Forgatási mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A forgási mátrix (vagy iránykoszinuszmátrix ) egy ortogonális mátrix [1] , amely saját ortogonális transzformációjának végrehajtására szolgál az euklideszi térben . Ha bármely vektort megszorozunk egy forgatási mátrixszal, a vektor hossza megmarad. A forgási mátrix determinánsa eggyel egyenlő.

Általában úgy gondolják, hogy az átmeneti mátrixtól eltérően a koordinátarendszer (alap) elforgatásakor, ha megszorozzuk egy oszlopvektor elforgatási mátrixával, a vektor koordinátái a vektor elforgatásának megfelelően alakulnak át (és nem a koordinátatengelyek elforgatása , vagyis ebben az esetben az elforgatott vektor koordinátáit ugyanabban a rögzített koordináta-rendszerben kapjuk meg). A két mátrix közötti különbség azonban csak az elforgatási szög előjelében van, és az egyiket a másikból úgy kaphatjuk meg, hogy az elforgatási szöget az ellenkezőjére cseréljük; mindkettő kölcsönösen inverz, és transzponálással kaphatjuk meg egymástól.

Forgatási mátrix 2D térben

A 2D-s térben az elforgatás egyetlen szöggel leírható a következő , derékszögű , lineáris transzformációs mátrixszal : $\;\théta$

M(\theta )={\begin{pmatrix}\cos {\theta }&\mp \sin {\theta }\\\pm \sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix))

vagy

M(\theta )=\exp \left({\theta }\cdot {\begin{bmatrix}0&\mp 1\\\pm 1&0\end{bmatrix}}\jobbra)

Az elforgatást úgy hajtjuk végre, hogy a forgatási mátrixot megszorozzuk egy , az elforgatott pontot leíró oszlopvektorral :

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\mp \sin \theta \\\pm \sin \theta & \cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.

Az ( x, y ) pont elforgatásának eredményeként kapott koordináták ( x ′, y ′) a következők :

x'=x\cos \theta \mp y\sin \theta ,

y'=\pm x\sin \theta +y\cos \theta .

A képletekben szereplő konkrét előjelek attól függnek, hogy a koordinátarendszer jobb- vagy balkezes-e, illetve, hogy a forgatás az óramutató járásával megegyező vagy ellentétes irányban történik. A felső előjel a jobbkezes koordinátarendszer és az óramutató járásával ellentétes pozitív elforgatás szokásos konvenciója (ugyanez az előjel érvényes a bal oldali koordinátarendszerre, ha az óramutató járásával megegyező irányban pozitív elforgatást választunk; a fennmaradó két kombinációban az alsó előjel).

Forgatási mátrix 3D térben

Bármely háromdimenziós térbeli elforgatás ábrázolható három merőleges tengely körüli elforgatások összetételeként (például a derékszögű koordináták tengelyei körül). Ez az összetétel a megfelelő három rotációs mátrix szorzatával egyenlő mátrixnak felel meg.

A derékszögű koordinátarendszer tengelye körüli elforgatási mátrixok egy szöggel a háromdimenziós térben rögzített koordinátarendszerrel: $\alpha$

Forgatás a tengely körül : $x$

M_{x}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix)) .

Forgatás a tengely körül : $y$

M_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix)).

Forgatás a tengely körül : $z$

M_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix)) .

Forgatási mátrix a , , tengelyek mentén :

x

y

z

M_{x}(\alpha )*M_{y}(\beta )*M_{z}(\gamma )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end {pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ cos \beta \cos \gamma &-\sin \gamma \cos \beta &\sin \beta \\\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha &-\sin \ alfa \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \sin \gamma -\sin \beta \cos \alpha \cos \ gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha &\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}}.

Ebben az esetben a pozitív szögek megfelelnek a vektornak a jobb oldali koordinátarendszerben az óramutató járásával ellentétes irányú, a bal oldali koordinátarendszerben az óramutató járásával megegyező irányba történő elforgatásának, ha a megfelelő tengely irányával szemben nézünk [2] . Például egy tengely körüli szögben elforgatva a tengely a következőre megy : . Hasonlóképpen, és . A megfelelő koordinátarendszer a megfelelő alap kiválasztásához kapcsolódik (lásd gimlet szabály ). ${\displaystyle \alpha =90^{\circ ))$ $z$ $x$ $y$ ${\displaystyle M_{z}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{x}=\mathbf {e} _{y))$ ${\displaystyle M_{y}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{z}=\mathbf {e} _{x))$ ${\displaystyle M_{x}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{y}=\mathbf {e} _{z))$

Forgatási mátrix -dimenziós térben $n$

Egy tetszőleges magasabb dimenziójú véges dimenziós tér forgatási mátrixai pontosan ugyanúgy felírhatók.

Csak azt kell szem előtt tartani, hogy hárommal nem egyenlő térméreteknél nem lehet egyetlen egyenest megadni, amely merőleges két adott egyenesre, ezért nem lehet valamilyen tengely körüli forgásról beszélni, hanem elforgatásról. valami repülőgép [3] . Minden pont, ha tetszőleges méretű térben fordul, 2-től kezdve, mindig párhuzamosan mozog valamilyen (kétdimenziós) síkkal.

Tehát a háromdimenziós esethez hasonlóan (a fenti fenntartással) tetszőleges térdimenzióhoz tetszőleges koordinátasíkba írhatjuk a forgatási mátrixot.

Például:

M_{1,2}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0 vége{pmátrix}}

a forgási mátrix 5 dimenziós térben a síkban , $x_{1}x_{2}$

M_{2,4}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&\cos \alpha &0&-\sin \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&\sin \alpha &0&\cos 0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmátrix}}

a forgatási mátrix 7 dimenziós térben a síkban . $x_{2}x_{4}$

Ezzel a megközelítéssel a szinuszok előtti jelek még könnyebben elhelyezhetők, mivel azokat a forgási sík tengelyeinek sorrendje határozza meg: melyiket nevezzük először, a szinusz mínusz előtti sorban.
Könnyen belátható, hogy a síkban lévő elforgatási mátrix egybeesik (ami természetes) a síkban lévő elforgatási mátrixszal stb., egészen az elforgatási szög ellenkező irányú változásáig. $x_{1}x_{2}$ $x_{2}x_{1}$
Ezért az ilyen permutált indexű mátrixok nyilvánvalóan nem függetlenek, és egy tetszőleges elforgatáshoz elegendő, ha minden síkot csak egyszer szerepeltetünk a kompozícióban, azaz csak a , és nem és nem . $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{2,1}(\alpha _{2,1})$

A forgástengely megváltoztatása

Legyen egy tengely körüli elforgatási mátrix egységvektorral a szöggel , legyen a tengely körüli forgatási mátrix egységvektorral azonos szöggel, és $\;M$ $\;n$ $\;\alpha$ $\;M'$ $\;n'$

\;n'=M''\cdot \;n,

ahol az a forgási mátrix, amely megváltoztatja a forgástengely egységvektorát . Akkor $\;M''$ $\;n$

M'=M''\cdot M\cdot M''^{\;T},

hol van a transzponált mátrix . $\;M''^{{\;T))$ $\;M''$

A fordulatok permutációja

Ha egy tengely körüli forgatási mátrix egységvektorral szögenként , egy tengely körül forgási mátrixot egységvektorral szögenként , akkor egy mátrix, amely leírja a két egymást követő elforgatásból származó elforgatást ( és ), mivel $\;M_{1}$ $\;n$ $\;\alpha$ $\;M_{2}$ $\;m$ $\;\béta$ $M_{2}\cdot M_{1}$ $\;M_{1}$ $\;M_{2}$

(M_{2}\cdot M_{1})\cdot r=M_{2}\cdot (M_{1}\cdot r).

Ebben az esetben a fordulatok sorrendje a fordulat módosításával módosítható : $\;M_{1}$

M_{2}\cdot M_{1}=M'_{1}\cdot M_{2},

ahol a mátrix a c tengely körüli szöggel történő elforgatás mátrixa az egységvektorral elforgatva : $\;M'_{1}$ $\;\alpha$ $\;n',$ $\;M_{2}$

n'=M_{2}\cdot n,\qquad M'_{1}=M_{2}\cdot M_{1}\cdot M_{2}^{T},

mivel , mivel a forgatási mátrix egy ortogonális mátrix ( az azonosságmátrix ). Vegyük észre, hogy a forgások szokásos értelemben vett kommutativitása nincs , azaz $M_{2}^{T}\cdot M_{2}=E$ $\;E$

M_{2}\cdot M_{1}\neq M_{1}\cdot M_{2}.

A forgatási mátrix kifejezése Euler-szögekkel

A precessziós szög ( ), a nutációs szög ( ) és a megfelelő elforgatás szöge ( ) által a tengelyek körüli egymást követő elforgatások a következő kifejezéshez vezetnek a forgatási mátrix számára: $\;Z,X',Z''$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\ sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{pmatrix}}.

Tengely - X tengely elforgatva az első fordulattal ( -vel ), - Z tengely elforgatva az első és a második elforgatással (egy és ). Az elforgatások permutációjából adódóan a redukált mátrix a Z, X, Z tengelyek körüli , , szögeken keresztüli elforgatásoknak felel meg : $\;X'$ $\;\alpha$ $\;Z''$ $\;\alpha$ $\;\béta$ $\;\gamma$ $\;\béta$ $\;\alpha$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{Z}(\alpha )\cdot M_{X}(\beta )\cdot M_{Z}(\gamma )

Abban az esetben, ha az elforgatások eltérő sorrendben vannak megadva, a forgatási mátrixot a megfelelő derékszögű koordinátatengelyek körüli forgatási mátrixok megszorzásával lehet megtalálni, például:

1) Elforgatás a tengelyek körül: $X,Y,X$
2) Ennek megfelelően: $X,Y,Z$
3) $X,Z,X$
négy) $X,Z,Y$
5) $Y,X,Y$
6) $Y,X,Z$
7) $Y,Z,X$
nyolc) $Y,Z,Y$
9) $Z,X,Y$
tíz) $Z,X,Z$
tizenegy) $Z,Y,X$
12) $Z,Y,Z$

Forgatási mátrix tetszőleges tengely körül

Adjuk meg a forgástengelyt egységvektorral és a forgásszöget . ${\hat {\mathbf {v} }}=(x,y,z)$ $\theta$

Ekkor a forgatómátrix derékszögű koordinátákkal a következő:

M({\hat {\mathbf {v} )),\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta +(1-\cos \theta )x^{2}&(1-\cos \theta )xy-(\sin \theta )z&(1-\cos \theta )xz+(\sin \theta )y\\(1-\cos \theta )yx+(\sin \theta )z&\cos \theta +( 1-\cos \theta )y^{2}&(1-\cos \theta )yz-(\sin \theta )x\\(1-\cos \theta )zx-(\sin \theta )y&( 1-\cos \theta )zy+(\sin \theta )x&\cos \theta +(1-\cos \theta )z^{2}\end{pmatrix}}

A forgatási mátrix kifejezése kvaternióval

Ha egy kvaternió adott , akkor a megfelelő forgatási mátrix: $q=(w,x,y,z)$

Q={\begin{bmátrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz- 2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.

Forgatási mátrix tulajdonságai

Ha egy mátrix, amely a tengely körüli szöggel történő elforgatást határozza meg , akkor: $\mathbf {M}$ ${\vec {n}}$ $\varphi$

$|\mathbf {M} {\vec {v}}|=|{\vec {v}}|$ $\forall {\vec {v}}$
$\mathbf {M} {\vec {n}}={\vec {n}}$
$(\mathbf {M} {\vec {v)),{\vec {v)))=(1-\cos \varphi )({\vec {n))\cdot {\vec {v)))^ {2}+({\vec {v)))^{2}\cos \varphi$
$\operátornév {Tr} (\mathbf {M} )=n-2+2\cos \varphi$ ( a forgatási mátrix nyoma ), ahol n a tér mérete (a mátrix mérete).
$\det \mathbf {M} =1$ (a mátrixnak van egységhatározója ) .
A fordított forgási mátrixot az előre forgó mátrix szokásos transzpozíciójával kapjuk, pl. . $\mathbf {M} ^{\mathrm {-1} }=\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }$
Háromdimenziós tér esetén (mátrixok ): ha a mátrix sorait (vagy oszlopait) vektorok koordinátáinak tekintjük , akkor a következő összefüggések igazak: $3\x 3$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$
- $|{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|=|{\vec {c}}|=1$
- ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0,{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0,{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}=0$
- ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}},{\vec {b}}\times {\vec {c}}={\vec {a}}, {\vec {c}}\times {\vec {a}}={\vec {b}}$
Az első két tulajdonság [4] , amely a mátrix ortogonalitási feltételét jelenti , tetszőleges térdimenzióra (mátrixméretre) is igaz.

Jegyzetek

↑ Egy mátrix ortogonalitása azt jelenti, hogy az inverz mátrixa egyenlő a transzponált mátrixszal : A −1 = A T .
↑ Vagyis ha a forgási síkot a féltér oldaláról nézzük, ahol a forgatást végző tengely koordinátái pozitívak.
↑ Háromdimenziós tér esetében is beszélhetünk síkban történő forgásról, például a tengely körüli forgatás síkban történő forgatás ; A háromdimenziós tér esetében azonban mindkét ábrázolás lehetséges, ezért általában, ha a kérdést csak erre a dimenzióra redukáljuk, a tengely körüli forgás ábrázolását (és jelölését) intuitív módon valamivel egyszerűbbnek választják. $z$ $xy$
↑ Mind az n sorhoz (oszlophoz).