Stacionárius perturbáció elmélet a kvantummechanikában

A stacionárius perturbáció elmélete a kvantummechanikában egy olyan perturbációs elmélet, ahol a Hamilton -féle nem függ az időtől. Az elméletet Schrödinger építette fel 1926-ban.

Az elmélet kellően gyenge perturbációkra alkalmazható: , míg a paraméternek olyan kicsinek kell lennie, hogy a perturbáció ne torzítsa túlságosan a zavartalan spektrumot . $H = H_0 + \lambda H_1$ $\lambda$ $H^0$

Nem degenerált spektrum

A perturbációelméletben a megoldást bővítésként ábrázolják

|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...,

E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...

Természetesen a Schrödinger-egyenletnek igaznak kell lennie :

H|n\rangle = E_n|n\rangle.

Ha a bővítést behelyettesítjük ebbe az egyenletbe, azt kapjuk

(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) =

(E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...)

Az azonos sorrendű tagokat összegyűjtve egyenletsorozatokat kapunk $\lambda$

H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle,

H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle,

H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle.

stb. Ezeket az egyenleteket szekvenciálisan kell megoldani, hogy megkapjuk és . Az indextag a zavartalan Schrödinger-egyenlet megoldása, így beszélhetünk "nullarendű közelítésről" is. Hasonlóképpen "k-edik sorrend közelítéséről" beszélünk, ha a megoldást a és a feltételekig számítjuk . $E^k_n$ $n^k$ $k = 0$ $E^k_n$ $n^k$

A második egyenletből azt kapjuk, hogy csak további feltételekkel lehetséges egyedi megoldásokat meghatározni , hiszen minden lineáris kombináció megoldás . Van egy kérdés a normalizálással kapcsolatban. Feltételezhetjük, hogy , de ugyanakkor a pontos megoldás normalizálása magában foglalja . Ezután első sorrendben (a λ paraméterhez képest) a normalizálási feltételhez be kell állítanunk . Mivel a kvantummechanikában a fázisválasztás önkényes, az általánosság elvesztése nélkül mondhatjuk, hogy egy szám valós. Ezért és ennek következtében a kiszabott kiegészítő feltétel a következő formában jelenik meg: $n^1$ $n^1$ $n^0$ $\langle n^0|n^0\rangle = 1$ $\langle n|n\rangle = 1$ $\langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0$ $\langle n^0|n\rangle$ $\langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle$