Potenciálelmélet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Potenciálelmélet - a matematika és a matematikai fizika ága , amely a differenciálegyenletek tulajdonságainak tanulmányozására hivatott részleges deriváltokban olyan területeken, amelyeknek kellően sima határa van, speciális típusú integrálok bevezetésével, amelyek bizonyos paraméterektől függenek, úgynevezett potenciálok .

Az absztrakt potenciálelmélet a potenciálelmélet általánosítása absztrakt topológiai terekre [1] ; fő absztrakt elméletként a harmonikus tér fogalmát használják - egy tetszőleges topológiai tér, amely folyamatos valós függvények kötegével van felszerelve, amelyek a harmonikus függvényekre jellemző ( axiomatikusan rögzített ) tulajdonságokkal rendelkeznek [1] .

Történelem

Eredetileg az égi mechanika részeként jelent meg, az egyetemes gravitáció törvénye szerint ható vonzó erők tulajdonságait tanulmányozva . Az elmélet megalkotásához és kezdeti kidolgozásához főként Newton , Lagrange , Legendre , Laplace járult hozzá . Lagrange különösen azt mutatta meg, hogy a gravitációs erők mezője potenciális .

Gausstól kezdve a potenciálok módszerét az elektrosztatika és a mágnesesség problémáira is alkalmazni kezdték, az önkényes előjelű "tömegeket" (töltések, mágnesezettség) kezdték potenciálnak tekinteni. A 19. századi elméletfejlesztés részeként azonosították a fő határérték-problémákat: a Dirichlet-probléma , a Neumann -probléma , a Robin -probléma , a tömeges balayage-probléma , Ljapunov és Szteklov jelentős mértékben hozzájárultak az alapismeretek tanulmányozásához. század végi határérték-problémák .

Az elmélet eredményeit a XX. század elején a mértékelméleti apparátus és az általánosított függvények segítségével lényegesen általánosították . Ezt követően analitikus , harmonikus és szubharmonikus függvények vesznek részt a potenciálelméletben, a valószínűségelmélet eszköztárában .

Az 1950-es években a topológia és a funkcionális elemzés módszerei alapján kidolgozták a potenciálok axiomatikus absztrakt elméletét.

A potenciálok fő típusai

Logaritmikus potenciálok (kétdimenziós potenciálok)

A terület potenciálja

Egy síkon a térfogat logaritmikus potenciál (vagy területpotenciál) az alak integrálja

{\displaystyle V(M)=\int \limits _{D}\rho (Q)\ln {\frac {1}{R_{QM))}d\sigma _{Q))

Ha a sűrűség folytonos az első deriváltjaival együtt, akkor a térfogatpotenciál a Poisson-egyenlet klasszikus megoldása : $\rho (M)$

{\Delta }V=-{2\pi \rho }

Egy egyszerű réteg logaritmikus potenciálja

Kétdimenziós esetben egy egyszerű réteg potenciálja az integrál:

V(M)=\int \limits _{C}\mu (P)\ln {\frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}

hol van valami görbe. $C$

Kétrétegű logaritmikus potenciál

A kettős réteg potenciálja a síkon az integrál:

W(M)=-\int \limits _{C}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P))}\ln {\frac {1}{R_{MP }}}dl_{P}

ahol a görbe kifelé irányuló normálisa a pontban . Nyitott görbe esetén a külső normális irányát tetszőlegesen választjuk meg. ${\displaystyle \mathbf {n} _{P))$ $C$ $P$

Háromdimenziós potenciálok

Tömeges potenciál

Legyen a függvény , integrál $D$ $\rho (M)$

V(M)=\int \limits _{D}{\frac {\rho (Q)}{R_{QM))}dV

térfogatpotenciálnak nevezzük.

A függvény egy egységpontos töltés potenciálja, minden pontban meghatározott , egy pontra koncentrálva . Ha egy térfogatsűrűségű töltés folytonosan eloszlik a tartományban , akkor a szuperpozíció elve alapján természetes, hogy az adott térfogati töltéseloszlás által keltett potenciált a fenti integrál fejezi ki. A függvényt potenciálsűrűségnek nevezzük. ${\displaystyle {\frac {1}{R_{QM))))$ $M\neq Q$ $K$ $D$ $\rho (M)$ $\rho (M)$

Ha a sűrűség folytonos az első deriváltjaival együtt, akkor a térfogatpotenciál a Poisson-egyenlet klasszikus megoldása : $\rho (M)$

{\displaystyle {\Delta }V=-{4\pi \rho ))

Felületi potenciálok Egyszerű rétegpotenciál

Egy egyszerű réteg potenciálja háromdimenziós esetben az integrál

V(M)=\int \limits _{S}\mu (P){\frac {dS_{P}}{R_{MP}}},

ahol valamilyen felület, a felületen definiált függvény , egy egyszerű réteg potenciálsűrűségének nevezzük. $S$ $\mu (P)$ $S$

Tulajdonságok:

$\Delta V(M)=0,\forall M\notin S.$
$V=O\left({\frac {1}{r}}\right),r\rightarrow \infty .$
$V\in C(\mathbb {R} ^{3})$ , ha sima felület , akkor a sűrűség korlátos és folytonos. $S$ $\mu (Q)$
Legyen a tartományt határoló zárt Ljapunov felület , legyen a pont felületének kifelé irányuló normálisa . Ezután a felületen való áthaladás lehetséges megszakadását a következő képletek határozzák meg: $S$ $D$ $P_{0}\S$ $\mathbf {n} _{e}(P)$ $S$ $P\in S$ $S$

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)( M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\right)(P_{0})+2\pi \mu (P_{0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\ jobb)(M)=\bal({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\right)(P_{0})-2\pi \mu (P_{0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)( M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S))\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\ jobbra)(M)=4\pi \mu (P_{0}).

Kétrétegű potenciál

A kettős réteg potenciálja háromdimenziós esetben az integrál:

W(M)=-\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P))}{\frac {1}{R_{MP)) }dS_{P},

ahol egy kétoldalú felület, a felület külső normálisa egy pontban (ha a felület nem zárt, akkor a külső normált tetszőlegesen választjuk), a felületen adott függvény , dupla réteg potenciálsűrűsége. $S$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{P))$ $S$ $P$ $S$ $\nu (P)$ $S$

A kétrétegű potenciál kifejezése a következőképpen is átírható:

W(M)=\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\cos \varphi }{R_{MP}^{2))}dS_{P},

ahol a pontban lévő felület belső normálisa és a vektor közötti szög . $\varphi$ $S$ $P$ $\mathbf {PM}$

Tulajdonságok:

$\Delta W(M)=0,\forall M\notin S.$
$W=O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right),r\rightarrow \infty .$
Legyen a Ljapunov felület . A felületen folytonos és korlátos sűrűségű kettős réteg potenciálja létezik, azaz konvergens nem megfelelő integrál -nál . $S$ $|\nu (P)|\leq C$ $S$ $M\in S$
Legyen a , tartományt határoló zárt Ljapunov felület . Ezután a kettős réteg potenciáljának szakadását a felületen való áthaladáskor a következő képletek határozzák meg: $S$ $D$ $P_{0}\S$ $S$

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)=W(P_{0})+2\pi \nu (P_{0}) ,

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=W(P_{0})-2\pi \nu (P_{ 0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\ notin D\cup S}}W(M)=4\pi \nu (P_{0}).

Jegyzetek

↑ 1 2 I. M. Vinogradov. Harmonikus tér // Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)

Irodalom

I. M. Vinogradov. Harmonikus tér // Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. V. fejezet: Elliptikus típusú egyenletek. Határérték-problémák a Laplace-egyenlethez. // Előadások a matematikai fizikáról. — 2. kiadás, javítva. és további - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója; Tudomány, 2004. - S. 203. - 416 p. — ISBN 5-211-04899-7 .
Tyihonov A. N., Szamarszkij A. A. IV. fejezet. Elliptikus típusú egyenletek. // A matematikai fizika egyenletei. - 7. kiadás - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója; Tudomány, 2004. - S. 348. - 798 p. — ISBN 5-211-04843-1 .
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX528702 BNF : 119328485 J9U : 987007529486205171 LCCN : sh85105671 NKC : ph126569 SUDOC : 02724346X