Mátrix kitevő

A mátrix kitevője egy négyzetmátrix mátrixfüggvénye , hasonlóan a szokásos exponenciális függvényhez . A mátrix kitevője kapcsolatot hoz létre a mátrixok Lie algebra és a megfelelő Lie csoport között .

Valós vagy összetett méretű mátrix esetén a kitevője, vagy jelölése a hatványsor által meghatározott mátrix : $x$ $n\szer n$ $x$ $e^{X}$ $\exp(X)$ $n\szer n$

e^{X}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}

hol van a mátrix k -edik hatványa . Ez a sorozat mindig konvergál, így a kitevője mindig jól meghatározott. $X^{k}$ $x$ $x$

Ha egy méretmátrix , akkor a mátrixkitevője egy olyan méretmátrix , amelynek egyetlen eleme egyenlő egyetlen elem szokásos kitevőjével . $x$ $1\szer 1$ $x$ $1\szer 1$ $x$

Tulajdonságok

Alaptulajdonságok

Komplex mátrixok és méret , tetszőleges komplex számok és , azonosságmátrix és nulla mátrix esetén a kitevő a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $x$ $Y$ $n\szer n$ $a$ $b$ $E$ $0$

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
ha , akkor ; $XY=YX$ $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$
ha nem szinguláris mátrix , akkor . $Y$ $\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$
$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , ahol a transzponált mátrixot jelöli -re , ebből következik, hogy ha szimmetrikus , akkor szimmetrikus is, ha pedig ferde- szimmetrikus mátrix , akkor ortogonális ; $X^{{\mathrm T}}$ $x$ $x$ $\exp X$ $x$ $\exp X$
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , ahol a hermitiánus konjugált mátrixot jelöli -re , ebből következik, hogy ha egy hermitiánus mátrix , akkor az is hermitikus, és ha egy antihermitikus mátrix , akkor egységes . $X^{*}$ $x$ $x$ $\exp X$ $x$ $\exp X$

Lineáris differenciálegyenletrendszerek

Az egyik oka annak, hogy a mátrix kitevője fontos, hogy közönséges differenciálegyenletrendszerek megoldására használható [1] . Rendszermegoldás:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

ahol egy konstans mátrix, a következő képlet adja meg: $A$

y(t)=e^{At}y_{0}.

A mátrixkitevővel inhomogén alakegyenletek is megoldhatók

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

A forma nem autonóm differenciálegyenletek megoldására nincs zárt analitikai kifejezés

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

ahol nem konstans, de a Magnus-kiterjesztés lehetővé teszi a megoldás végtelen összegkénti ábrázolását. $A$

Összeg kitevő

Bármely két valós számra (skalárra) , és az exponenciális függvény kielégíti az egyenletet , ugyanez a tulajdonság érvényes a szimmetrikus mátrixokra is – ha a mátrixok és ingázik (azaz ), akkor . A nem ingázó mátrixok esetében azonban ez az egyenlőség nem mindig igaz, általában a Baker-Campbell-Hausdorff képletet használják a számításhoz . $x$ $y$ ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y))$ $x$ $Y$ $XY=YX$ $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $\exp(X+Y)$

Általános esetben az egyenlőség nem azt jelenti, hogy ingázik . $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $x$ $Y$

A hermitikus mátrixok esetében két figyelemre méltó tétel van a mátrixkitevők nyomvonalával kapcsolatban.

A Golden-Thompson egyenlőtlenség

Ha és hermitikus mátrixok, akkor [2] : $A$ $H$

\operátornév {tr}\exp(A+H)\leqslant \operátornév {tr}(\exp(A)\exp(H))

hol van a mátrix nyoma . A kommutativitás nem szükséges ahhoz, hogy ez az állítás érvényes legyen. Vannak ellenpéldák, amelyek azt mutatják, hogy a Golden-Thompson-egyenlőtlenség nem terjeszthető ki három mátrixra, és nem mindig valós szám a hermitiánus mátrixok és . $\operátornév {tr}X$ $x$ $\operátornév {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ $A$ $B$ $C$

Lieb tétele

Lieb tétele, amelyet Elliott Liebről neveztek el , kimondja, hogy egy rögzített hermitiánus mátrix esetén a függvény a következő: $H$

f(A)=\operátornév {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)

konkáv a pozitív-definit mátrixok kúpján [ 3 ] .

Exponenciális leképezés

A mátrix kitevője mindig nem szinguláris mátrix . A mátrix inverze a , ami analóg azzal, hogy egy komplex szám kitevője soha nem nulla. Tehát a mátrix kitevője határozza meg a leképezést: $\exp X$ $\exp(-X)$

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

az összes dimenzió mátrixának teréből a teljes lineáris sorrendű csoportba , azaz az összes nem degenerált dimenziómátrix csoportjába . Ez a leképezés egy szurjekció , vagyis minden nem szinguláris mátrix felírható egy másik mátrix kitevőjeként (ehhez nem a valós számok, hanem a komplex számok mezőjét kell figyelembe venni ). $n\szer n$ $n$ $n\szer n$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Bármely két mátrixra és megvan az egyenlőtlenség $x$ $Y$

\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}

ahol tetszőleges mátrixnormát jelöl . Ebből következik, hogy az exponenciális leképezés folyamatos és Lipschitz a kompakt részhalmazokon . $\|\cdot \|$ $M_{n}(\mathbb {C} )$

Kijelző:

t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}

egy sima görbét határoz meg az általános lineáris csoportban, amely áthalad az azonosságelemen a helyen . $t = 0$

Alkalmazások

Lineáris differenciálegyenletek

Példa egy homogén rendszerre

A rendszerhez:

{\begin{mátrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{mátrix))

mátrixa a következő:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmátrix}}~.

Megmutatható, hogy a mátrix kitevője az $tA$

e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{ 2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)&2(t+1 )e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}} + 2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmátrix}}~,

tehát a rendszer általános megoldása a következő:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e ^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{ 2t}}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^ {{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1 +e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}} )\end{bmátrix}}~.

Példa egy inhomogén rendszerre

Egy inhomogén rendszer megoldásához:

{\begin{mátrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{{2t} }\end{mátrix}}

jelölések kerülnek bevezetésre:

A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,

és

{\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Mivel egy homogén egyenlet általános megoldásának és egy adott megoldásnak az összege adja egy inhomogén egyenlet általános megoldását, csak egy konkrét megoldást kell találni. Mert:

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{ 2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&- 2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\ 2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}} \end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue ^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u} }+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1) -16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t} }(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmátrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}} &0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}} &2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

hol van a kezdeti feltétel. ${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$

Általánosítás: tetszőleges állandó változtatása

Inhomogén rendszer esetén tetszőleges állandó változtatásának módszere alkalmazható. Egyedi megoldást keresünk a következő formában : ${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA} }{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z} }'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end {igazított}}

A megoldáshoz a következőket kell tenni: ${\mathbf y}_{p}$

{\begin{aligned}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'( t)&=(e^{{tA))^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _ { 0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{aligned}}

Ilyen módon:

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{ \mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(tu) A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{aligned}}~,

ahol a probléma kezdeti feltételeiből határozzuk meg. ${\mathbf {c}}$

Lásd még

Trigonometrikus függvények mátrixból

Jegyzetek

↑ Piskunov H. S. Differenciál- és integrálszámítás felsőoktatási intézmények számára, 2. köt.: Tankönyv felsőoktatási intézmények számára. - 13. kiadás - M . : Nauka, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1985. - S. 544-547. — 560 p.
↑ Bhatia, R. Mátrixelemzés (meghatározatlan) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Matematika érettségi szövegek). — ISBN 978-0-387-94846-1 .
↑ EH Lieb. Konvex nyomkövetési függvények és a Wigner-Yanase-Dyson sejtés // Adv . Math. : folyóirat. - 1973. - 1. évf. 11 , sz. 3 . - 267-288 . o . - doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .

Linkek

Weisstein, Eric W., "Matrix Exponential" , MathWorld
A mátrix exponenciális modulja