Gegenbauer polinomok

Gegenbauer polinomok
Általános információ
Képlet	$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\ alfa )_{nk}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}$
Skaláris szorzat	$(f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}$
Tartomány	$[-1,1]$
további jellemzők
Differenciálegyenlet	$(1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\ !+\!2\alpha )f=0$
Norma	$\\|C_{n}^{(\alpha )}(z)\\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha ) }{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}$
Valaki után elnevezve	Leopold Gegenbauer

A Gegenbauer-polinomok vagy az ultraszférikus polinomok a matematikában a [−1,1] intervallumra merőleges polinomok súlyfüggvénnyel . Kifejezetten úgy ábrázolhatók ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!))(2z)^{n-2k},

ahol a gamma függvény , és az n/2 szám egész részét jelöli . $\Gamma (s)$ $\lfloor n/2\rfloor$

A Gegenbauer-polinomok a Legendre- és Csebisev-polinomok általánosításai, és a Jacobi-polinomok speciális esetei . Szintén a Gegenbauer-polinomok a speciális ortogonális csoport reprezentációjához kapcsolódnak [1] . Nevét Leopold Gegenbauer (1849-1903) osztrák matematikusról kapták. $SO(n)$

Az argumentum függvényének és részértékeinek generálása

A Gegenbauer-polinomok a generáló függvény segítségével definiálhatók [2] :

{\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha ))}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\ alfa )}(z)t^{n}.

Mivel a generáló függvény nem változik , egyidejű cseréjével , akkor $z\to -z$ $t\to -t$

C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),

amiből az következik, hogy páros n esetén a Gegenbauer-polinomok z -nek csak páros fokait, páratlan n -re pedig csak z páratlan fokait tartalmazzák .

A generáló függvény segítségével megkaphatjuk a Gegenbauer-polinomok értékeit z=1 és z=0 tágulási együtthatóként , illetve: ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha ))$ ${\displaystyle (1+t^{2})^{-\alpha ))$

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},

C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)! }}

(páros n esetén ), (páratlan n esetén ),

C_{n}^{(\alpha )}(0)=0

ahol a Pochhammer szimbólum szabványos jelölését használják ,

(\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )))

Ismétlődő kapcsolat és speciális esetek

A Gegenbauer-polinomok kielégítik a következő ismétlődési relációt , amely felhasználható polinomok létrehozására a következővel: $n\geq 2$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n))[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )} (z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].

Különösen [3] ,

{\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\ C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z) &=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{igazított}}

stb.

Differenciálegyenlet és kapcsolat más függvényekkel

A Gegenbauer-polinomok kielégítik a Gegenbauer-differenciálegyenletet [4]

(1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha + 1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.

Ha ezt az egyenletet a Legendre-differenciálegyenletre redukáljuk, és ennek megfelelően a Gegenbauer-polinomokat a Legendre-polinomokra redukáljuk . $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$

A Gegenbauer-polinomok véges hipergeometrikus sorozattal fejezhetők ki

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left( -n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}(1-z)\jobbra).

A Gegenbauer-polinomok a c Jacobi-polinomok speciális esetei : $P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)$ $\mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).

A Gegenbauer-polinom deriváltját egy eltolt indexű polinomban fejezzük ki

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{ (\alfa +1)}(z).

Ezeket a Rodrigues-formula segítségével fejezhetjük ki

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!)}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma ( n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )))(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{ \ rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\jobb ] .

Ortogonalitás és normalizálás

Adott esetén a Gegenbauer-polinomok merőlegesek a [−1,1] intervallumon a súlyfüggvénnyel , azaz ( n ≠ m esetén ) [5] , $\alpha$ ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2} )^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.

Normalizálva vannak: [5]

\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\ alfa -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alpha )]^{2}}}.

Összetett érv eset

Ha , ahol és valós változók (és egyben valós is), akkor a Gegenbauer-polinom valós és imaginárius részei a következőképpen fejezhetők ki: $z=x+{\rm {i}}y$ $x$ $y$ $\alpha$

{\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{ (2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},

{\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}} \;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Vilenkin, 1991 , p. 415.
↑ Vilenkin, 1991 , p. 468.
↑ Vilenkin, 1991 , p. 439.
↑ Vilenkin, 1991 , p. 438.
↑ 1 2 Vilenkin, 1991 , p. 441.

Irodalom

Suetin PK Klasszikus ortogonális polinomok . - M. : Fizmatlit, 2007. - 480 p. - ISBN 978-5-9221-0406-7 .
Vilenkin N. Ya. Speciális funkciók és csoportreprezentációs elmélet / Ch. szerk. Fiz.-Matek. megvilágított. - 2. kiadás, javítva. — M .: Nauka, 1991. — 576 p. — ISBN 5-02-014541-6 .
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Lásd a 22. fejezetet

Linkek

Gegenbauer-függvény , functions.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Gegenbauer polinom , MathWorld - mathworld.wolfram.com

Ortogonális polinomok
Bessel-polinomok Gegenbauer polinomok Kravcsuk polinomok Laguerre polinomok Legendre polinomok Polachek polinomok Rogers polinomok Zernike polinomok Csebisev-polinomok Charlier-polinomok Hermite polinomok Jacobi polinomok