Elfogulatlan becslő

A matematikai statisztikákban elfogulatlan becslés olyan pontbecslés, amelynek matematikai elvárása megegyezik a becsült paraméterrel.

Definíció

Legyen egy minta a paramétertől függő eloszlásból . Ekkor a becslést elfogulatlannak nevezzük, ha ${\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\theta \in \Theta$ ${\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)$

{\mathbb {E}}\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

ahol

$\mathbb {E} \left[X\right]$ — matematikai elvárás ;
$\mindenkinek$ az univerzális kvantor .

Egyébként a becslést torzítottnak, a valószínűségi változót pedig torzításnak nevezzük . $\mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta$

Példák

A mintaátlag a matematikai elvárás torzítatlan becslése , hiszen ha , , akkor . ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty$ $\forall i\in \mathbb {N}$ ${\mathbb {E}}{\bar {X}}=\mu$

Legyen a független valószínűségi változóknak véges szórása . Építsünk becsléseket $X_{i}$ ${\mathrm {D}}X_{i}=\sigma ^{2}$

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \jobbra)^{2}

a minta varianciája ,

és

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ jobbra)^{2}

a korrigált minta variancia .

Ezután a paraméter torzított és torzítatlan becslései . A torzítás a következő módon igazolható. $S_{n}^{2}$ $S^{2}$ $\sigma ^{2}$ $S_{n}^{2}$

Legyen és az átlag, illetve annak becslése, akkor: $\mu$ $\overline {X}$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operátornév {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-{\overline {X)))^{2}{\bigg ]}.

Összeadva és kivonva a kifejezéseket, majd csoportosítva a következőket kapjuk: $\mu$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operátornév {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.

Tegyük négyzetre, és kapjuk:

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operátornév {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n} (X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Ezt figyelembe véve a következőket kapjuk: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )={\overline {X}}-{\frac {1}{ n}}(n\mu )$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operátornév {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Tekintettel arra

$\operátornév {E} [a+b]=\operátornév {E} [a]+\operátornév {E} [b]$ (matematikai elvárás tulajdonsága);
$\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\ bigg ]}=\sigma ^{2}$ - diszperziós ;
$\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2 }$ , mert , ezt figyelembe véve függetlenek és , azaz , $\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operátornév {E} {\big [}{\big (} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operátornév {E } {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac { 2}{n^{2))}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\ nagy ]}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0$ $\operátornév {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operátornév {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ] }\operátornév {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0$

kapunk:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X} }-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n))\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}

Irodalom és néhány hivatkozás

MG Kendall. "A statisztika fejlett elmélete (I. kötet). Eloszláselmélet (2. kiadás)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
MG Kendall és A. Stuart. "A statisztika fejlett elmélete (II. kötet). Következtetés és összefüggés (2. kiadás)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
A. Papoulis. Valószínűség, valószínűségi változók és sztochasztikus folyamatok (3. kiadás). McGrow-Hill Inc., 1991.
G. Saporta. "Probabilités, analyse des données et statistiques". Editions Technip, Párizs, 1990.
JF Kenney és ES Keeping. A statisztika matematikája. I. és II. rész. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
IV. Blagouchine és E. Moreau: "A negyedrendű kumuláns elfogulatlan adaptív becslései a valós véletlenszerű nulla átlagú jelhez", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 57. sz. 9, pp. 3330–3346, 2009. szeptember.
Megvilágosító ellenpélda