Háromszög alakú kvantumkút

A háromszög alakú kvantumkút a kvantummechanika egyik egyszerű potenciálprofilja , amely pontos megoldást tesz lehetővé a töltéshordozó energiaszintjei és hullámfüggvényeinek meghatározására .

Egy egydimenziós háromszögpotenciálkutak egyik oldalán végtelenül magas potenciálfal ( at ) , másrészt végtelenül magas ferde potenciálgát határol a pontban . Ez a fajta potenciális energia egy részecskére erővel ható egyenletes mezőnek felel meg [1] . Ilyen mezők például az egyenletes elektromos tér ( a részecske töltése, az elektromos térerősség ) [2] és a gravitációs gravitációs mező ( a részecske tömege, a nehézségi gyorsulás ). $U(x)\rightarrow +\infty$ $-\infty <x\leqslant 0$ $0<U\left(x\right)=Fx<+\infty$ $0<x<+\infty$ $U(x)$ $-F=dU/dx$ $U\left(x\right)=q\mathrm {E} _{el}x\geq 0$ $q$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{el))$ $U\left(x\right)=mgx$ $m$ $g$ [3] .

Megoldás

A Schrödinger-egyenlet és peremfeltételei ebben az egydimenziós esetben a következőképpen írhatók fel: [1] :

{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m^{*}}{\hbar \;^{2}}}(E-Fx) \psi =0\,,

\psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.

Itt a részecske effektív tömege, a redukált Planck-állandó és a részecske kívánt energia- és hullámfüggvénye . $m^{*}$ $\hbar$ $E$ $\psi$

A további megfontolás egyszerűsítése érdekében egy dimenzió nélküli változót vezetünk be [1]

\xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F))\right),

ahol

\alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\jobbra)^{1/3}

Ekkor a Schrödinger-egyenlet az Airy-egyenlet alakját veszi fel :

\psi ''(\xi )-\xi \psi (\xi )=0\,.

Ennek az egyenletnek a feltételt kielégítő megoldása a következőképpen alakul: $\psi (\xi \rightarrow +\infty )\rightarrow 0$

\psi (\xi )=CAi(\xi )\,,

ahol az 1. típusú Airy függvény , a következőképpen definiálható: $AI$

Ai(\xi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }\cos \left({{\frac {u^ {3}}{3}}+u\xi }\jobbra)\,du\,.

A részecskeenergia sajátértékei ( ) a háromszög alakú kútban az első peremfeltételből kerülnek meghatározásra ${\displaystyle E=E_{n))$ $n=1,\,\,2,..$

\psi (x=0)=\psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\, ,

hol vannak az Airy függvény nullái. Az első öt nulla megközelítőleg egyenlő: , , , , . Nagy nullák esetén az Airy függvényeket a következő kifejezés határozza meg: $\xi _{n}=-a_{n}$ $a_{1}=2,33810741$ $a_{2}=4,08794944$ $a_{3}=5,52055983$ $a_{4}=6,78670809$ $a_{5}=7,94413359$ $n\gg 1$

a_{n}\approx \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2 /3}\,.

Az állandók értékei a hullámfüggvény normalizálási feltételből származnak [4] $C_{n}$

\int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1

Az integrál kiszámítása [5]

{\begin{aligned}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits _{-{{a}_{n}}}^{\infty } {d\xi }A{{i}^{2}}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi A{{i}^{2}}\left(\xi \right)-{{\left(A{i}'\left(\xi \right)\right)}^{2}}\jobbra]_ {\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(A{i }'\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{igazított}}

megtalálja

{{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{Ai'\left(-{{a}_{n}}\right))),

ahol az Airy függvény deriváltja. Ennek eredményeként a hullámfüggvényeket és a diszkrét energiaspektrumot háromszögpotenciálkút esetén a következő formában találjuk: $Ai'(\xi )$

{{\psi }_{n}}\left(x\right)={\frac {{\alpha }^{1/2}}{A{i}'\left(-{{a} _{n}}\right)}}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right);

E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m^{*} }}.

A függvények ortogonálisak [6] : $\psi _{n}(x)$

${\begin{aligned}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n} }{{C}_{m))}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\jobbra)}}\times \left[A{i} '\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left. Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)A{i}'\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x =0}^{\infty }=0\\\vége{igazított}}$

at . A vizsgált kút esetében nincs "szélesség" fogalma, mivel a hullámfüggvények tetszőlegesen nagyok esetén nullától eltérőek lehetnek . A klasszikusan elérhető ( ) régió szélességét a feltételből találjuk meg $n\neq m$ $x$ $E>U(x)$

U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}

és van

x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.

Az eredmények alkalmazása

A vizsgált probléma a dielektrikum-félvezető határfelületek közelében lévő inverz rétegekben lévő kétdimenziós elektrongáz rendszerek vizsgálata során nyert jelentőséget. Bár az ilyen rendszerekben a vezetési sáv profilja egy félvezetőben bonyolultabb, mint lineáris, és a vezetési sáv szakadása a heterointerfészen nem végtelen, közvetlenül ennek a határnak a közelében a kút megközelítőleg háromszög alakúnak tekinthető, és a sáv szakadása kellően nagy.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Landau L. D., Lifshitz E. M. III. fejezet. 25. bekezdés Mozgás homogén mezőben. // Kvantummechanika. Nem relativisztikus elmélet . - Moszkva: Nauka, 1989. - S. 100. - 768 p. - ISBN 5-02-014421-5 . (Orosz)
↑ V. N. Neverov, A. N. Titov. 1. rész 1. fejezet 1.4. Kisdimenziós rendszerek típusai. // Kisdimenziós rendszerek fizikája . — Jekatyerinburg: Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény „Ural Állami Egyetem. A. M. Gorkij", 2008. - S. 17. - 232 p.
↑ Z. Flügge. 40. feladat. Szabadesés a földfelszín közelében // Problémák a kvantummechanikában / szerk. A. A. Sokolova. - Moszkva: Mir, 1974. - T. 1. - S. 100. - 340 p. (Orosz)
↑ Landau L. D., Lifshitz I. M. 1. fejezet. A kvantummechanika alapfogalmai // Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). - Moszkva: Tudomány. Ch. szerk. fizika és matematika lit., 1989. - T. 3. - S. 20. - 768 p. - ISBN 5-02-014421-5 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. 8. rész. Alkalmazások kvantumfizikához // AIRY FUNCTIONS AND APPLICATIONS TO FIZIKA (angol) . - London: Imperial College Press, 2004. - P. 139. - 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. 3. rész. Airy függvények primitívumai és integráljai // AIRY FUNKCIÓK ÉS ALKALMAZÁSOK A FIZIKÁBAN (angol) . - London: Imperial College Press, 2004. - P. 47. - 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 .

Irodalom

Ando T., Fowler A, Stern F. Kétdimenziós rendszerek elektronikus tulajdonságai. Per. angolról. - M .: Mir, 1985. - 416 p.
Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). - 6. kiadás, átdolgozott. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 800 s. - ("Elméleti fizika", III. kötet). — ISBN 5-9221-0530-2 .

Link

Háromszög alakú kút

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom