Schwinger-Tomonaga egyenlet

A Schwinger-Tomonaga egyenlet , a kvantumtérelméletben a mozgás alapegyenlete [1] , a Schrödinger egyenletet relativisztikus esetre általánosítva.

A hullámfüggvényt relativisztikus esetben térszerű hiperfelületek függvényeként kell megadni . A hullámfüggvény Schwinger-Tomonaga egyenlete a következő: [2] $\Psi [\sigma ]$

i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\mathcal {H))(x)\Psi [\sigma ],

hol van a Hamilton sűrűsége ${\mathcal {H}}(x)$

H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ egy koordináta a Minkowski térben . A sűrűségmátrix Schwinger-Tomonaga egyenlete , amely egyben a térszerű hiperfelületek függvénye is, a következő: [3] $\mathbb {R} ^{1,3}$

i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].

A térszerű hiperfelületeket egy háromdimenziós sokaság határozza meg -ben , amely minden térszerű irányba kiterjeszthető. Ezeket a sokaságokat az határozza meg, hogy a hiperfelületnek minden pontjában egységnyi normálvektora van $\sigma$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ $x\in \sigma$

n_{\mu}(x)n^{\mu}(x)=1,

időszerű

n^{0}(x)\geqslant 1.

A Schwinger-Tomonaga egyenlet egy funkcionális differenciálegyenlet . Ez egy differenciálegyenletnek tekinthető az időváltozók kontinuum családjában. [3] Ehhez ki kell választani a hiperfelület paraméterezését a háromdimenziós tér koordinátáival , ekkor a pontok ábrázolhatók . Így minden pontnak saját időváltozója van . $\sigma$ $\mathbf {x}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $x\in \sigma$ $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3))$ $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$

Funkcionális derivált a Schwinger-Tomonaga egyenletben

Tekintsünk egy pontot és egy változatos hiperfelületet , amely csak a pont valamely szomszédságában tér el . Jelölje a és közé zárt négydimenziós tartomány térfogatát . Ekkor egy tetszőleges függvény funkcionális deriváltját , amely a hiperfelületek halmazából valós számokra való leképezés, a következőképpen definiáljuk [4] [5] $x\in \sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ $\sigma$ $Ökör$ $x$ $\Omega (x)$ $\sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)))$ $F[\sigma ]$

{\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim )){\frac {F[ \sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x))).

A Schwinger-Tomonaga egyenlet megoldása

A sűrűségmátrix Schwinger-Tomonaga egyenletének megoldása a következőképpen ábrázolható: [6]

\rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dagger }(\sigma ,\sigma _{0}),

ahol az űrlap egységes evolúciós operátora $U(\sigma ,\sigma _{0})$

U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma }{\mathcal {H} }(x)d^{4}x\jobbra],

hol van az időrendű kitevő. a kezdeti hiperfelületen meghatározott kezdeti sűrűségmátrix . Hasonlóképpen ábrázolható a hullámfüggvény Schwinger-Tomonaga egyenletének megoldása $\mathrm {Texp}$ $\rho (\sigma _{0})$ $\sigma _{0}$

\Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),

ahol a kezdeti hullámfüggvény. $\Psi (\sigma _{0})$

Az integrálhatóság szükséges feltétele

Ahogy a parciális differenciálegyenletek megkövetelik ezeknek a deriváltaknak az integrálhatóságát, úgy a sűrűségi mátrix Schwinger-Tomonaga egyenletének is van egy szükséges integrálhatósági feltétele [6] , amely megköveteli, hogy a variációs deriváltok az egyes rögzített térszerű hiperfelületek tetszőleges pontjain kommutáljanak : $\sigma$

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Ez a feltétel a Hamilton-féle sűrűségre vonatkozó mikrokauzalitási követelmény következménye . Azt állítja, hogy a Hamilton-féle térbeli intervallumok különböző pontjaira ${\mathcal {H}}(x)$

[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (xy)^{2}<0.

Valójában, figyelembe véve a Jacobi identitást , a következőkkel rendelkezünk:

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Az integrálhatósági feltétel biztosítja a megoldás egyediségét.

A tér-idő köteg és a Schrödinger-egyenlet

A térköteget [7] egy sima egyparaméteres család határozza meg $\mathbb {R} ^{1,3}$

{\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}

térszerű hiperfelületekből áll, azzal a tulajdonsággal, hogy minden pont egy és csak egy hiperfelülethez tartozik : $\sigma (\tau )$ $x\in \mathbb {R} ^{1,3}$ $\sigma (\tau )$

\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\exists !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).

A pontnak megfelelő hiperfelületet jelöljük . Egy rögzített köteg állapotvektorok családját állítja elő $x$ $\sigma _{x}$ ${\mathcal {F}}$

|\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).

Ekkor a Schwinger-Tomonaga egyenlet újrafogalmazható integrál formában

|\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H }}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.

A négydimenziós integráció kiterjed a kezdeti hiperfelülettel és a család hiperfelületével körülvett területre, amely teljes egészében a jövőben rejlik . $\sigma _{0}=\sigma (0)$ $\sigma (\tau )$ $\sigma _{0}$

A hiperfelületeket az implicit kifejezés határozza meg $\sigma (\tau )$

{\tilde {f}}(x,\tau )=0,

ahol egy sima skalárfüggvény . Ezután az egységnyi normálvektor ${\tilde {f))(x,\tau )$

n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt ({\frac {\partial {\tilde {f))(x,t)}{\partial x^{\mu } }}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }})))}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x , t)}{\partial x^{\mu }}}.

A kényelem kedvéért normalizáljuk a hipersíkot meghatározó függvényt úgy, hogy kiküszöböljük a normalizációs tényezőt a normál képletében. $f(x,\tau )=0$

n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu ))}.

Az állapotvektorok integrálegyenletének differenciálása

{\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\left |{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),

ahol az integráció a hiperfelületen keresztül történik . Ez az egyenlet a Schrödinger-egyenlet kovariáns általánosítása. Számításba vesz $\sigma (\tau )\in {\mathcal {F))$

\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau ))\right|{\mathcal {H))(x)d\sigma (x) )=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x )d\sigma (x)=H(\tau )

az állapotvektorok mozgásegyenlete felveszi a formát

i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .

Történelmi háttér

Közvetlenül a kvantummechanika megjelenése után megkezdődtek a kísérletek annak relativisztikus általánosítására. Ezen az úton azonban egy alapvető nehézség adódott, [1] amiatt, hogy a kvantummechanika formalizmusában [8] az idő alapvetően kitüntetett, a koordinátáktól eltérő szerepet játszik. Másrészt a relativitáselméletben az idő- és térkoordinátáknak szimmetrikusan kell működniük egy 4-vektor összetevőjeként.

Ahhoz, hogy megtaláljuk az állapotok evolúciójának egyenletének relativisztikus általánosítását, meg kellett érteni, hogy a nemrelativisztikus idő egyszerre két szerepet játszik, amelyek a relativisztikus általánosításban kettéválnak. Ez egyrészt az esemény egyedi időpontja - ennek az időpontnak kell szimmetrikusnak lennie a koordinátákkal, másrészt evolúciós paraméterként szolgál, amely térben elkülönült pontokon rendezi az eseményeket. Az idő ezen második függvényének relativisztikus általánosítása lehet a kölcsönösen térszerű pontok tetszőleges halmaza, úgy, hogy bármely időszerű világvonal ennek a halmaznak egy és csak egy pontját tartalmazza. Egy ilyen gyűjtemény egy térszerű hiperfelület . $\sigma$

Az egyenletet a leírt formában egymástól függetlenül vezette be S. Tomonaga 1946-ban és J. Schwinger 1948-ban, és ez szolgált alapul a Lorentz-invariáns perturbáció elmélet felépítéséhez .

Jegyzetek

↑ 1 2 Prohorov, 1992 , TOMONAG – SCHWINGER EGYENLET.
↑ Bogolyubov és Shirkov, 1984 , p. 397.
↑ 1 2 Breuer és Petruccione, 2010 , p. 620.
↑ Egy ilyen definíció megköveteli, hogy ne csak a térszerű hiperfelületeken, hanem azok kellően kis eltérésein is definiáljuk.
↑ Bogolyubov és Shirkov, 1984 , p. 400.
↑ 1 2 Breuer és Petruccione, 2010 , p. 622.
↑ Breuer és Petruccione, 2010 , p. 623.
↑ És a klasszikus hamiltoni mechanika eredeti formalizmusában is .

Irodalom

Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Bevezetés a kvantált mezők elméletébe. - 4. kiadás, Rev. - M. : Nauka, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1984. - 600 p. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Breuer H.-P. , Petruccione F. . Nyílt kvantumrendszerek elmélete / Per. angolról. szerk. Yu. I. Bogdanova . - M. - Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont, Számítógépes Kutatóintézet, 2010. - 824 p. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Prokhorov A. M. (szerk.). Fizikai Enciklopédia . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .