Dominancia (játékelmélet)

A játékelméletben a dominancia olyan helyzet, amelyben egy adott játékos egyik stratégiája nagyobb hozamot ad, mint a másik, ellenfelei bármely cselekedetéért. A fordított fogalom, az intransitivitás akkor keletkezik, ha egy stratégia kisebb nyereséget tud adni, mint egy másik, a többi résztvevő viselkedésétől függően.

A dominancia fogalmát bizonyos típusú nem kooperatív játékok megoldására vagy egyszerűsítésére használják .

Terminológia

Amikor a játékos kiválasztja a stratégiáját a megengedettek közül, a játékos preferencia szerint hasonlítja össze alkalmazásának eredményeit. Háromféle eredmény fordulhat elő:

• A B stratégia uralja az A stratégiát, ha a B stratégia alkalmazása nem vezet rosszabb eredményre más játékosok viselkedése esetén, mint az A használata. Szigorú dominancia létezik , amikor B stratégia nagyobb nyereséget ad, mint A, bármilyen körülmények között, és gyenge dominancia , ha bizonyos akciók során más játékosok, B nagyobb nyereményt biztosít, mint A, és mások számára - ugyanez vele.
• A B stratégiát az A stratégia uralja, ha a többi játékos viselkedése esetén a B stratégia nem vezet jobb eredményre, mint az A stratégia. Az előző esethez hasonlóan egy stratégia lehet erősen vagy gyengén dominált.
• Az A és B stratégiát nem tranzitívnak nevezzük, ha B nem uralja A-t és A nem uralja B-t. Ez azt jelenti, hogy attól függően, hogy a többi játékos milyen stratégiát választott, mind az A, mind a B stratégia nagy nyereséget jelenthet a játékosok számára. játékos.

Ezt a koncepciót kétnél több stratégia összehasonlítására általánosítják:

• A B stratégiát szigorúan dominánsnak mondjuk, ha szigorúan uralja a játékos bármely más megengedett stratégiáját.
• A B stratégiát gyengén dominánsnak mondjuk, ha a játékos minden más megvalósítható stratégiáját uralja, amelyek közül néhányat gyengén dominálnak.
• A B stratégiát szigorúan domináltnak nevezzük , ha van egy másik stratégia, amely szigorúan uralja azt.
• A B stratégiát gyengén domináltnak nevezzük , ha van egy másik stratégia, amely gyengén dominálja azt.

Formális definíciók

Egy játékos stratégiájáról azt mondják , hogy gyengén uralja a stratégiát , ha

Itt van a -th kivételével az összes játékos stratégiai készleteinek közvetlen terméke .

A stratégia szigorúan domináns , ha

Dominancia és Nash egyensúly

Ha az egyik játékosnak szigorúan domináns stratégiája van, akkor azt a játék bármelyik Nash-egyensúlyában alkalmazza. Ha minden játékos szigorúan domináns stratégiával rendelkezik, a játéknak egyedi Nash-egyensúlya van. Ez az egyensúly azonban nem feltétlenül Pareto-hatékony , azaz. a kiegyensúlyozatlan eredmények minden játékos számára nagyobb nyereményt biztosíthatnak. Klasszikus példa erre a helyzetre a Prisoner's Dilemma játék .

A szigorúan dominált stratégiák alkalmazása semmi esetre sem racionális a játékosok számára, ezért nem kerülnek bele a Nash-egyensúlyba. Ugyanakkor a gyengén dominált stratégiák egyensúlyba kerülhetnek. Egy ilyen játék példája látható a jobb oldalon.

Itt mindkét játékos D stratégiáját gyengén uralja a C stratégiája . A helyzet azonban ( D , D ) a Nash-egyensúly ebben a játékban. Valójában a D használatától eltérve egyik játékos sem kaphat több nyereményt, ha a másik játékos ragaszkodik D -hez .

A dominált stratégiák egymást követő kizárása

A dominált stratégiák egymást követő kizárása egy általánosan használt technika a nem kooperatív játékok megoldására vagy egyszerűsítésére. Abból a feltételezésből indul ki, hogy a játék során a felek nem alkalmaznak dominált stratégiákat, így azok figyelmen kívül hagyhatók a további döntéseknél. Ezeknek a stratégiáknak a figyelmen kívül hagyása azonban a lehetséges helyzetek szűküléséhez vezet, aminek következtében új dominált stratégiák jöhetnek létre, amelyek az eredeti játékban nem domináltak. A dominált stratégiák egymás utáni kizárása abból áll, hogy megtaláljuk és eltávolítjuk azokat a csökkentett játékok sorozatában, a játékhelyzetek csökkenő sorozatával.

Ez a folyamat leállhat, ami egy lecsökkent játékhoz vezethet, amelyben a játékosok összes stratégiája nem tranzitív, vagy egyetlen helyzethez vezethet. Ha az erősen dominált stratégiákat eltávolítják, ez a helyzet az egyetlen Nash-egyensúly a játékban. A gyengén dominált stratégiák eltávolítása szintén Nash-egyensúlyhoz vezet, de ez az egyensúly nem feltétlenül egyedi. Egyes játékokban a gyengén dominált stratégiák eltávolításának sorrendjétől függően az iteratív kiesési folyamat különböző Nash-egyensúlyokhoz konvergálhat.

Példa

Példa egy játék megoldására a szigorúan dominált stratégiák egymás utáni kiiktatásával. [egy]

Hagyja, hogy A és B játékos vegyen részt a játékban. A játékos számára az a 1 és a 2 stratégia áll rendelkezésre , a B játékos számára pedig a b 1 , b 2 , b 3 stratégia . A játékosok egyszerre és egymástól függetlenül választanak stratégiát. A táblázat azokat a kifizetéseket mutatja, amelyeket a játékosok a saját stratégiájuk kijátszásakor kapnak, attól függően, hogy egy másik játékos milyen stratégiát választott. A cellában az első számjegy az első játékos kifizetése, a pontosvessző utáni szám pedig a második játékos által kapott kifizetés.

forrástábla. Például a táblázat azt mutatja, hogy ha A játékos a 2 stratégiával és B játékos b 3 stratégiával játszik , akkor A játékos 4 pontot kap, B játékos pedig 1 pontot.

Látható, hogy az A játékos választásától függetlenül a második játékos esetében a b 2 stratégia jellemzőiben rosszabb, mint a b 3 stratégia (6 < 9 és 0 < 1).

Ezért a b 2 stratégiájú oszlop a további mérlegelésnél figyelmen kívül hagyható, töröljük. Az A játékos szemszögéből a fennmaradó stratégiák közül az 1 -es egyértelműen rosszabb, mint a 2 (6 < 7 és 3 < 4)

Húzd át a vonalat a stratégiával 1 . Már csak két cella maradt a fizetési táblázatban, és a második játékos számára a b 1 stratégia egyértelműen előnyösebb, mint a b 3 (1 < 7).

Így az erősen dominált stratégiák kizárásával megoldottuk a játékot: a racionális játékosok b 1 és a 2 stratégiát játszanak , minden játékos 7-et kap.

Jegyzetek

1. ↑ Táblázat a játékelmélet kurzusból archiválva : 2015. február 17. a Wayback Machine -en, Dmitry Dagaev (Közgazdasági Felsőiskola) a Coursera-n

Irodalom

• Vasin A. A. , Morozov  V. V. Játékelmélet és a matematikai közgazdaságtan modelljei. - M. : Max-press, 2005. - 272 p. — ISBN 5-317-01388-7 .
• Vasin A.A. Nem kooperatív játékok a természetben és a társadalomban. Moszkva: Max Press, 2005, 412 p. ISBN 5-317-01306-2 .
• Danilov V. I. Előadások a játékelméletről . - M.: NES, 2002. - 140 p. : ill. ISBN 5-8211-0193-X
• Petrosyan L.A. , Zenkevich N.A., Semina E.A. Játékelmélet: Proc. pótlék un-elvtársnak. - M . : Feljebb. Iskola, Könyvesház "Egyetem", 1998. - S. 304. - ISBN 5-06-001005-8 , 5-8013-0007-4.
• Pechersky, S.L., Belyaeva, A.A. Játékelmélet közgazdászoknak. Bevezető tanfolyam. (Tankönyv) - Szentpétervár: Az Európai Egyetem Kiadója, 2001.