Kúp (topológia)

A topológiában a kúp egy olyan topológiai tér , amelyet az eredeti térből kapunk úgy, hogy hengerének ( ) egy részterét egy pontra, azaz hányadostérre zsugorítjuk . A tér feletti kúpot jelöli . $x$ $X\time\{0\}$ $X\time[0, 1]$ $(X \szer [0, 1])/(X \szer \{0\})$ $x$ $\mathrm CX$

Ha az euklideszi tér egy kompakt részhalmaza , akkor a kúp átmenete homeomorf a -tól a tér egy megkülönböztetett pontjáig terjedő szakaszok egyesülésére , vagyis a topológiai kúp definíciója összhangban van a geometriai kúp definíciójával . A topológiai kúp azonban egy általánosabb konstrukció. $x$ $x$ $x$

Példák

A valós egyenes egy pontja feletti kúp egy intervallum, a valós egyenes intervallum feletti kúp egy kitöltött háromszög (2-szimplex), a sokszög feletti kúp egy bázisú gúla . A kör fölötti kúp a klasszikus kúp (belsővel); a körön lévő kúp a klasszikus kúp oldalfelülete: $p$ $\{p\}\times[0,1]$ $P$ $P$

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}

homeomorf egy körhöz .

Általánosságban elmondható, hogy a hipergömb feletti kúp homeomorf egy zárt dimenziós labdához . A -simplex feletti kúp az -simplex . $(n+1)$ $n$ $(n+1)$

Tulajdonságok

A kúp konstans leképező hengerként is megszerkeszthető [1] . $\mathrm CX$ $X \–\{0\}$

Minden kúp útvonalhoz kötődik , mivel bármely pont kapcsolódhat egy csúcshoz. Sőt, bármely kúp összehúzható a csúcsra a képlet által megadott homotópia segítségével . $h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$

Ha kompakt és Hausdorff , akkor a kúp ábrázolható olyan szakaszok tereként, amelyek minden pontot egyetlen ponthoz kötnek; ha nem kompakt vagy Hausdorff, akkor nem az, mivel általában a hányadostér topológiája vékonyabb lesz, mint a ponthoz csatlakozó szakaszok halmaza . $x$ $\mathrm CX$ $x$ $x$ $\mathrm CX$ $x$

Az algebrai topológiában a kúpokat széles körben használják, mivel a tereket egy összehúzható térbe való beágyazásként ábrázolják; ezzel kapcsolatban a következő eredmény is fontos: egy tér akkor és csak akkor összehúzható, ha a kúpjának visszahúzódása . $x$

Kúpos funktor

A leképezés egy kúpos függvényt generál , egy endofunktort a topológiai terek kategóriája felett . $X\mapsto \mathrm CX$ $\mathrm C:\mathbf{Top} \to \mathbf{Top}$ $\mathbf {Felső}$

Csökkentett kúp

A redukált kúp egy pontozott tér fölötti konstrukció [2] : $(X,x_{0})$

\mathrm C (X, x_0) = \big( X\x [0,1] \big) / \big( (X\times \left\{0\right\}) \cup (\left\{x_0\ jobb\}\times [0,1]) \big)

A természetes beágyazás lehetővé teszi, hogy bármely hegyes teret redukált kúpjának zárt részhalmazának tekintsük [3] . $x\mapsto(x,1)$

Lásd még

Kiegészítés (topológia)
Leképezési kúp (topológia)
Leképezési kúp (homológiai algebra)
Csatlakozás (topológia)

Jegyzetek

↑ Spanier, 1971 , p. 77.
↑ Svájc, 1985 , p. 13.
↑ Spanier, 1971 , p. 469.

Irodalom

Allen Hatcher. Algebrai topológia. - Moszkva: MTsNMO Publishing House, 2011. - ISBN 978-5-940-57-748-5 .
R. M. Switzer. Algebrai topológia – homotópia és homológia. - Moszkva: "Nauka", A fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1985.
E. Spanier. Algebrai topológia. - Moszkva: Mir, 1971.