A valós számok halmazának folytonossága

A valós számok folytonossága a valós számok rendszerének olyan tulajdonsága , amellyel a racionális számok halmaza nem rendelkezik . Néha a folytonosság helyett a valós számok rendszerének teljességéről beszélünk [1] . A folytonossági tulajdonságnak számos különböző megfogalmazása létezik, amelyek közül a leghíresebb a Dedekind -féle folytonossági elve valós számokra , a beágyazott szegmensek Cauchy - Cantor - elve és a legkevésbé felső korlátos tétel . A valós szám elfogadott definíciójától függően a folytonossági tulajdonság vagy feltételezhető $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ axióma - egyik vagy másik megfogalmazásban, vagy tételként bizonyítandó [2] .

A folytonossági axióma

A valós számok elméletének axiomatikus felépítésében az axiómák száma szükségszerűen tartalmazza a következő állítást vagy annak megfelelőjét [3] :

A folytonosság (teljesség) axiómája. Bármelyek is legyenek a nem üres halmazokésúgy, hogy bármely két elemreteljesüljön az egyenlőtlenség,létezik olyan valós szám, amelyre mindenreésa reláció teljesül. $A\alhalmaz \mathbb {R}$ $B\alhalmaz \mathbb {R}$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $\xi$ $a\in A$ $b\in B$

a\leqslant \xi \leqslant b

Geometriailag (ha a valós számokat egy egyenes pontjaként kezeljük ), ha a és halmazok olyanok, hogy a számegyenesen az egyik eleme balra esik a második elemeitől, akkor van egy szám , elválasztja ezt a két halmazt, vagyis az összes elemtől jobbra (kivéve talán a legtöbbet ) és az összes elemtől balra (ugyanaz a figyelmeztetés). $A$ $B$ $\xi$ $A$ $\xi$ $B$

A racionális számok halmaza nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Például, ha két halmazt veszünk:

A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0 ,\;x^{2}>2\},

akkor az egyenlőtlenség bármely elemre és . Azonban nincs racionális szám , amely elválasztaná ezt a két halmazt. Valójában ez a szám csak lehet , de nem racionális . $a\in A$ $b\in B$ $a<b$ $\xi$ ${\sqrt {2}}$

A folytonossági axióma szerepe a kalkulus felépítésében

A folytonossági axióma jelentősége akkora, hogy nélküle lehetetlen a matematikai elemzés szigorú felépítése. Szemléltetésül bemutatunk néhány alapvető elemzési állítást, amelyek bizonyítása a valós számok folytonosságán alapul:

( Weierstrass-tétel ). Minden korlátos monoton növekvő sorozat konvergál
( Bolzano-Cauchy tétel ). Egy olyan szegmens folytonos függvénye, amely a végén különböző előjelek értékeit veszi fel, a szegmens valamely belső pontján eltűnik
(A hatvány , az exponenciális , a logaritmikus és az összes trigonometrikus függvény megléte a teljes "természetes" definíciós tartományban). Például bebizonyosodott, hogy minden egész számra létezik , azaz az egyenlet megoldása . Ez lehetővé teszi az összes racionális kifejezés értékének meghatározását : $a>0$ $n\geqslant 1$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $x^{n}=a,x>0$ $a^{x}$ $x$

$a^{{m/n}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}$

Végül ismét a számegyenes folytonossága miatt lehetséges a kifejezés értékének meghatározása már egy tetszőleges . Hasonlóképpen, a folytonossági tulajdonság segítségével igazoljuk egy szám létezését bármely .

a^{x}

x\in \mathbb{R}

\log _{{a}}{b}

a,b>0,a\neq 1

A matematikusok hosszú történelmi időszakon keresztül a geometriai igazolásra hivatkozva „vékony helyeken” igazolták a tételeket elemzésből, és gyakrabban teljesen kihagyták, mivel ez nyilvánvaló volt. A folytonosság lényegi fogalmát minden egyértelmű definíció nélkül használták. Csak a 19. század utolsó harmadában készítette el Karl Weierstrass német matematikus az analízis aritmetizálását, megalkotva az első szigorú elméletet a valós számokról, mint végtelen tizedes törtekről. Javaslatot tett a határ klasszikus meghatározására a nyelvben , számos olyan állítást bebizonyított, amelyeket előtte "nyilvánvalónak" tartottak, és ezzel befejezte a matematikai elemzés megalapozását. $\varepszilon-\delta$

Később más megközelítéseket javasoltak a valós szám meghatározására. Az axiomatikus megközelítésben a valós számok folytonossága kifejezetten külön axiómaként van kiemelve. A valós számelmélet konstruktív megközelítéseiben, mint például a valós számok Dedekind-szakaszok felhasználásával történő megalkotásakor , a folytonossági tulajdonság (egyik vagy másik megfogalmazásban) tételként bizonyításra kerül.

A folytonossági tulajdonság egyéb megfogalmazásai és ezzel egyenértékű mondatok

Számos különböző állítás fejezi ki a valós számok folytonossági tulajdonságát. Ezen elvek mindegyike alapul szolgálhat egy valós szám mint folytonossági axióma elméletének megalkotásához, az összes többi pedig ebből származtatható [4] [5] . Ezt a kérdést a következő részben tárgyaljuk részletesebben.

Dedekind folytonosság

A valós számok folytonosságának kérdését Dedekind a "Continuity and irrational numbers " [6] című munkájában tárgyalja . Ebben összehasonlítja a racionális számokat egy egyenes pontjaival . Tudniillik a racionális számok és az egyenes pontjai között megfeleltetés hozható létre, ha a szakaszok kezdőpontját és mértékegységét az egyenesen választjuk ki. Ez utóbbi segítségével minden racionális számhoz meg lehet alkotni a megfelelő szegmenst , és azt jobbra vagy balra félretéve, attól függően, hogy pozitív vagy negatív szám van, a számnak megfelelő pontot kapunk. . Így minden racionális szám egy és csak egy pontnak felel meg az egyenesen. $a$ $a$ $p$ $a$ $a$ $p$

Kiderül, hogy az egyenesen végtelenül sok olyan pont van, amely nem felel meg egyetlen racionális számnak sem. Például egy egységnyi szakaszra épített négyzet átlójának hosszának ábrázolásával kapott pont. Így a racionális számok birodalmának nincs meg az a teljessége vagy folytonossága , ami az egyenes velejárója.

A racionális számok tartományának korábbi összehasonlítása az egyenessel a hibák (Lückenhaftigkeit), a hiányosságok vagy a folytonossági hiányosságok felfedezéséhez vezetett, míg az egyeneshez a teljességet, a hiányosságok hiányát, a folytonosságot tulajdonítjuk.R. Dedekind: Folytonosság és irracionális számok

Hogy megtudja, miből áll ez a folytonosság, Dedekind a következő megjegyzést teszi. Ha van az egyenesnek egy bizonyos pontja, akkor az egyenes minden pontja két osztályba sorolható : a bal oldalon található pontok és a jobb oldalon található pontok . Maga a pont tetszőlegesen hozzárendelhető akár az alsó, akár a felső osztályhoz. Dedekind a kontinuitás lényegét a fordított elvben látja: $p$ $p$ $p$ $p$

Ha egy egyenes pontjait két osztályra osztjuk úgy, hogy az első osztály minden pontja a második osztály minden pontjától balra esik, akkor csak egy pont van, amely az egyenes két osztályra osztását eredményezi, ez a vonal két részre bontása.R. Dedekind: Folytonosság és irracionális számok

Geometriailag ez az elv nyilvánvalónak tűnik, de nem áll módunkban bizonyítani. Dedekind hangsúlyozza, hogy ez az elv lényegében egy posztulátum , amely kifejezi annak a közvetlen vonalnak tulajdonított tulajdonság lényegét, amelyet kontinuitásnak nevezünk.

Az egyenes ezen tulajdonságának elfogadása nem más, mint egy axióma, amelynek folytonosságát egyedül mi ismerjük fel egyenesnek, gondolatban a folytonosságot egyenesbe fektetve.R. Dedekind: Folytonosság és irracionális számok

Ahhoz, hogy jobban megértsük a számegyenes folytonosságának lényegét Dedekind értelmében, tekintsük a valós számok halmazának egy tetszőleges szakaszát , vagyis az összes valós szám két nem üres osztályra való felosztását úgy, hogy a az egyik osztály a második összes számától balra lévő számegyenesen helyezkedik el. Ezeket az osztályokat alsó és felső tagozatos osztályoknak nevezzük . Elméletileg 4 lehetőség van:

Az alsó osztálynak van maximum eleme , a felső osztálynak nincs minimuma
Az alsó osztálynak nincs maximum eleme, míg a felső osztálynak van minimuma
Az alsó osztálynak van egy maximum eleme, a felső osztálynak pedig egy minimális eleme van.
Az alsó osztálynak nincs maximuma, a felsőnek pedig nincs minimumeleme.

Az első és a második esetben az alsó maximális eleme, illetve a felső minimális eleme hozza létre ezt a szakaszt. A harmadik esetben ugrásunk van , a negyedikben pedig egy rés . Így a számegyenes folytonossága azt jelenti, hogy a valós számok halmazában nincsenek ugrások, hézagok, vagyis képletesen szólva nincsenek üregek.

Ha bevezetjük a valós számok halmazának szakaszának fogalmát , akkor a Dedekind-féle folytonossági elv a következőképpen fogalmazható meg.

Dedekind folytonossági elve (teljesség). A valós számok halmazának minden szakaszához van egy szám, amely létrehozza ezt a szakaszt.

Megjegyzés. A folytonossági axióma megfogalmazása a két halmazt elválasztó pont létezéséről nagyon emlékeztet Dedekind folytonossági elvének megfogalmazására. Valójában ezek az állítások egyenértékűek, és lényegében ugyanannak a dolognak különböző megfogalmazásai. Ezért mindkét állítást a valós számok folytonosságának Dedekind-elvének nevezzük .

Lemma a beágyazott szegmenseken (Cauchy-Cantor elv)

Lemma a beágyazott szegmenseken ( Cauchy - Kantor ). Beágyazott szegmensek bármilyen rendszere

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

van egy nem üres metszéspontja, azaz van legalább egy szám, amely az adott rendszer összes szegmenséhez tartozik.

Ha ezen felül az adott rendszer szegmenseinek hossza nullára hajlik, azaz

\forall \varepsilon >0\;\exists n_{{\varepsilon }}\;\forall n{\bigl (}n>n_({\varepsilon }}\Rightarrow b_{n}-a_{n}<\varepsilon {\bigr )}

akkor ennek a rendszernek a szakaszainak metszéspontja egy pontból áll.

Ezt a tulajdonságot a valós számok halmazának Cantor értelmében vett folytonosságának nevezzük . Az alábbiakban látható, hogy az arkhimédeszi rendezett mezők esetében a Cantor szerinti folytonosság ekvivalens a Dedekind szerinti folytonossággal.

A legfőbb elv

A felsőbbrendűség elve. Minden felülről korlátolt valós szám nem üres halmaznak van felsőbbsége .

A számítási kurzusokon ez a tétel általában egy tétel , és bizonyítása jelentős mértékben kihasználja a valós számok halmazának ilyen vagy olyan formában való folytonosságát. Ugyanakkor, ellenkezőleg, bármely felülről határolt nem üres halmazra feltehető a szuprémum, és erre támaszkodva bizonyítható például a Dedekind-féle folytonossági elv. Így a szuprémumtétel a valós számok folytonossági tulajdonságának egyik ekvivalens megfogalmazása.

Megjegyzés. A supremum helyett használhatjuk az infimum kettős fogalmát.

Az infim elv. A valós számok minden nem üreshalmaza, amely alább van korlátos, rendelkezik egy infimummal .

Ez a tétel egyenértékű Dedekind folytonossági elvével is. Ezenkívül kimutatható, hogy az infimum tétel állítása közvetlenül következik a supremum tétel állításából, és fordítva (lásd alább).

Véges fedőlemma (Heine-Borel elv)

Véges borító Lemma ( Heine - Borel ). Minden szakaszt lefedő intervallumrendszerben létezik egy véges alrendszer, amely lefedi ezt a szegmenst.

Határpont-lemma (Bolzano-Weierstrass elv)

Határpont-lemma ( Bolzano - Weierstrass ). Minden végtelen korlátos számhalmaznak van legalább egy határpontja.

A valós számok halmazának folytonosságát kifejező mondatok ekvivalenciája

Tegyünk néhány előzetes megjegyzést. A valós szám axiomatikus definíciója szerint a valós számok gyűjteménye három axiómacsoportot elégít ki. Az első csoport a mezőaxiómák . A második csoport azt fejezi ki, hogy a valós számok halmaza lineárisan rendezett halmaz , és a sorrendi összefüggés összhangban van a mező alapműveleteivel. Így az axióma első és második csoportja azt jelenti, hogy a valós számok halmaza rendezett mező . Az axiómák harmadik csoportja egy axiómából áll - a folytonosság (vagy teljesség) axiómából.

A valós számok folytonosságának különböző megfogalmazásai ekvivalenciájának bemutatásához be kell bizonyítani, hogy ha ezek közül az állítások közül az egyik teljesül egy rendezett mezőre, akkor az összes többi igaz.

Tétel. Legyen tetszőleges lineárisan rendezett halmaz . A következő állítások egyenértékűek: ${\mathsf {R}}$

Bármilyen nem üres halmazok és olyanok, hogy bármely két elemre és , létezik olyan elem , hogy az összes és , a reláció teljesül $A\részhalmaz {\mathsf {R}}$ $B\alhalmaz {\mathsf {R}}$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $\xi \in {\mathsf {R}}$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant \xi \leqslant b$
Bármely szakaszhoz létezik egy elem, amely létrehozza ezt a szakaszt ${\mathsf {R}}$
Minden fent korlátolt nem üres halmaznak van felsőbbsége $A\részhalmaz {\mathsf {R}}$
Minden alább behatárolt nem üres halmaznak van infimuma $A\részhalmaz {\mathsf {R}}$

Amint ebből a tételből látható, ez a négy állítás csak azt használja, amit a lineáris sorrendű reláció bevezetett, és nem használja a mezőstruktúrát. Így mindegyik egy tulajdonságot lineárisan rendezett halmazként fejez ki. Ezt a tulajdonságot (egy tetszőleges lineárisan rendezett halmaznak, nem feltétlenül valós számok halmazának) folytonosságnak vagy teljességnek nevezzük Dedekind szerint . ${\mathsf {R}}$ ${\mathsf {R}}$

Más mondatok egyenértékűségének bizonyítása már mezőszerkezetet igényel.

Tétel. Legyen tetszőleges rendezett mező. A következő mondatok egyenértékűek: ${\mathsf {R}}$

${\mathsf {R}}$ (mint lineárisan rendezett halmaz) a Dedekind teljes
Mert az Archimedes ${\mathsf {R}}$ -elv és a beágyazott szegmensek elve teljesül
A Heine-Borel elv ugyanis teljesül ${\mathsf {R}}$
Mert a Bolzano-Weierstrass elv teljesül ${\mathsf {R}}$

Megjegyzés. Amint a tételből látható, a beágyazott szegmensek elve önmagában nem ekvivalens a Dedekind-féle folytonossági elvvel. A Dedekind-féle folytonossági elv magában foglalja a beágyazott szegmensek elvét, ennek ellenkezője azonban megköveteli, hogy a rendezett mező teljesítse Arkhimédész axiómáját . ${\mathsf {R}}$

A fenti tételek bizonyítása az alábbi irodalomjegyzékből származó könyvekben található.

Jegyzetek

↑ Zorich, V. A. Matematikai elemzés. I. rész – Szerk. 4., javítva .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 43.
↑ Például egy valós szám axiomatikus definíciójában a Dedekind folytonossági elv az axiómák számában szerepel, a valós szám Dedekind szakaszokat használó konstruktív definíciójában pedig ugyanez az állítás már tétel - lásd pl. , Fikhtengolts, G. M. A matematikai elemzés alapjai. - 7. kiadás - M . : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .
↑ Kudrjavcev, L. D. Matematikai elemzés pálya. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
↑ Kudrjavcev, L. D. Matematikai elemzés pálya. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
↑ Zorich, V. A. Matematikai elemzés. I. rész – Szerk. 4., javítva .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ Dedekind, R. Folytonosság és irracionális számok = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. javított kiadás. - Odessza: Mathesis, 1923. - 44 p.

Irodalom

Kudrjavcev, L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Fikhtengol'ts, G. M. A matematikai elemzés alapjai. - 7. kiadás - M . : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .
Dedekind, R. Folytonosság és irracionális számok = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. javított kiadás. - Odessza: Mathesis, 1923. - 44 p.
Zorich, V. A. Matematikai elemzés. I. rész – Szerk. 4., javítva .. - M . : "MTsNMO", 2002. - 657 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
Függvények és numerikus tartományok folytonossága: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3. kiadás - Novoszibirszk: ANT, 2005. - 64 p.