Valós változó függvényeinek elmélete

A valós változó függvényeinek elmélete ( TFVP , vagy a valós változó függvényeinek elmélete , TFDP ) a matematikai elemzés egyik ága , amely a függvények reprezentációját és közelítését , valamint lokális és globális tulajdonságaikat vizsgálja. Ugyanakkor a klasszikus differenciál- és integrálszámítással szemben a TFVP a halmazelméletre és a mértékelméletre támaszkodik , széles körben alkalmazza ezek fogalmait és módszereit, amelyek lehetővé tették a klasszikus eredmények jelentős általánosítását, szigorú indoklását és új beszerzését. eredmények [1] .

A 17-19. század klasszikus elemzése elsősorban a sima vagy darabonként sima függvények vizsgálatára korlátozódott . A 19. század második felében világossá vált, hogy a funkciók általánosabb osztályai is gyakorlati érdeklődésre tartanak számot; az is kiderült, hogy az olyan fogalmak, mint a folytonosság , a görbe hossza vagy a felület , amelyek intuitívan nyilvánvalónak tűntek , szigorúbb definíciót igényelnek [2] . A problémát a Lebesgue-mérték megjelenésével és a függvény bináris relációként értelmezett halmazelméleti megközelítésével oldották meg [1] . Az új elemzési alap lehetővé tette az összes korábban felhalmozott tudás megőrzését (bár a megfogalmazások egy részét pontosítani kellett), és számos új mélytétel bizonyítását, mint például a Heine-Borel lemma , az Ascoli-Arzela tétel , a Weierstrass-Stone tétel , a Fatou-lemma , a dominált konvergenciáról szóló Lebesgue-tétel és sok más.

A TPFT szorosan kapcsolódik a matematika olyan ágaihoz, mint a geometria , a lineáris algebra , a funkcionális elemzés , a topológia stb. [3]

A TFVP összetétele

A TFVP szerkezete különböző alszakaszokat tartalmaz, amelyek közül három különíthető el főként [4] [5] :

  1. A függvények leíró elmélete. A határértékre való átlépés eredményeként kapott függvényosztályok általános tulajdonságait vizsgálja . Ebben az alfejezetben különösen a Baer-függvények osztályait fedezték fel , amelyek szorosan kapcsolódnak a Borel-halmazok osztályozásához .
  2. A függvények metrikus elmélete. A függvények tulajdonságait a halmaz Lebesgue-mértékének koncepciója (amelyet Henri Lebesgue vezetett be 1902-ben) és a Lebesgue-integrál elmélete alapján tanulmányozza . Itt a függvények mellett a deriváltak , integrálok, funkcionális sorozatok tulajdonságait tanulmányozzuk, a sorozatok és sorozatok összegzésének általános elméletét építjük . A sima függvények helyét a mérhető , összegezhető és általánosított függvények sokkal szélesebb osztályai vették át .
  3. A függvények közelítésének elmélete (például polinomokkal ) [6] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1985 , p. 688-690.
  2. ↑ Matematika, tartalma, módszerei és jelentése, 1956 , p. négy.
  3. ↑ Natanson, 1974 , p. 7.
  4. ↑ Mathematical Encyclopedia, 1985 , p. 689.
  5. ↑ BRE .
  6. ↑ A függvények közelítése  // Nagy Orosz Enciklopédia  : [35 kötetben]  / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M .  : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák