A hatodik fokozat egyenlete

A hatodik fokú egyenlet egy algebrai egyenlet , amelynek maximális foka 6. Általában a következőképpen írható fel:

ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.

Bár ennek az egyenletnek néhány speciális formája, mint például a trisznégyzet vagy a bicubic, grafikusan vagy faktorálással megoldható, ennek az egyenletnek általános analitikai megoldása nem ismert. Az Abel-Ruffini tételből az következik , hogy általában egy 6. fokú egyenlet nem oldható fel gyökökben .

Megoldási algoritmusok

Egy hatodfokú egyenlet megoldására szolgáló általános elmélet felépítésére először Frank Cole tett kísérletet 1886 -ban [1] . Az ötödfokú egyenletek megoldására szolgáló algoritmusokat nyolc évvel korábban javasoltak , és Cole munkája megpróbálta általánosítani a kidolgozott módszereket egy hatodfokú egyenletre is.

Az ötnél kisebb fokú egyenletek elmélete az eredeti egyenlet Galois-csoportjainak megfelelő egy változó lineáris transzformációinak bizonyos csoportjain alapul. Az ötödik fokú egyenlet transzformációinak ilyen csoportja a váltakozó csoport 60 műveletének felel meg . A hatodik fokú egyenlethez egy ilyen transzformációcsoportnak már meg kell felelnie a váltakozó csoport 360 műveletének , amely a következő egyenletként ábrázolható: $A_{5}$ $A_{6}$

z'={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta ))

ahol z 0 , 1, 2, 3, 4, 5 vagy 0- val egybevágó egész szám . Az α, β, γ, δ paraméterek bizonyos megválasztásával a z' szám is egész szám lesz. Kimutatható, hogy pontosan 360 ilyen paraméterkészlet létezik. Felix Klein kimutatta, hogy egyetlen változó lineáris transzformációinak nincsenek véges csoportjai, amelyek kielégítik a fenti feltételeket. A változók számának általános esetben legalább háromnak kell lennie, és legalább négynek, ha a lineáris transzformációkat homogén formában írjuk le. Ezek a sajátosságok oda vezetnek, hogy a gyakorlatban nem praktikus az algoritmusok alkalmazása egy hatodfokú egyenlet megoldására [2] . $\infty \ {\mathrm {mod}}\ 6$

Privát űrlapok

Háromnegyedes egyenlet

A háromnegyedes egyenlet az alak algebrai egyenlete

x^{6}+ax^{3}+b=0

Behelyettesítéssel a másodfokú egyenletre redukálódik $t=x^{3}$

t^{2}+at+b=0

Bikubikus egyenlet

A bikubikus egyenlet az alak algebrai egyenlete

x^{6}+ax^{4}+bx^{2}+c=0

Behelyettesítéssel a köbös egyenletre redukálódik $t=x^{2}$

t^{3}+at^{2}+bt+c=0

Lásd még

Abel-Ruffini tétel

Jegyzetek

↑ Cole FN Hozzájárulás a hatodik fok általános egyenletének elméletéhez // Amer . J Math. . - 1886. - Kt. 8 . - 265-286 . o .
↑ R. Bruce King. 8. fejezet A kvintikus egyenleten túl // Beyond the Quartic Equation . - Birkhäuser Boston, 2008. - P. 139-149. — 149 p. - (Modern Birkhäuser klasszikusok). — ISBN 0817648364 . Archivált : 2014. július 22. a Wayback Machine -nél

Linkek

Weisstein, Eric W. "Szextikus egyenlet" . A MathWorldből – Wolfram webes forrás.

Algebrai egyenletek
Lineáris egyenlet Másodfokú egyenlet köbös egyenlet A negyedik fokozat egyenlete Az ötödik fokozat egyenlete A hatodik fokozat egyenlete Hetedik fokozat egyenlete