Mintaeloszlási függvény

A minta (empirikus) eloszlásfüggvény a matematikai statisztikában az elméleti eloszlásfüggvény közelítése , amely egy abból vett mintából épül fel.

Definíció

Legyen az eloszlásfüggvény által adott valószínűségi változó által generált méretű minta . Feltételezzük , hogy ahol független valószínűségi változók definiálva az elemi eredmények valamely terében . Hadd . Határozzuk meg a függvényt a következőképpen: $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $n$ $x$ $F(x)$ $X_{i}$ $i\in \left\{1,n\right\},n\in \mathbb {N}$ $\Omega$ $x \in \mathbb{R}$ ${\kalap {F}}(x)$

{\hat {F}}(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i }\leq x\}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\theta (x-X_{i})

ahol az eseményjelző , a Heaviside függvény . Így a függvény értéke egy pontban megegyezik azon mintaelemek relatív gyakoriságával, amelyek nem haladják meg az értékét . A függvényt a valószínűségi változó mintaeloszlási függvényének, vagy empirikus mintavételi függvénynek nevezzük, és ez a függvény közelítése . Létezik Kolmogorov tétele , amely kimondja, hogy esetén a függvény egyenletesen konvergál -hoz , és jelzi a konvergencia sebességét. Minden pozitívhoz egy valószínűségi változó értékkel . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\az adó)$ ${\kalap {F}}$ $x$ $x$ ${\kalap {F}}(x)$ $x$ $F(x)$ $n\to\infty$ ${\kalap {F}}(x)$ $F(x)$ $x$ ${\kalap {F}}(x)$ ${\frac {k}{n}},k\in \left\{0,n\right\}$

Alaptulajdonságok

Rögzítse az elemi eredményt . Ekkor a diszkrét eloszlás eloszlásfüggvényét a következő valószínűségi függvény adja meg : $\omega \az \Omegában$ ${\hat {F}}(x,\omega )$

p_{i}=p(x_{i})={\frac {N_{x_{i))}{n)),\;i=1,\ldots ,n

ahol , és a mintaelemek száma egyenlő . Különösen, ha a minta minden eleme különálló, akkor . $x_{i}=X_{i}(\omega )$ $N_{x}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{x=x_{j}\))$ $x$ $N_{x_{i}}=1,\;\forall i$