Kvantumharmonikus oszcillátor

A kvantumharmonikus oszcillátor egy fizikai modell a kvantummechanikában , amely egy parabolikus potenciál kút egy tömegű részecske számára, és egy egyszerű harmonikus oszcillátor analógja . Ennek a rendszernek a viselkedésének elemzésekor nem a részecskére ható erőket vesszük figyelembe, hanem a Hamilton -t, vagyis az oszcillátor összenergiáját, és feltételezzük, hogy a potenciális energia négyzetesen függ a koordinátáktól. Az alábbi feltételek figyelembe vétele a potenciális energia koordináta mentén történő kiterjesztésében az anharmonikus oszcillátor fogalmához vezet . $m$

A harmonikus oszcillátor probléma koordináta-reprezentációban

Egy m tömegű kvantumoszcillátor Hamilton -rendszere, amelynek sajátfrekvenciája ω, így néz ki:

\!{\hat {H}}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat q}^{2}} {2}}

Koordináta ábrázolásban , . A harmonikus oszcillátor energiaszintjének megtalálásának problémája olyan E számok megtalálására redukálódik, amelyekre a parciális differenciálegyenlet ${\hat p}=-i\hbar \partial /\partial x$ ${\hat q}=x$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)

van egy megoldása a négyzetes integrálható függvények osztályában .

Mert $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\lpont$

a megoldás így néz ki:

\psi _{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!))))\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\jobbra)^{{1/4}}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\ bal ({\sqrt {{\frac {m\omega }{\hbar }}}}x\jobb),

A függvények Hermite polinomok : $H_n$

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{{x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{{- x^{2}}}

Ez az E -érték tartomány két okból is figyelmet érdemel: először is, az energiaszintek diszkrétek és egyenlő távolságra (egyenlő távolságra) vannak , vagyis a két szomszédos szint közötti energiakülönbség állandó és egyenlő ; másodszor a legkisebb energiaérték . Ezt a szintet a nulla rezgés fő , vákuum vagy szintjének nevezik . $\hbar \omega$ $\hbar \omega /2$

Létrehozás és megsemmisítés operátorok

Egy harmonikus oszcillátor spektrumát sokkal könnyebb megszerezni az egymáshoz konjugált létrehozási és annihilációs operátorok segítségével .

A születési operátor , az annihilációs operátor , a kommutátoruk egyenlő ${\hat {a}}^{+}$ ${\hat {a}}$

[{\hat {a)),{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a} }^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p)))=1

A létrehozási és megsemmisítési operátorok segítségével egy kvantumoszcillátor Hamilton -rendszere kompakt formában írható fel:

{\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\kalap {n}}+{\frac {1}{2}}\jobb)

ahol a szintszám (kitöltési számok) operátora. Az ilyen Hamilton-féle sajátvektorok Fock-állapotok , és a probléma megoldásának ilyen formában történő ábrázolását "részecskék számának ábrázolásának" nevezik. ${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$

Anharmonikus oszcillátor

Anharmonikus oszcillátor alatt olyan oszcillátort értünk, amelynek a potenciális energiája nem másodfokú függése a koordinátától. Az anharmonikus oszcillátor legegyszerűbb közelítése a potenciális energia közelítése a Taylor sorozat harmadik tagjáig :

{\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{ 2}+\lambda {\hat {q}}^{3}

Egy ilyen oszcillátor energiaspektruma problémájának pontos megoldása meglehetősen munkaigényes, azonban lehetséges az energia korrekcióinak kiszámítása, ha feltételezzük, hogy a köbtag kicsi a kvadratikushoz képest, és felhasználjuk a perturbációt . elmélet .

A létrehozási és megsemmisítési operátorok ábrázolásában (második kvantálási reprezentáció) a köbtag egyenlő

\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{{3 \over 2}}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3 }.

Ennek az operátornak nulla átlós elemei vannak, ezért az első perturbációelméleti korrekció hiányzik. Egy tetszőleges nem vákuum állapot energiájának második korrekciója az $\left|\psi _{E}\right\rangle$

\Delta E^{{(2)}}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q ^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .

Többrészecskés kvantumoszcillátor

Több részecske kölcsönhatásának legegyszerűbb esetben alkalmazható a sokrészecskés kvantumoszcillátor modellje, amely a szomszédos részecskék kölcsönhatását jelenti egy másodfokú törvény szerint:

{\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}({\hat {p}}_{i}^{2} \több mint 2 m}+{1 \több mint 2} m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}

Itt és alatt az egyensúlyi helyzettől való eltérést és a -edik részecske lendületét értjük. Az összegzés csak a szomszédos részecskéken történik. ${\hat {q}}_{i}$ ${\hat {p}}_{i}$ $én$

Egy ilyen modell a szilárd testben megfigyelt fononok - Bose - kvázirészecskék elméleti alátámasztásához vezet .

Átmenetek külső erő hatására

Külső erő hatására a kvantumoszcillátor az egyik energiaszintről ( ) a másikra ( ) mozoghat. Ennek az átmenetnek a valószínűségét egy csillapítás nélküli oszcillátor esetében a következő képlet adja meg: $f(t)$ $n$ $m$ $W_{n,m}(t)$

W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(nm)}exp\left(-|\delta ^{2}|\ balra(L_{n}^{mn}(|\delta |^{2})\jobbra)^{2}\jobbra)

ahol a függvény meghatározása a következő: $\delta (t)$

\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }

és Laguerre - polinomok . $L_{m}^{{mn}}$

Lásd még

Irodalom

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 3. kiadás, átdolgozva és bővítve. - M .: Nauka , 1974 . — 752 p. - ("Elméleti fizika", III. kötet).

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom