Potenciális lépcsőfok

A potenciális lépés egy részecske potenciális energiájának profilja , amelyet az egyik (az egyszerűség kedvéért nullának vett) értékről a másikra való éles átmenet jellemez ( ). Az ilyen profilokat a kvantummechanika elemzi , és egy teljes energiájú részecske átviteli együtthatója eltér az egységtől . $U$ $V_{0}$ ${\displaystyle E>V_{0))$

Ennek a típusnak a legegyszerűbb potenciálprofilja egy ugrás:

U(x)=0

at és at .

x<0\quad

\quad U(x)=V_{0}

x>0

Az átmenet némi elmosódásának figyelembevételére a kifejezést használjuk

U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a= {\mbox{const}}>0

szimulálja a monoton növekedést 0- ról -re . $-\infty$ $V_{0}$ $+\infty$

Potenciállépés alakulhat ki például egy félvezető heterostruktúra vezetési sávjának aljának energiájának koordinátafüggésével, amikor két anyag elektronaffinitása különbsége miatt a találkozásukban meglehetősen éles ugrás következik be. . $U(x)=E_{c}(x)$ $E_{c}$

Ugráslépcsős modell

Az ugrási potenciállépés stacionárius Schrödinger-egyenlete a következő:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)

számára ,

x>0

és ugyanez a kifejezés nélkül -val . Itt a részecske tömege, a redukált Planck-állandó és a részecske hullámfüggvénye . Feltételezzük, hogy a részecske pozitív irányba mozog . Továbbá minden 1-es számmal ellátott karakter a területre , a 2-es számmal pedig a területre vonatkozik . $V_{0}$ $x<0$ $m$ $\hbar$ $\psi$ $x$ $x<0$ $x>0$

Feltéve, hogy az 1 ( ) és 2 ( ) tartomány hullámfüggvényét úgy írjuk fel ${\displaystyle E>V_{0))$ $\Psi =\psi _{1}$ $\Psi =\psi _{2}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)

ahol

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0} )}{\hbar ^{2}}}}}

A hullámfüggvény folytonossági követelményéből és deriváltjából egy pontban azt kapjuk $x=0$

1+r=t

{\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2))

mi ad

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Ennek eredményeként megvan a reflexió ( over-barrier reflexió ) és az átviteli együttható:

R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E))}{1+{\sqrt {1-V_{0} /E))))\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\right)^{2}}}

Ez az eredmény alapvetően különbözik a klasszikustól : a klasszikus mechanikában ebben az esetben nincs reflexió, de attól függetlenül . $T=1$ $E$

Elmosódott lépésmodell

A stacionárius Schrödinger-egyenlet egy elmosódott potenciállépésre (az elmosódás mértékét a paraméter állítja be : minél kisebb, annál közelebb van a potenciál az ugróhoz): $a$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th } {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)

Ha és -t jelölünk , akkor az alakot veszi fel ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} { \frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).

Ha megváltoztatjuk a változót

y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a)))),

majd a jelölést figyelembe véve a következőre redukálódik: $\varkappa =ka$

y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y) }}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.

Mivel ennek az egyenletnek a és pontjai szinguláris pontjai, természetes, hogy a megoldást a következő formában keressük: $y=0$ $y=1$

\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).

Ha a és -t választjuk , akkor az egyenlet a Gauss-féle hipergeometriai egyenletre redukálódik: ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2))))$ $\mu =i\varkappa$

y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.

Megfelelő aszimptotikus megoldásokat választva megkapjuk

f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)

Ezután megkaphatja a reflexiós és átviteli együtthatókat. Abban az esetben : $E<V_{0}$

R=1,\qquad T=0.

Így teljes visszaverődés figyelhető meg. A megnevezés figyelembevétele esetén : ${\displaystyle E>V_{0))$ $\sigma =i\nu$

R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )))\right)^{2 }

A határban $a\jobbra nyíl 0$

R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}

ami megegyezik az előző szakasz eredményével, ha visszatérünk az eredeti változókhoz.

Irodalom

Z. Flügge. Problémák a kvantummechanikában. - LKI Kiadó, 2008. - T. 1.

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom