Zener-Bloch oszcillációk

A Zener-Bloch- oszcillációk egy részecske rezgései, amelyek egy periodikus potenciálban mozognak állandó erő hatására. Példa egy olyan rendszerre, amelyben ilyen rezgések előfordulhatnak, a kristályos szilárd anyag. Valódi kristályokban nehéz feltételeket teremteni a Zener-Bloch-oszcillációk megfigyeléséhez, de megfigyelték ezeket mesterséges rendszerekben, például szuperrácsokban .

Clarence Zener [1] a kristályelektronok ilyen oszcillációit vizsgálta külső elektromos térben. Felix Bloch általánosította az elméletet bármely részecske és erő esetére.

Félklasszikus megfontolás

Ha figyelmen kívül hagyjuk az elektronok sávközi átmeneteit külső elektromos tér jelenlétében , akkor az elektron elmozdulását a k-térben teljesen meghatározza Newton második törvénye: $\mathbf {E}$

\hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E}

Hol van az elemi töltés (ezekben a jelölésekben az elektron töltése egyenlő C-vel). Ütközés hiányában az elektron áthalad a teljes első Brillouin zónán , visszaverődik annak határáról, újra átlépi a zónát, és ismét a határon verődik vissza. Ennek eredményeképpen az elektron ilyen mozgása a sávban állandó elektromos tér hatására az -térben, és így a közönséges térben való rezgés jellegű. Ezeket az oszcillációkat Zener-oszcillációknak (elektromos tér részleges esete) és Bloch-oszcillációnak (bármilyen természetű potenciáltér általános esete) nevezik. $e$ ${\displaystyle -e=-1,6\cdot 10^{-19))$ $\mathbf {k}$

Legyen a mező a reciprok rácsvektor mentén irányítva , amely meghatározza az elektronokat visszaverő Brillouin zóna határának helyzetét. Egy oszcilláció során az elektron egy távolságot tesz meg . Ha , hol a rácsállandó, akkor a ciklikus gyakoriság egyenlő: $\mathbf {E}$ ${\mathbf {K}}$ $K$ $K={\frac {2\pi }{a}}$ $a$

\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}

Mivel A, a V/m mező esetében a frekvencia körülbelül Hz. Az oszcillációk térben korlátozottak. Ilyen helyzetben a perturbációs potenciál módosítja az energiaszinteket a zónában. Azok az állapotok pedig, amelyek energiája egy értékkel különbözik , megváltoztatják az energiákat a zóna szélei mentén. Az egyenlő energiák létrehozzák az ún. a Stark-létra, amelyet azért neveztek el, mert előfordulása az atomfizika Stark-effektusához hasonlít. Nyilvánvaló, hogy a térbeli rezgések amplitúdóját a zóna szélessége határozza meg : $a\approx \;3$ $2\cdot 10^{6}$ $10^{13}$ $e\mathbf {E} \mathbf {r}$ $eEa$ $L_{z}$ ${\displaystyle W_{b))$

L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}

Mivel egységcellánként egy állapot van, a rezgések teljes száma változatlan marad, de a szomszédos energiaszintek közötti intervallumok végesek és azonosak maradnak.

Kvantumelmélet [2]

A Zener-Bloch állapotú elektron hullámfüggvénye nyilvánvalóan különbözik a haladó hullámtól, mivel az már nem jó kvantumszám. Az alkalmazott potenciált perturbációnak tekintve a következőket találjuk: $\mathbf {k}$

{\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{ z}

\psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{ k}(\mathbf {r} )

hol vannak a Bloch sáv függvények, . A perturbációelmélet ad $\psi _{k}(\mathbf {r} )$ ${\hat {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}$

c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf { r} |\mathbf {k} \jobbra\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}

A mátrixelemet a legkényelmesebben számításba véve lehet kiszámítani

\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )

Átlépés az összegzésről az integrációra a reláció segítségével $\mathbf {k}$

\sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k}

részenként integrálva, a síkhullámok ortogonalitási tulajdonságát felhasználva kapjuk:

\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}

hol találjuk a származékokat

{\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}

tetszik

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d \mathbf {k} \jobbra\rkapcsos zárójel

Ahhoz, hogy a hullámfüggvény periodikus legyen, a függvénynek periodikusnak kell lennie. Ha feltesszük $c_{k}$

W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),

hol van a sáv középpontjának energiája, akkor a periodicitási feltétel az energiák egyenlőségét jelenti ${\displaystyle W_{k}=W_{0))$

W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),

ahol egy egész szám és egy egységcella-vektor. Ennek eredményeképpen az állapot, amelynek a sajátérték megfelel , a pontban található elemi cella terében lokalizálódik , ahonnan feltételezve , hogy $n'$ ${\mathbf {a}}$ ${\displaystyle W_{z))$ $n'\mathbf {a}$ $n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac { iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace

A Bloch-hullámfüggvények itt a formát öltik

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r} ) \exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\jobbra\rkapcsos zárójel .

Most már használhat egy egyszerű modellt, amely leírja a zónát a mező irányában : $\mathbf {E}$

W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka

-{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a)),

hol a zóna szélessége. Továbbá feltételezzük, hogy az . Akkor ${\displaystyle W_{b))$ $u_{k}(\mathbf {r} )$ $\mathbf {k}$

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \ bal\lkapcsos zárójel -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =

=c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a ,

ahol a Bessel-függvény egy egész szám, és a mező a tengely mentén van irányítva . A pontban a függvény úgy viselkedik, mint egy állóhullám nagyságú hullámvektorral , azaz a hullámvektor hossza egyenlő a Brillouin-zóna középpontjától a határáig mért távolság felével. Mikor , az aszimptotikus expanzió megadja $J_{n}(z)$ $n$ $x$ $x = x_0$ $J_{n}(z)$ $\pi /2a$ $|x_{0}-x|\gg \,a$

J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a }}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}- x|}}\jobbra)^{|x_{0}-x|/a}

ahol a térbeli rezgések klasszikus amplitúdója, és a természetes logaritmusok alapja. Nyilvánvaló, hogy -nál a hullámfüggvény nagyon gyorsan lecseng. Csökken a pontnál, és a pontban éri el a maximumot . Ennek a hullámfüggvénynek a viselkedése minőségileg hasonlít egy harmonikus oszcillátor viselkedésére - a szegmens végein nő, a klasszikus fordulópontoknak megfelelően. Ennek a jelenségnek a megfigyeléséhez szükséges a feltételek teljesítése $L_{z}$ ${\displaystyle e_{n))$ $|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$ $|x_{0}-x|\jobbra 0$ $|x_{0}-x|=L_{z}/2$

\omega _{z}\tau >1,

hol van az ütközések közötti idő. Általában az időzítést a zóna széleihez közeli állapotokra hajtják végre. A tipikus értékek kb . Ennek eredményeként a Zener-Bloch-oszcillációt legtöbbször végrehajtó elektron a sáv szélei közelében helyezkedik el, és ezért indokolt kb . Ehhez V/m-nél nagyobb mezőket kell létrehozni. Sok esetben egy ilyen erős mező a félvezető meghibásodásához vezethet. $\tau$ $\tau$ $\tau$ $10^{{-13}}$ $10^{{-13}}$ $2\cdot 10^{6}$

Lábjegyzetek

↑ Clarence Zener. Szilárd dielektrikumok elektromos lebontásának elmélete // Proc. Roy. szoc. A .. - 1934. - T. 145 . - S. 523 - 529 . - doi : 10.1098/rspa.1934.0116 .
↑ Ridley B. Kvantumfolyamatok félvezetőkben / Per. angolról. I. P. Zvjagin, A. G. Mironov. — M .: Mir, 1986. — 304 p.

Zener-Bloch oszcillációk

Félklasszikus megfontolás

Kvantumelmélet [2]

Lábjegyzetek

Lásd még