Hermite polinomok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Hermite polinomok
Általános információ
Képlet	$H_{n}(x)=\sum _{{j=0}}^{{[n/2]}}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n -2j)!}}(2x)^{{n-2j}}$
Skaláris szorzat	$(f,g)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}f(x)g(x)dx$
Tartomány	$x\in R$
további jellemzők
Differenciálegyenlet	$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$
Norma	$\\|H_{n}\\|={\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi ))))$
Valaki után elnevezve	Károly Hermite

A Hermite polinomok egy valós változó polinomjainak egy bizonyos típusa . A Hermite polinomok a valószínűségszámításban , a kombinatorikában és a fizikában merülnek fel .

Nevét Charles Hermite francia matematikusról kapta .

Definíció

A valószínűségszámításban a Hermite-polinomokat általában a következőképpen határozzák meg:

H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx ^{n}}}e^{-x^{2}/2}

;

a fizikában általában egy másik definíciót használnak:

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{ n}}}e^{-x^{2}}

A fenti két definíció nem teljesen egyenértékű egymással; mindegyik a másik "méretezett" változata

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {math} }({\sqrt {2}}\,x)

Explicit kifejezések az első tizenegyre (n = 0,1,…,10) A Hermite polinomokat az alábbiakban adjuk meg (valószínűségi definíció):

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=x

H_{2}(x)=x^{2}-1

H_{3}(x)=x^{3}-3x

H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3

H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x

H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15

H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x

H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105

H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x

H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945

Az első tizenegy (n = 0,1,…,10) Hermite polinom a fizikai definícióban hasonlóan definiálható:

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x

H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120

H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x

H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680

H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x

H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240

A Hermite polinomok általános egyenlete: $H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{(-1)^{j)){\frac {n!}{j!( n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+ {\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots ,$

Tulajdonságok

A polinom csak a számmal azonos paritású tagokat tartalmaz : $H_n(x)$ $n$
A polinom páros , páratlan pedig páratlan : $H_n(x)$ $n$ $n$ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0, 1,2,\lpont$ .
A következő összefüggések igazak: $x=0$ $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}}),~~H_ { {2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\lpont$ , (valószínűségi definícióban) $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n =0,1,2,\lpont$ . (fizikai definíció szerint)
Az egyenletnek a koordináta-rendszer origójához képest páronként szimmetrikus valós gyökei vannak, és mindegyik modulusa nem haladja meg a -t . A polinomgyökök és a polinomgyökök váltakoznak . $H_{n}(x)=0$ $n$ ${\sqrt {n(n-1)/2))$ $H_{n}(x)=0$ $H_{{n+1}}(x)=0$
Egy polinom mátrixdeterminánsként ábrázolható : $H_n(x)$ $n\szer n$ $H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Összeadási képlet

A következő összeadási képlet a Hermite-polinomokra érvényes:

{\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{{{\frac {\mu }{2))} }}{\mu !}}H_{{\mu }}\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n} }{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2))))}\right]=\sum _{{m_{ 1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {a_{1}^{{m_{1}}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n }^{{m_{n}}}}{m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x_{1})\cdots H_{{m_{n}}}(x_{n} )~.

Könnyen belátható, hogy a következő képletek speciális esetei:

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , . Akkor $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

n^{{{\frac {\mu }{2}}}}H_{{\mu }}({\sqrt {n}}x)=\sum _{{m_{1}+\cdots +m_{ n}=\mu }}{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x)\cdots H_{{m_{n }}}(x)

$n=2$ , , . Akkor $a_{1}=a_{2}=1$ $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$

2^{\mu }H_{{\mu }}(x+y)=\sum _{{p+q+r+s=\mu }}{\frac {\mu !}{p!~q! ~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

Differenciálási és ismétlődési viszonyok

Egy Hermite-polinom harmadrendű deriváltja egyben Hermite-polinom is (a fizikai definícióhoz): Ez adja meg az első derivált (a fizikai definícióhoz) és a három egymást követő polinom közötti ismétlődési relációt : A fizikai definícióhoz a három egymást követő polinom közötti ismétlődési kapcsolat: $k$ $H_n(x)$ $n\geq k$
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=2^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)H_ {nk}(x)~,$

$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx))=2nH_{n-1}(x)$

$H_{n}(x)-xH_{{n-1}}(x)+(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

$H_{n}(x)-2xH_{{n-1}}(x)+2(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

Ortogonalitás

A Hermite polinomok egy teljes ortogonális rendszert alkotnak egy intervallumon súlyokkal vagy a definíciótól függően: $(-\infty,+\infty)$ $e^{-x^{2}/2}$ $e^{-x^{2}}$

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}/2}}\,dx=n !{\sqrt {2\pi }}~\delta _{{{\mathit {nm}}}}

, (valószínűségi definícióban)

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}}}\,dx=2^{ n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{({\mathit {nm))))

, (a fizikai meghatározásban)

hol van a Kronecker-delta szimbólum . $\delta _{{mn}}$

A Hermite-polinomok ortogonalitásának fontos következménye, hogy a Hermite-polinomok szempontjából különféle függvények sorozatokká bővíthetők. Minden nem negatív egész szám esetén a jelölés $p$

${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{{k=0}}^{{k\leq p/2}}{\frac {1}{2^{k}} }{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{{p-2k}}(x).$

Ebből kirajzolódik egy kapcsolat a Maclaurin -sorbeli függvény bővítési együtthatói és ugyanazon függvény Hermite-polinomok kiterjesztésének együtthatói között, amelyeket Niels Nielsen-relációknak nevezünk: $f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $f(x)=\összeg _{{n=0}}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {( n+2k)!}{k!}}a_{{n+2k}},~~~a_{n}={\frac {1}{n!)}}\sum _{{k=0}} ^ {\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!)}}A_{{n+2k} }$

Például a Kummer függvény kiterjesztése így fog kinézni:

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2)),{\frac {\alpha +n+1}{2 ));{\frac {\gamma +n}{2)),{\frac {\gamma +n+1}{2));{\frac {1}{2))\right)H_{n} (x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a))),$

ahol egy általánosított másodrendű hipergeometrikus függvény , a gamma függvény . ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ $\gamma (x)$

Olyan függvények dekompozíciója, amelyekben van kitevő .

Bármely függvényre, amelyet a kitevő szuperpozíciójaként írunk le, a következő kiterjesztést írhatjuk fel Hermite-polinomokkal: $f(x)=\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}e^{{\alpha _{k}x}},$
$f(x)=\összeg _{{n=0}}^{{\infty }}A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{ n!}}\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{({\frac {\alpha _{k}^{ 2}}{2}}}}~.$

Az ismert hiperbolikus és trigonometrikus függvények kiterjesztésének formája van

{\mathrm {ch}}\,{tx}=e^{({\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~{\mathrm {sh}}\,{tx}=e^{{{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1)!} }H_{{2n+1}}(x),

\cos {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~\sin {tx}=e^{{-{\frac {t^{ 2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1 )!}}H_{{2n+1}}(x),

Differenciálegyenletek

A Hermite polinomok a lineáris differenciálegyenlet megoldásai : $H_n(x)$

$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$

Ha egy egész szám, akkor a fenti egyenlet általános megoldását a következőképpen írjuk fel $n$

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)$ ,

ahol tetszőleges állandók vannak, és a függvényeket a második típusú Hermite függvényeknek nevezzük . Ezek a függvények nem redukálódnak polinomokra, és csak a transzcendentális és a transzcendentális függvényekkel fejezhetők ki . $A,B$ $h_{n}(x)$ $e^{{x^{2}/2}}$ $\int _{0}^{x}e^{{z^{2}/2}}dz$

Megtekintések

A Hermite polinomok a következő reprezentációkat veszik fel:

$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{{zx-z^{2}/2}}}{ z^{{n+1}}}}\,dz$

hol van az origót körülvevő kontúr. $\Gamma$

Egy másik ábrázolás így néz ki:

$H_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}(x+iy)^ {n}e^{{-{\frac {y^{2}}{2}}}}dy$ .

Kapcsolat más speciális funkciókkal

Kapcsolat a Kummer függvénnyel: $H_{{2n}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{{2n+ 1 }}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!)}}x~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\jobb)$
Kapcsolat Laguerre polinomokkal : $H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\ !,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2} /2)$

Alkalmazás

A kvantummechanikában a Hermite-polinomok egy kvantumharmonikus oszcillátor hullámfüggvényének kifejezését jelentik . Dimenzió nélküli változókban a kvantumharmonikus oszcillátor állapotát leíró Schrödinger-egyenlet a következőképpen alakul:

\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _ {n}(x)

. Ennek az egyenletnek a megoldásai az oszcillátor sajátfüggvényei, amelyek megfelelnek a sajátértékeknek . Egyre normalizálva így írják őket

\lambda _{n}=2n+1

\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2 ^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\pontok

. Ebben a kifejezésben a "fizikai" Hermite polinomokat használjuk .

H_{n}^{*}(x)

A Hermite polinomokat az egydimenziós hőegyenlet végtelen intervallumon történő megoldására használjuk. Ennek az egyenletnek van megoldása exponenciális függvény formájában . Mivel egy ilyen függvényt Hermite polinomok kiterjesztéseként ábrázolhatunk, másrészt Taylor sorozatban a következőképpen bővíthető : $u_{t}-u_{{xx}}=0$ $u(x,t)=e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t))$ $\alpha$

e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!)}}P_ {n}(x,t)

, akkor azokat a függvényeket , amelyek a hőegyenlet megoldása és teljesítik a kezdeti feltételt , a Hermite-polinomok segítségével fejezzük ki a következőképpen:

P_{n}(x,t)

P_{n}(x,t=0)=x^{n}

P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t)))^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t))))\jobb )={\frac {1}{{\sqrt {4\pi t))))\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac {(xy )^{2}}{4t}}}}y^{n}dy

. Az utolsó egyenlőség meghatározásához a Poisson -Fourier integrált használtuk.

A lézerfizikában, vagy inkább a nyitott (optikai) rezonátorok elméletében a Hermite-polinomok benne vannak a megfelelő keresztirányú Hermite-Gauss módus keresztmetszetében az amplitúdó-eloszlást leíró kifejezésben (valójában az egyik rezonátor szorzata). Hermite-polinomok és a Gauss-függvény ), amely a rezonátortükrök téglalap alakú optikai rezonátoraira jellemző.

Linkek

Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Modul a Hermite polinom interpolációjához John H. Mathews

Ortogonális polinomok
Bessel-polinomok Gegenbauer polinomok Kravcsuk polinomok Laguerre polinomok Legendre polinomok Polachek polinomok Rogers polinomok Zernike polinomok Csebisev-polinomok Charlier-polinomok Hermite polinomok Jacobi polinomok