Csaknem szabad elektronok közelítése

A közel szabad elektron közelítés egy olyan módszer a szilárd testek kvantumelméletében, amelyben a kristályrács periodikus potenciálját kis zavarnak tekintik a vegyértékelektronok szabad mozgásához képest .

A csaknem szabad elektronok közelítése a kristályrács periodikus potenciálján az elektronok Bragg-diffrakciója következtében szűk sávközök megjelenését eredményezi .

Matematikai megfogalmazás

A Hamilton -féle, amely leírja az elektron mozgását az atommagok potenciálterében az átlagos térközelítésben , a képlet adja meg

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )

ahol a Planck -állandó , m az elektron tömege, a periodikus potenciál, amely figyelembe veszi az elektron kölcsönhatását a kristályrácstal és más elektronokkal. $\hbar$ $V(\mathbf {r} )$

Az elektron hullámfüggvénye , amelynek meg kell felelnie a Bloch-tételnek , Fourier-soros kiterjesztés formájában kereshető

\psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum _{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\ mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }

ahol a hullámvektor , a reciprok rácsvektor . $\mathbf {k}$ ${\mathbf {G}}$

Ha a potenciál kicsi az elektron mozgási energiájához képest, akkor az elektronok mozgása szinte szabadnak tekinthető. Az elektron energiáját a képlet adja meg $V(\mathbf {r} )$

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}.

Ez a képlet a Brillouin zónában mindenhol érvényes , kivéve azt az esetet, amikor egy elektron transzlációs mozgásának hullámfüggvénye interferál egy periodikus potenciál által szórt hullámmal. Ez a helyzet akkor fordul elő, ha . A hullámvektorok ezen tartományában egy közelítést alkalmaznak, amely szerint a közvetlen és szórt hullámok amplitúdóját az egyenletrendszer határozza meg: $\mathbf {k} \approx \mathbf {G} /2$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_ {\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0

\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0

hol vannak a potenciál tágulási együtthatói egy Fourier-sorban. Ennek az egyenletrendszernek van egy nemtriviális megoldása a feltétel mellett $V_{\mathbf {G} }$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\jobbra)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0

amely a Brillouin-zóna határán az elektronikus állapotok szórásának törvényét állítja be. Közvetlenül a határon ( ) $\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2$

E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|

A és közötti energiarésben nincsenek elektronikus szintek , ami meghatározza a szűk sávú rés létezését . $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|$ $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|$

Lásd még

Irodalom

Anselm A.I. Bevezetés a félvezető fizikába (határozatlan) . - Moszkva: Nauka., 1978.

Az elektronikus szerkezet számítási módszerei
A vegyértékkötések elmélete	A pályák hibridizációja Rezonancia elmélet Kételektronos háromközpontú kötés kettős kötés hármas kötés
A molekuláris pályák elmélete	Az atompályák lineáris kombinációinak módszere Hartree-Fock módszer Kapcsolt klaszter módszer Kvantum Monte Carlo módszer
Zóna elmélet	kp módszer pszeudopotenciális módszer Erősen kötött elektronok közelítése Csaknem szabad elektronok közelítése Kiterjesztett síkhullám módszer Green függvény módszere Sűrűségfüggvény elmélet MT potenciál