Heine-Borel Lemma

A Heine-Borel lemma [1] (valamint a Borel-Lebesgue lemma [2] vagy a véges fedőlemma ) a következő tény, amely alapvető szerepet játszik az elemzésben :

A valós egyenes egy szakaszát lefedő bármely végtelen intervallumrendszer közül választhatunk egy véges alrendszert, amely ezt a szakaszt is lefedi.

Ennek a tételnek a többdimenziós esetre történő általánosítását Heine-Borel-lemmának (vagy Borel-Lebesgue-lemmának) is nevezik [3] .

Megfogalmazás

A Heine-Borel lemma általános esetben történő megfogalmazásához bevezetjük a fedő fogalmát [3] . Állítsa be a rendszert

{\mathfrak {S}}=\lkapcsos zárójel S_{{\alpha }}\rkapcsos zárójel

ahol az index valamilyen halmazon fut át , az if halmaz fedőjének nevezzük $\alpha$ ${\mathfrak {A}}$ $x$

X\subset \bigcup _{{\alpha \in {\mathfrak {A}}}}S_{{\alpha }}

Ha a borító egy része , mondjuk , ahol a részhalmaza , maga is a halmaz fedőjét képezi , akkor azt a halmaz borítójának alborítójának nevezzük . ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}'=\lkapcsos zárójel S_{{\alpha }}\mid \alpha \in {\mathfrak {A'}}\rkapcsos zárójel$ ${\mathfrak {A'}}$ ${\mathfrak {A}}$ $x$ ${\mathfrak {S}}'$ ${\mathfrak {S}}$ $x$

Fogalmazzuk meg most a Heine-Borel lemmát általános formában.

Legyen egy zárt korlátos halmaz a térben . Ezután a halmazt lefedő nyílt halmazok bármely rendszeréből ki lehet választani egy véges alrendszert, amely a halmazt is lefedi . $x$ $\mathbb{R}^n$ $x$ $x$

Röviden ezt mondják: a térben zárt korlátos halmaz minden nyitott fedője tartalmaz egy véges alborítót. $\mathbb{R}^n$ Egy fedelet nyitottnak nevezünk , ha nyitott halmazokból áll.

Van egy fordított állítás is: ahhoz, hogy egy halmaz nyitott fedője véges részborítót tartalmazzon, a halmaznak zártnak és korlátosnak kell lennie. $X\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $x$ A Heine-Borel lemma azonban csak közvetlen állítás, vagyis elégséges feltétele egy véges alborító létezésének.

Bizonyítás

A Heine-Borel lemma bizonyítása többféleképpen is elvégezhető. Az alábbiakban két bizonyíték vázlata látható.

Első bizonyíték

Ezt a bizonyítást a Bolzano-módszerrel (felezés) hajtjuk végre , és a Cauchy-Cantor beágyazott szegmensek lemmáján alapul . Sok tekintetben hasonló a Bolzano-Weierstrass határpont-lemma bizonyításához .

A szakaszt fedje le egy végtelen intervallumrendszer. Tételezzük fel, hogy egy adott szakaszt nem fed le véges számú intervallum . Oszd ketté a szakaszt két egyenlő részre: és . Ezek közül legalább az egyik nem fedhető le a -ból származó intervallumok véges alrendszerével . Jelöljük, és megismételjük a felezési eljárást. $[a,b]$ $\Sigma$ $\Sigma$ $[a,b]$ $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ $\Sigma$ $[a_{1},b_{1}]$

Folytatva a szegmensek felezését minden lépésben, egy olyan egymásba ágyazott szegmenssorozatot kapunk, amelynek hossza nulla lesz, így ennek a sorozatnak minden szegmensét nem lehet lefedni véges számú intervallummal -tól . De ha az a pont, ahová a szegmensek összehúzódnak, akkor, mivel a szegmensen fekszik, a rendszer valamely intervallumában kell szerepelnie . Ekkor a sorozat minden szegmensét, valamilyen számtól kezdve, lefedi az intervallum , ami ellentmond e szegmensek kiválasztásának. Az ebből eredő ellentmondás bizonyítja a Heine-Borel lemma érvényességét. $\Sigma$ $\xi$ $\xi$ $[a,b]$ $\sigma$ $\Sigma$ $[a_{k},b_{k}]$ $\sigma$

Ezt a bizonyítást nyilvánvaló módosításokkal egy tetszőleges méretű térre is elvégezzük. Ez a bizonyítás megtalálható a [3] -ban és a [2] -ban (az utolsó könyvben azonnal tetszőleges metrikus tér esetén ). $\mathbb{R}^n$

Második bizonyítás

A Heine-Borel lemma másik bizonyítéka Lebesgue [2] . Nem használja a beágyazott szegmensek lemmáját , hanem a valós számok halmazának teljességének tulajdonságára támaszkodik a legkisebb szuprémum létezésének elve formájában .

Az intervallumrendszer fedje le a szakaszt . Jelölje azon pontok halmazával, amelyeknél a szakasz véges számú intervallumtal lefedhető -tól . Nyilvánvaló, hogy ha az alak bármely szegmense (ahol x - sup M) lefedhető véges számú intervallumokkal -ból , akkor ugyanez igaz a szegmensre is: ehhez veszünk egy pontot lefedő intervallumot és adjuk hozzá. valamely szakasz véges lefedésére , ahol , a szakasz véges lefedését kapjuk . Sőt, a kapott intervallumok véges alrendszere nem csak a szegmenst fedi le , hanem a forma néhány szegmensét is , ahol . $\Sigma$ $[a,b]$ $M$ $x\in[a,b]$ $[fejsze]$ $\Sigma$ $[a,x'],\;x'<x$ $\Sigma$ $[fejsze]$ $\sigma \in \Sigma$ $x$ $[fejsze']$ $x'<x,x'\in \sigma$ $[fejsze]$ $[fejsze]$ $[fejsze'']$ $x''>x$

Az elsőből következik, hogy a halmaz legkisebb felső határa a halmazhoz tartozik . A másodiktól kezdve, hogy egyenlőnek kell lennie . Így tehát a szakaszt véges számú intervallum fedheti le -ból . $M$ $M$ $b$ $b\in M$ $[a,b]$ $\Sigma$

Alkalmazás az elemzésben

A Cauchy-Cantor beágyazott intervallumlemma és a Bolzano-Weierstrass határpont- lemma mellett a Heine-Borel véges fedőlemma az elemzés egyik alapvető állítása. Számos fontos eredmény bizonyítására használható.

A Heine-Borel lemma sikeresen alkalmazható olyan esetekben, amikor valamilyen helyi tulajdonságot a teljes halmazra kell kiterjeszteni. Illusztráljuk az elmondottakat az egyenletes folytonossági tétel bizonyításának példáján .

A függvény folytonossága az intervallumon azt jelenti, hogy az intervallum bármely pontjára és tetszőlegesen van egy olyan környéke annak a pontnak , amelyben a függvény bármely két értéke legfeljebb annyiban tér el : $f$ ${\megjelenítési stílus (a,b)}$ $x$ ${\megjelenítési stílus (a,b)}$ $\varepsilon > 0$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\varepsilon$

x',x''\in U_{{\delta }}(x)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Rögzítjük , és a szakasz minden pontjához kiválasztjuk a jelzett környéket (mindegyiknek megvan a sajátja ). Az így kapott intervallumrendszer a szegmens nyitott fedelét képezi, amelyből a Heine-Borel lemma szerint egy véges részborítót választunk . Könnyen belátható , hogy lehetséges úgy választani , hogy minden hosszszegmens teljes egészében beletartozik valamelyik lefedettségi intervallumba . Ebből következik, hogy ha nem különböznek egymástól többel , akkor ugyanabban a lefedettségi intervallumban szerepelnek, ami azt jelenti, hogy a függvény értékei ezeken a pontokon legfeljebb . $\varepsilon > 0$ $x$ $[a,b]$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\delta=\delta(x)$ $\Sigma$ $\delta>0$ $\delta$ $\Sigma$ $x'',x''$ $\delta$ $\varepsilon$

Így az önkényesen vett úgy találják , hogy $\varepsilon > 0$ $\delta>0$

x',x''\in [a,b]\quad |x'-x''|\leqslant \delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Ez azt jelenti, hogy a függvény egyenletesen folytonos a szakaszon . $f$ $[a,b]$

Általánosítások

A Heine-Borel lemma tetszőleges metrikus térre általánosítható a következőképpen:

Ahhoz, hogy egy metrikus tér bármely nyitott fedője véges részborítót tartalmazzon, szükséges és elegendő, hogy a tér teljes és teljesen behatárolt legyen . ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

A térhez hasonlóan ennek a tételnek csak a második részét nevezzük Heine-Borel lemmának, amely egy véges részborító létezéséhez szükséges feltételek elégséges voltára vonatkozik. $\mathbb{R}^n$

Kiderült, hogy egy metrikus térnek akkor és csak akkor van Heine-Borel tulajdonsága, ha kompakt tér , vagyis minden végtelen részhalmazának van egy határpontja , amelyhez tartozik . Így a kompakt metrikus tér olyan térként definiálható, amelynek minden nyitott fedele véges alborítót tartalmaz. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Amikor a metrikus terekről áttérünk a topológiai terek általánosabb fogalmára , kiderült, hogy ez a két feltétel nem ekvivalens: ha egy topológiai térnek Heine–Borel tulajdonsága van, akkor minden végtelen részhalmazának van határpontja, de ennek fordítva. nem mindig igaz. Az erősebb Heine-Borel tulajdonságot a kompakt topológiai tér definíciójának tekintették . Sőt, a régi tömörségi feltétel, nevezetesen a határpont megléte bármely végtelen részhalmazra, ekvivalensnek bizonyult a következő feltétellel: minden megszámlálható nyitott fedő tartalmaz egy véges részborítót. Az ilyen tereket megszámlálhatatlanul kompaktnak nevezték .

Történelmi háttér

A ma Heine-Borel lemmaként ismert matematikai állítás története a 19. század második felében kezdődött, amikor a matematikusok azzal voltak elfoglalva, hogy megbízható alapokat keressenek a számítások szigorú felépítéséhez . Többek között a szigorú bizonyítást igénylő elemzés egyik alapvető eredménye az a tétel volt , amely szerint bármely szakaszon folytonos függvény egyenletesen folytonos azon. Dirichlet volt az első, aki ezt a tételt bizonyította 1862-es előadásaiban, amelyek csak 1904-ben jelentek meg. Ugyanakkor implicit módon felhasználta azt a tényt, hogy ha egy szakaszt végtelen számú intervallum fed le, akkor ezek közül választhatunk olyan véges számot, amely az adott szakaszt is lefedi. Később hasonló érvelést használt E. Heine , K. Weierstrass , S. Pinkerle . Elsőként E. Borel fogalmazta meg és bizonyította a modernhez közeli formában a Heine-Borel lemmát 1895-ben. Megfogalmazása azonban megszámlálható számú intervallumból álló borításokra korlátozódott. E. Borel tanítványa , A. Lebesgue általánosította tetszőleges végtelen borításokra 1898-ban.

A matematikai irodalomban ez a tétel többféle néven található. A legelterjedtebb név a Heine-Borel lemma [1] [3] [4] , amely a cikk címében szerepel. Gyakran használják azonban a következőket: Borel-Lebesgue lemma [5] , Borel lemma [6] . Egyes könyvekben ezt a tételt nem lemmának, hanem tételnek nevezik: Heine-Borel tétel [7] , Borel-Lebesgue tétel [2] . A véges fedőlemma [5] neve is előfordul .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - S. 107.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. - S. 183-184, 193-195.
↑ 1 2 3 4 Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - T. 2. - S. 195-196.
↑ Iljin V. A., Poznyak E. G. A matematikai elemzés alapjai: 2 óra alatt, I. rész.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész
↑ Fikhtengolts G. M. Differenciál- és integrálszámítás tantárgy 3 kötetben. - T. 1.
↑ Rudin U. A matematikai elemzés alapjai.

Irodalom

Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. - M . : "Nauka", 1977. - 368 p.

Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész - 4. kiadás, Rev. - M . : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Iljin V. A., Poznak E. G. A matematikai analízis alapjai: 2 óra alatt I. rész - 7. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Kolmogorov AN, Fomin SV A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - 7. kiadás - M . : "Fizmatlit", 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Rudin U. A matematikai elemzés alapjai = Principles of Mathematical Analysis / per. angolról. Havin. — 2. kiadás, sztereotip. - M . : "Mir", 1976.

Fikhtengol'ts G.M. Differenciál- és integrálszámítás tanfolyam 3 kötetben. - T. 1.