Trigonometrikus szám

A matematikában a trigonometrikus szám ( angol  trigonometrikus szám ) [1]  olyan irracionális szám , amelyet egy racionális fordulatszám szinuszaként vagy koszinuszaként kapunk, vagy ennek megfelelően egy olyan szög szinusza vagy koszinusza, amelynek radiánban kifejezett értéke racionális többszöröse . a pi , vagy egy racionális számú fok szinusza vagy koszinusza .

A 0, 1, −1-től eltérő valós szám akkor és csak akkor trigonometrikus szám, ha az egység gyökének valós része .

Az ezekre a számokra vonatkozó tételek bizonyítását Ivan Niven kanadai-amerikai matematikus adta [1] , később bizonyításait Li Zhou és Lubomir Markov [2] javította és egyszerűsítette .

Bármely trigonometrikus szám kifejezhető gyökökkel . Így minden trigonometrikus szám egy algebrai szám . Az utolsó állítás bizonyítható [1] , a Moivre-képlet alapján k és n koprím esetére :

A bal oldalt kiterjesztve és a valós részeket egyenlítve megadjuk az egyenletet -ben és behelyettesítve egy polinomiális egyenletet kapunk, aminek megvan a maga megoldása, így ez utóbbi értelemszerűen algebrai szám. Ez is algebrai szám, mert egyenlő egy algebrai számmal Végül, ahol racionális, többszöröse , egy algebrai szám, amelyet úgy kaphatunk meg, hogy a de Moivre-egyenlet kiterjesztésének két oldalának képzetes részeit egyenlővé tesszük egymást, és elosztva polinomiális egyenletet kapunk

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 Niven, Ivan. Irracionális számok , Carus matematikai monográfiák sz. 1956. 11.
2. ↑ Li Zhou és Lubomir Markov. Ismétlődő bizonyítékok bizonyos trigonometrikus értékek irracionalitására  (angol)  // American Mathematical Monthly  : folyóirat. - 2010. - 20. évf. 117 . - P. 360-362 . doi : 10.4169 / 000298910x480838 . https://arxiv.org/abs/0911.1933 Archivált 2019. február 7-én a Wayback Machine -nél