Kp módszer

A k p módszer egy perturbációelméleti módszer a szilárdtestfizikában , amely lehetővé teszi egy töltéshordozó energia- és hullámfüggvényének közelítését a Brillouin-zóna egy tetszőleges pontjában egy másik pontban, általában egy nagy szimmetriájú pontban ismert értékek alapján. . Ehhez a kísérletből vagy numerikus számításból nyert sávszélességeket és effektív tömegeket használjuk a nagy szimmetriapontban. A módszer különösen hatékony az effektív tömeg kiszámításában , de magas rendű perturbációs elmélet alkalmazásával kiszámolható a diszperziós törvény a teljes zónában. A módszert J. Bardeen [1] és F. Seitz [2] munkái dolgozták ki . Nevét a k -vel jelölt hullámvektor és a p impulzusoperátor szorzata formájában megjelenő perturbáció miatt kapta .

Bloch-tétel és hullámvektorok

A kvantummechanika szerint (egyelektronos közelítésben) bármely szilárd testben a kvázi-szabad elektronokat hullámfüggvények jellemzik, amelyek a következő stacionárius Schrödinger-egyenlet sajátállapotai :

\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi

ahol p a kvantummechanikai impulzusoperátor , V a potenciál és m az elektron tömege. (Ez az egyenlet figyelmen kívül hagyja a spin-pálya effektust ).

Kristályos szilárd anyagban V periodikus függvény, ugyanolyan periodicitású, mint a kristályrács. Bloch tétele kimondja, hogy ennek a differenciálegyenletnek a megoldásai a következőképpen írhatók fel:

\psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} } (\mathbf {x} )

ahol k egy vektor (úgynevezett hullámvektor), n egy diszkrét index (úgynevezett sávindex ), és u n , k a kristályrácséval azonos periodicitású függvény.

Bármely adott n esetén a társított állapotokat zónának nevezzük. Minden zónában kapcsolat lesz a k hullámvektor és az E n , k állapot energiája között , amelyet diszperziós törvénynek nevezünk. Ennek a szórásnak a kiszámítása a k · p perturbációelmélet egyik fő alkalmazása .

Perturbációelmélet

Az elmélet modern formáját Kane műveiben nyerte elakik a perturbációelméletet vették figyelembe keskeny rés félvezetőkre [3] . Az u n , k periodikus függvény kielégíti a következő Schrödinger-típusú egyenletet: [4]

{\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} ))

hol van a Hamilton

H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V

Jegyezzük meg, hogy k három valós számból álló vektor, amelynek dimenziója reciprok hosszúságú, p pedig operátorokból álló vektor. kifejezetten,

\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x)))+k_{y}(-i\hbar { \frac {\partial }{\partial y)))+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z)))

Mindenesetre ez a Hamilton-féle két tag összegeként van írva:

H=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\; H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} } {m}}

Ez a kifejezés a perturbációelmélet alapja. A "zavaratlan Hamilton-féle" egyenlő H 0 -val , ami valójában megegyezik a pontos Hamilton-féle k = 0-val (vagyis a Gamma-pontban). "Felháborodás" . Ezen eredmények elemzését "k p perturbáció elméletnek" nevezik a k p-vel arányos kifejezés miatt. Ennek az elemzésnek az eredménye E n , k és u n , k kifejezése energiák és hullámfüggvények szerint k = 0 esetén. $H_{\mathbf {k} }'$

Megjegyzendő, hogy a „perturbáció” hozzájárulása egyre kisebb lesz, ahogy k nullához közeledik. Ezért a k · p perturbációelmélet a legpontosabb k kis értékeire . Ha azonban elegendő számú tag szerepel a perturbációelmélet kiterjesztésében, akkor az elmélet kellően pontos lehet bármely k értékre , vagyis a teljes Brillouin zónára. Ha a vezetési sáv minimuma egy másik pontban van, például k 0 , akkor a Hamilton-féle kifejezés ebben az esetben módosítható [5] : $H_{\mathbf {k} }'$

H_{\mathbf {k} }=H_{\mathbf {k} _{0))+\left[{\frac {\hbar }{m_{e))}(\mathbf {k} -\ mathbf {k} _{0})\cdot (\hbar \mathbf {k} _{0}-i\hbar \mathbf {\nabla } )+{\frac {\hbar ^{2)){2m_{e }}}|\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0}|^{2}\jobbra],

ahol

H_{\mathbf {k} _{0}}=H_{0}+{\frac {i\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\mathbf {k} _{0}\ cdot \mathbf {\nabla } +{\frac {\hbar ^{2}k_{0}^{2}}{2m_{e}}}.

A k - k 0 -t tartalmazó kifejezések ebben az esetben kis korrekciók, amelyek perturbációt jelentenek.

Nem degenerált zóna

Egy nem degenerált sávra (vagyis egy olyan sávra, amelynek energiája a k = 0 pontban eltér bármely más sáv energiájától), amelynek szélsőértéke k = 0, és spin-pálya kölcsönhatás hiányában a k p A perturbációelmélet első, nem triviális sorrendjében szereplő módszer a következőket adja [4] :

u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m))\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{ n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n', 0},

E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2)){2m))+{\frac {\hbar ^{ 2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{ n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}},

ahol és a k hullámvektorral rendelkező n- edik zónában lévő kvázirészecske hullámfüggvénye és energiája , és és a zéró kvázimomentumú kvázirészecske analóg értékei . ${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} ))$ ${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} ))$ $u_{n,0}$ $E_{n,0}$

Mivel k egy valós vektor, azaz számok halmaza és nem operátor, a mátrixelemek átírásra kerülnek a következőképpen:

\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0} |\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle .

Így bármely k energiáját kiszámíthatja néhány ismeretlen paraméter segítségével: E n ,0 és . Az utolsó kifejezés által adott mátrixelemek az átmeneti dipólusmomentumokhoz kapcsolódnak. Ezeket optikai mátrixelemeknek nevezik, és általában kísérleti adatok, például optikai abszorpció elemzéséből nyerik [6] . $\langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle$

A gyakorlatban az n' feletti összeg gyakran csak két szomszédos zónára korlátozódik, mivel ezek hozzájárulása a legfontosabb (a nevezőt figyelembe véve). Azonban a pontosság javítása érdekében, különösen nagy k esetén, figyelembe kell venni több zónát, és ezen kívül a perturbációelmélet további rendjeit.

Effektív tömeg

A fenti diszperziós törvény segítségével kiszámítható a félvezetőben lévő vezetési elektronok effektív tömege [7] . A vezetési sáv esetében a diszperziós törvény kiszámításához az E c0 vezetési sáv alsó részének E n0 energiáját veszik figyelembe, és csak azokat a tagokat veszik az összegből, amelyek a legközelebbi vegyértéksáv tetejéhez tartoznak, amelyeknél a különbség a nevező a legkisebb, mivel ezeknek a tagoknak a hozzájárulása az összeghez a legnagyobb. Ekkor a nevező egyenlő az E g sávrésszel , amely a következő kifejezést adja a vezetési elektron energiájára:

E_{c}({\boldsymbol {k)))\approx E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{ 2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n ,0}\rangle |^{2}}.

Ekkor az effektív tömeg ℓ irányban:

{\frac {1}{m}}_{\ell }={{1} \over {\hbar ^{2}}}\sum _{m}\cdot {{\partial ^{\ 2 }E_{c}({\boldsymbol {k)))} \over {\partial k_{\ell }\partial k_{m))}\approx {\frac {1}{m))+{\frac { 2}{E_{g}m^{2))}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle }{\ langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }.

A mátrixelemek részletes vizsgálata nélkül levonható az a fontos következtetés, hogy az effektív tömeg a sávszélességtől függ, és nullává válik, ha a sávköz nulla [7] [8] .

A közvetlen hézagú félvezetők mátrixelemeire hasznos becsléseket ad: [9]

{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{|\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n ,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\kb. 20

{\frac {1}{mE_{g))}\ ,

ami körülbelül 15% vagy jobb a legtöbb IV, III-V és II-VI félvezető esetében. [tíz]

A vegyértéksávban lévő mobil töltéshordozókat lyukaknak nevezzük. Kiderült, hogy kétféle furat létezik, amelyeknek különböző effektív tömege van. Nehéznek és könnyűnek nevezik őket. Hatásos tömegük anizotróp.

A spin-pálya interakció számítása

Figyelembe véve a spin-pálya kölcsönhatást, a Schrödinger-egyenlet u -ra a következő alakot ölti : [11] :

H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} },

ahol [12]

H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times ( \mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma )).

itt vannak a Pauli-mátrixok . Ezzel a Hamilton-féleséggel a fent leírthoz hasonló módon lehet dolgozni. ${\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$

Degenerált zónák

A degenerált vagy közeli sávok kiszámításához, különösen a vegyértéksávhoz olyan anyagokban, mint a gallium-arzenid, az egyenlet a perturbációelmélet megfelelő változatával elemezhető [4] [11] . Az ilyen típusú modellek közé tartozik a Luttiger-Kohn modell [13] és a Kane modell . [12] .

Jegyzetek

↑ Bardeen, J., . A fémes lítium és nátrium energiáinak továbbfejlesztett számítása // J. Chem. Phys.. - 1938. - T. 6 . - S. 367 . - doi : 10.1063/1.1750270 . Az eredetiből archiválva : 2018. január 19.
↑ Seitz F. A szilárdtestek modern elmélete . - 2. kiadás - New York: McGraw Hill, 1940. - 352. o . — 698 p. — ISBN 0070560307 . — ISBN 978-0070560307 .
↑ Kane EO Keskeny résű félvezetők sávszerkezete. - Berlin: Springer, 1980. - S. 13-31. — ISBN 978-3-540-10261-8 . - doi : 10.1007/3-540-10261-2 .
↑ 1 2 3 P. Yu, M. Cardona. A félvezetők alapjai: fizika és anyagtulajdonságok . — 3. - Springer , 2005. - P. 2.6. szakasz, pp. 68ff '. — ISBN 3-540-25470-6 . Archiválva : 2017. április 21. a Wayback Machine -nál
↑ Marconcini P., Macucci M. A kp módszer és alkalmazása grafénre, szén nanocsövekre és grafén nanoszalagokra: a Dirac-egyenlet // La Rivista del Nuovo Cimento. - 2011. - T. 34 . - S. 489-584 . - doi : 10.1393/ncr/i2011-10068-1 . - arXiv : 1105.1351 . Az eredetiből archiválva : 2018. január 19.
↑ Kane, 1980 , p. 13.
↑ 12 W.P. _ Harrison. Elektronikus szerkezet és a szilárd anyagok tulajdonságai . — Reprint. - Dover Publications , 1989. - P. 158 ff . — ISBN 0-486-66021-4 .
↑ Lásd Yu & Cardona, op. cit. pp. 75-82
↑ Egy közvetlen résű félvezetőnél a vegyértéksáv teteje és a vezetési sáv alsó része azonos k értékkel rendelkezik , általában a Γ-pontban, ahol k = 0.
↑ Lásd : 2.22 táblázat. Archiválva : 2017. április 21., a Wayback Machine in Yu & Cardona, op. cit.
↑ 1 2 C. Kittel. Szilárdtestek kvantumelmélete . — Második átdolgozott nyomtatás. - New York: Wiley , 1987. - S. 186-190 . — ISBN 0-471-62412-8 .
↑ 1 2 Evan O. Kane. Az indium-antimonid sávszerkezete // Journal of Physics and Chemistry of Solids. - 1957. - T. 1 . - S. 249 . - doi : 10.1016/0022-3697(57)90013-6 . — Iránykód .
↑ JM Luttinger, W. Kohn. Elektronok és lyukak mozgása perturbed periodikus mezőkben (angol) // Fizikai áttekintés : folyóirat. - 1955. - 1. évf. 97 . - 869. o . - doi : 10.1103/PhysRev.97.869 . - Iránykód .

Az elektronikus szerkezet számítási módszerei
A vegyértékkötések elmélete	A pályák hibridizációja Rezonancia elmélet Kételektronos háromközpontú kötés kettős kötés hármas kötés
A molekuláris pályák elmélete	Az atompályák lineáris kombinációinak módszere Hartree-Fock módszer Kapcsolt klaszter módszer Kvantum Monte Carlo módszer
Zóna elmélet	kp módszer pszeudopotenciális módszer Erősen kötött elektronok közelítése Csaknem szabad elektronok közelítése Kiterjesztett síkhullám módszer Green függvény módszere Sűrűségfüggvény elmélet MT potenciál