Arkhimédész axiómája

Arkhimédész axiómája , vagy Arkhimédész elve , vagy Arkhimédész tulajdona egy matematikai mondat, amelyet az ókori görög matematikusról , Arkhimédészről neveztek el . Ezt a javaslatot először Cnidus Eudoxus fogalmazta meg a mennyiségi arányok elméletében (Eudoxus mennyiségfogalma számokra és folytonos mennyiségekre is kiterjed: szakaszok , területek , térfogatok [1] ):

Ha két mennyiség van, és , és kisebb, mint , akkor az összegzés elégszer figyelembevételével felülmúlhatja : $a$ $b$ $a$ $b$ $a$ $b$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.

Pl. szegmensekre Arkhimédész axiómája így hangzik: ha két szegmens adott, akkor a kisebbet elégszer félretéve lefedheti a nagyobbat.

Arkhimédész axiómájának állítása triviálisnak tűnik, de valódi jelentése a végtelenül kicsi és/vagy végtelenül nagy mennyiségek hiányában rejlik . Tehát ez az axióma nem teljesül a nem szabványos elemzésben : a hiperreális számok halmaza végtelenül kicsi és végtelenül nagy értékeket tartalmaz . Az ilyen elemek nem feltétlenül elégítik ki Arkhimédész axiómáját. Más példák is lehetségesek .

Azokat a matematikai struktúrákat , amelyekre az Arkhimédész tulajdonság érvényes, arkhimédészinek nevezzük , például az arkhimédészi mezőt és az arkhimédészi csoportot , azokat pedig, amelyekre nem érvényes , nem archimédeszinek nevezzük .

Történelem

Az axiómát , amelyet a matematika Arkhimédész axiómájaként ismer, valójában először Cnidus Eudoxus mondta ki . Ez a tétel kulcsszerepet játszott a kapcsolatelméletében, amely lényegében a valós szám első axiomatikus elmélete volt . Ezért Eudoxus axiómájának is nevezik .

Eudoxus elmélete Eukleidész fejtegetésében ( A kezdetek , V. könyv) jutott el hozzánk.

Az értékekről azt mondjuk, hogy kapcsolatban állnak egymással, ha többszörösére vesszük egymást, felülmúlhatják egymást."Kezdetek", V. könyv, 4. definíció [2]

Az Eudoxus–Arkhimédész axióma az Eudoxus által feltalált úgynevezett „kimerülési módszer” hátterében áll, amely módszer az alakzatok területeinek, testek térfogatának, ívhosszainak meghatározására a modern Riemann és Darboux összegek analógjával . Módszere segítségével Eudoxus számos terület- és térfogatszámítási tételt szigorúan bebizonyított. Arkhimédész azonban ezen a területen érte el a legnagyobb eredményeket. Az Eudoxus módszerrel számos új területet és kötetet talált. Ugyanakkor, mivel az ókori Görögországban nem létezett a sorozat fogalma, a sorrend határa , Arkhimédésznek minden konkrét problémában újra meg kellett ismételnie az érvelést. Így Arkhimédész írásaiban megfogalmazta és felhasználta az Eudoxus-Arkhimédész axiómát. Ugyanakkor maga Arkhimédész " A parabola kvadratúrája " című művének bevezetőjében hangsúlyozza, hogy ezt az axiómát elődei használták, és jelentős szerepet játszott Eudoxus műveiben [3] .

A matematikai elemzésben

Arkhimédész-elv mind elméletileg, mind pedig a mérések és számítások konkrét felhasználása szempontjából igen fontos [4] .

A valós számok teljessége alapján az Arkhimédész-elv általában bizonyítást igényel, míg más axiomatikákkal gyakran szerepel az axiómák listáján.

Formuláció: (minden pozitív valós számhoz van egy természetes szám, amely nagyobb nála) $\forall a\in \mathbb {R} :a>0\ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Bizonyítás: Tegyük fel az ellenkezőjét, ezért , a felső korlát. Az éltétellel akkor a , de -t választjuk , amelyre , ami ellentmond a létezésének , ezért felülről határtalan, ami viszont ekvivalens -val . H. t. d. $\forall n\in \mathbb {N} :n\leqslant a$ $a$ $b=\sup \mathbb {N}$ $\exists k\in \mathbb {N} :k>b-1$ $k'=k+1:k'\in \mathbb {N}$ $k'>b$ $b$ $\mathbb {N}$ $\forall a\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Egy bizonyos normalizációs számmal megszorozva lényegében a cikk elején jelzett egyenlőtlenséget kapjuk. $a,n$

Modern definíció

Egy lineárisan rendezett csoport

Legyen lineárisan rendezett csoport , és pozitív elemei legyenek . Egy elemet végtelenül kicsinek mondunk az elemhez képest (a végtelenül nagy az elemhez képest ), ha bármely természetes számra az egyenlőtlenség $G$ $a$ $b$ $G$ $a$ $b$ $b$ $a$ $n$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b.

Egy csoportot arkhimédészinek nevezünk, ha az Arkhimédész-axióma érvényes rá: nincs olyan elempár , amelyben - infinitezimális lenne -hez képest . $G$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$

Rendezett mező

Legyen rendezett mező . Mivel minden rendezett mező egy lineárisan rendezett csoport, így a végtelenül kicsi és végtelenül nagy elemek fenti definíciói, valamint Arkhimédész axiómájának megfogalmazása továbbra is érvényben marad. Itt azonban számos sajátos vonás van, amelyek miatt Arkhimédész axiómájának megfogalmazása leegyszerűsödik. $K$

Legyen pozitív elemei . $a,b$ $K$

egy elem akkor és csak akkor végtelenül kicsi egy elemhez képest (az ilyen elemeket egyszerűen infinitezimálisnak nevezzük ) $a$ $b$ $a/b$ $1\in K$
egy elem akkor és csak akkor végtelenül nagy egy elemhez képest, ha végtelenül nagy az elemhez képest (az ilyen elemeket egyszerűen végtelenül nagynak nevezzük ) $a$ $b$ $a/b$ $1\in K$

Az infinitezimális és az infinitezimális elemeket infinitezimális elemek néven kombinálják .

Ennek megfelelően Arkhimédész axiómájának megfogalmazása leegyszerűsödik: egy rendezett mező Arkhimédész tulajdonsággal rendelkezik, ha nem tartalmaz végtelenül kis elemeket, vagy ennek megfelelően, ha nem tartalmaz végtelenül nagy elemeket. Ha itt kibővítjük a végtelenül kicsi (vagy végtelenül nagy) elem definícióját, akkor Arkhimédész axiómájának következő megfogalmazását kapjuk: $K$

Minden mezőelemhez tartozik egy olyan természetes elem $a$ $K$ $n$ $n>a$

Vagy az egyenértékű megfogalmazás:

A mező minden pozitív eleméhez tartozik egy olyan természetes elem , hogy $\varepsilon >0$ $n$ $1/n<\varepszilon$

Példák és ellenpéldák

A valós számok halmaza

Az arkhimédeszi mező leghíresebb példája a valós számok halmaza . Ha a valós számok halmazát a racionális számok halmazának kiegészítésének tekintjük (például Dedekind szakaszok segítségével ), akkor a valós számok Archimedes tulajdonsága abból következik, hogy a racionális számok rendelkeznek vele. A valós számok egyik axiómarendszerében, amelyet Hilbert [5] javasolt , a valós számok halmazát úgy definiáljuk, mint a maximális arkhimédeszi rendezett mezőt, vagyis olyan rendezett mezőt, amely kielégíti az Arkhimédész axiómát (vagyis nem tartalmaznak infinitezimális elemeket), amelyek nem terjeszthetők ki nagyobb arkhimédeszi rendezett mezőkre.

Nem archimédeszi rendezett mező

Példaként (vagy inkább ellenpéldaként) egy olyan rendezett mezőre, amelyre Arkhimédész axiómája nem áll fenn, vegyük a racionális függvények halmazát valós együtthatókkal, vagyis az alak függvényeit.

R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots + b_{1}x+b_{0}}}.

Az összeadás és szorzás szokásos műveleteihez képest ez a halmaz egy mezőt alkot . A racionális függvények halmazán a következőképpen vezetünk be egy sorrendi relációt . Legyen és két racionális függvény. Akkor és csak akkor mondjuk, ha valamelyik környéken a különbségnek szigorúan pozitív előjele van. Ez a feltétel megfogalmazható a racionális függvények együtthatóival és . A különbséget polinom + megfelelő racionális törtként írjuk fel: $f$ $g$ $f>g$ $+\infty$ $fg$ $f$ $g$ $fg$

f(x)-g(x)=c_{nm}x^{nm}+\ldots +c_{1}x+c_{0}+{\frac {d_{k}x^{k} +\lpontok +d_{1}x+d_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\lpontok +b_{1}x+b_{0}} },

ahol a jobb oldali utolsó tag egy megfelelő racionális tört, vagyis a számláló foka kisebb, mint a nevező foka: . Azt is feltételezzük, hogy a nevező vezető együtthatója . Akkor és csak akkor, ha valamelyik , vagy a polinomiális rész hiányzik és . Könnyű ellenőrizni a sorrend definíciójának helyességét (egyrészt ellenőrizni kell, hogy a bevezetett reláció valóban sorrendi reláció-e, másrészt azt, hogy ez a reláció konzisztens-e a mezőműveletekkel). $k<m$ $b_{m}$ $egy$ $f>g$ $c_{nm} > 0$ $d_k > 0$

Így a racionális függvények halmaza rendezett mezőt alkot. Vegyük észre, hogy ez a valós számok mezőjének kiterjesztése, de Arkhimédész axiómája itt nem érvényes (lásd az előző rész végét). Valóban, vegyük figyelembe az elemeket és . Nyilvánvaló, hogy bármilyen természetes szám legyen is , az egyenlőtlenség bekövetkezik: $egy$ $x$ $n$

\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x.

Más szóval, a mező végtelenül nagy eleme az egység tekintetében. Így Arkhimédész axiómája nem állja meg a helyét ezen a téren. $x$

Lásd még

Jegyzetek

↑ A matematika története / Szerk. A. P. Juskevics. - M . : Nauka, 2003. - T. 1. - S. 96.
↑ Eukleidész. Kezdetek / D. D. Mordukhai-Boltovsky fordítása. - M. - L .: Műszaki és Elméleti Irodalmi Főkiadó, 1948. - T. 1.
↑ Bourbaki, N. Esszék a matematika történetéről / Per. I. G. Bashmakova, szerk. K. A. Rybnikova. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963. - S. 148.
↑ Zorich, V. A. Matematikai elemzés, 1. rész. - Moszkva: FAZIS, 1997. - S. 50. - 554 p. — ISBN 5-7036-0031-6 .
↑ Hilbert, D. A geometria alapjai. - M. - L .: Műszaki és Elméleti Irodalmi Főkiadó, 1948. - 87. o.

Irodalom

Matematika története / Szerk. A. P. Juskevics. - M . : "Nauka", 2003. - T. 1.
Eukleidész. Kezdetek / D. D. Mordukhai-Boltovsky fordítása. - M. - L .: Műszaki és Elméleti Irodalmi Főkiadó, 1948. - T. 1.
Hilbert, D. A geometria alapjai. - M. - L .: Műszaki és Elméleti Irodalmi Főkiadó, 1948.
Bourbaki, N. Esszék a matematika történetéről / Per. I. G. Bashmakova, szerk. K. A. Rybnikova. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán