodó görbére egyszerű topológiai értelmezésű. A sík egy pontjának komplementere egy kör homotópiás megfelelője , tehát csak a kör önmagába való leképezését kell figyelembe venni. Megmutatható, hogy bármely ilyen leképezés folyamatosan deformálható a szabványos leképezések egyikévé , ahol a kör szorzatát úgy határozzuk meg, hogy a kört az egységkomplex körrel azonosítjuk. A kört topológiai térbe leképező homotópia osztályok halmaza egy csoportot alkot, amelyet az első homotópiacsoportnak vagy a tér alapcsoportjának neveznek . A kör alapcsoportja a Z egész számok csoportja [6] . Egy pont indexe egy komplex görbéhez képest egyszerűen egy homotópia osztály. $S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n$

Egy háromdimenziós gömb önmagára való leképezését is egy egész szám osztályozza, amelyet pontindexnek vagy néha Pontrjagin-számnak neveznek .

Sokszögek

Sokszögekben egy pont indexét a sokszög sűrűségeként fejezzük ki . Konvex sokszögek, valamint egyszerű sokszögek (öndiszjunkt) esetén a sűrűség 1 a Jordan-tétel szerint . Míg egy szabályos csillagsokszög { p / q } sűrűsége q .

Forgatási szám

Figyelembe veheti az útvonal érintőjének fordulatszámát.

A fordulatszámot csak olyan sima (differenciálható) görbéknél határozzuk meg, amelyeknek bármely pontjában van érintője.

Ezt a számot elforgatási számnak nevezzük, és úgy számítható ki, hogy az elfordulás szögét osztjuk 2 π -vel .

A görbéhez és a Heisenberg-féle ferromágnesességi egyenlethez viszonyított pontindex

A pontindex szorosan összefügg a Heisenberg-ferromágnesesség (2 + 1)-dimenziós folytonos egyenleteivel és azok integrálható kiterjesztésével – az Ishimori-egyenlet és másokkal.. Ezen egyenletek megoldásait pontindexek vagy topológiai töltések ( topológiai invariáns ) szerint osztályozzák.

Lásd még

Érvelés elve
Áttétel
Sokszög sűrűsége
Alapvető maradéktétel
Topológiai fokozatelmélet
Topológiai kvantumszám
Wilson hurok
Nem nulla index szabály

Jegyzetek

↑ Evgrafov M. A. 1. fejezet. Bevezetés // Analitikai függvények. - 3. - Moszkva: Tudomány. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1991. - P. 40. - ISBN 5-02-014200-X .
↑ Dieudonné, 1964 , 9.8.2. szakasz, p. 254-255.
↑ Seyferd G., Trefall W. § 78. Leképezési fok // Topológia. - Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont. - S. 361-362. — ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Dold A. 4. fejezet 4. §. A leképezés mértéke // Előadások az algebrai topológiáról. - M .: Mir, 1976. - S. 81. - ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Viro, 2010 , 36'4x, p. 271.
↑ Viro, 2010 , 35.F, p. 265.

Irodalom

Dieudonne J. A modern elemzés alapjai. - M .: Mir, 1964.
O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elemi topológia. - MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .
Goryainov VV 3. § Index. Láncok és ciklusok // Előadások egy komplex változó függvényelméletéről. - Volgograd: Volgográdi Állami Egyetemi Kiadó, 1998. - S. 61-62.

Linkek

Tekervényszám archiválva 2019. május 27-én a Wayback Machine -nél a PlanetMath webhelyen .